Aufgabe 4.1 – Bestimmung des zugehörigen Abtastsystems

 

Gegeben ist eine Regelstrecke (“linearer Oszillator”) in Form des kontinuierlichen Zustandsraummodells

\dot {\vec x} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1 \\ {-1}&0 \end{array}} \right)\vec x+\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 1 \end{array}} \right)u

y = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0 \end{array}} \right)\vec x

Bestimmen Sie das zugehörige Abtastsystem für die Abtastzeit T.

Lösung

Aus dem kontinuierlichen Zustandsraummodell lesen wir ab:

A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1 \\ {-1}&0 \end{array}} \right)\quad ,\quad b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 1 \end{array}} \right)\quad ,\quad {c^T} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0 \end{array}} \right)\quad ,\quad d = 0

Für das zugehörige Abtastsystem gilt:

{A_d} = {e^{AT}}

Wir lösen hier mit Hilfe der Laplacetransformation:

{e^{At}} \circ - \bullet {\left( {sI-A} \right)^{-1}}

{\left( {sI-A} \right)^{-1}} = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} s&{-1} \\ 1&s \end{array}} \right)^{-1}} = \frac{1}{{{s^2}+1}} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} s&1 \\ {-1}&s \end{array}} \right)

\Rightarrow \quad {\left( {sI-A} \right)^{-1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{s}{{{s^2}+1}}}&{\frac{1}{{{s^2}+1}}} \\ {-\frac{1}{{{s^2}+1}}}&{\frac{s}{{{s^2}+1}}} \end{array}} \right) \bullet - \circ \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos t}&{\sin t} \\ {-\sin t}&{\cos t} \end{array}} \right) = {e^{At}}

Hinweis zur Rücktransformation:

\frac{s}{{{s^2}+\omega _0^2}}\quad \bullet - \circ \quad \cos \left( {{\omega _0}t} \right)

\frac{{{\omega _0}}}{{{s^2}+\omega _0^2}}\quad \bullet - \circ \quad \sin \left( {{\omega _0}t} \right)

Für die restlichen Werte gilt:

{\vec b_d} = \int\limits_0^T {{e^{A\tau }}d\tau } \;\vec b = \int\limits_0^T {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin \tau } \\ {\cos \tau } \end{array}} \right)d\tau } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{-\cos \tau } \\ {\sin \tau } \end{array}} \right]_0^T = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{1-\cos T} \\ {\sin T} \end{array}} \right)

c_d^T = {c^T} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0 \end{array}} \right)

{d_d} = d = 0

Für das Abtastsystem ergibt sich also:

{{\vec x}_{k+1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos T}&{\sin T} \\ {-\sin T}&{\cos T} \end{array}} \right){{\vec x}_k}+\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{1-\cos T} \\ {\sin T} \end{array}} \right){u_k}

{y_k} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0 \end{array}} \right){{\vec x}_k}

\mathcal{J}\mathcal{K}