Aufgabe 4.1 – Bestimmung des zugehörigen Abtastsystems

Gegeben ist eine Regelstrecke (“linearer Oszillator”) in Form des kontinuierlichen Zustandsraummodells

$\dot {\vec x} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1 \\ {-1}&0 \end{array}} \right)\vec x+\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 1 \end{array}} \right)u$

$y = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0 \end{array}} \right)\vec x$

Bestimmen Sie das zugehörige Abtastsystem für die Abtastzeit T.

Lösung

Aus dem kontinuierlichen Zustandsraummodell lesen wir ab:

$A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1 \\ {-1}&0 \end{array}} \right)\quad ,\quad b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 1 \end{array}} \right)\quad ,\quad {c^T} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0 \end{array}} \right)\quad ,\quad d = 0$

Für das zugehörige Abtastsystem gilt:

${A_d} = {e^{AT}}$

Wir lösen hier mit Hilfe der Laplacetransformation:

${e^{At}} \circ - \bullet {\left( {sI-A} \right)^{-1}}$

${\left( {sI-A} \right)^{-1}} = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} s&{-1} \\ 1&s \end{array}} \right)^{-1}} = \frac{1}{{{s^2}+1}} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} s&1 \\ {-1}&s \end{array}} \right)$

$\Rightarrow \quad {\left( {sI-A} \right)^{-1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{s}{{{s^2}+1}}}&{\frac{1}{{{s^2}+1}}} \\ {-\frac{1}{{{s^2}+1}}}&{\frac{s}{{{s^2}+1}}} \end{array}} \right) \bullet - \circ \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos t}&{\sin t} \\ {-\sin t}&{\cos t} \end{array}} \right) = {e^{At}}$

Hinweis zur Rücktransformation:

$\frac{s}{{{s^2}+\omega _0^2}}\quad \bullet - \circ \quad \cos \left( {{\omega _0}t} \right)$

$\frac{{{\omega _0}}}{{{s^2}+\omega _0^2}}\quad \bullet - \circ \quad \sin \left( {{\omega _0}t} \right)$

Für die restlichen Werte gilt:

${\vec b_d} = \int\limits_0^T {{e^{A\tau }}d\tau } \;\vec b = \int\limits_0^T {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin \tau } \\ {\cos \tau } \end{array}} \right)d\tau } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{-\cos \tau } \\ {\sin \tau } \end{array}} \right]_0^T = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{1-\cos T} \\ {\sin T} \end{array}} \right)$

$c_d^T = {c^T} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0 \end{array}} \right)$

${d_d} = d = 0$

Für das Abtastsystem ergibt sich also:

${{\vec x}_{k+1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos T}&{\sin T} \\ {-\sin T}&{\cos T} \end{array}} \right){{\vec x}_k}+\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{1-\cos T} \\ {\sin T} \end{array}} \right){u_k}$