U 01.4 – Bestimmung der Parameter eines Feder-Masse-Dämpfer-Systems

 

Für die Untersuchung eines Fundamentes, auf dem eine Maschine montiert ist (gedämpftes Einmassenschwinger System), wurde eine plastische Masse {m_s} aus einer Höhe h auf die Maschine fallen gelassen. Dabei wurden die Amplituden der Schwingung über der Zeit aufgenommen.

Gesucht sind die Parameter des Einmassenmodells: Masse, Steifigkeit, Dämpfungsparameter

schwingung

Gegeben: {m_s} = 30kg, h = 2m, T = 0,03s, {x_1} = 60\mu m, {x_2} = 50\mu m

Lösung 1.4

Wir haben es hier mit einem Feder-Masse-Dämpfer-System zu tun.

Skizze:

feder-masse-daempfer-system

Freigeschnittene Masse:

freigeschnittene-masse

Aus dem Kräftegleichgewicht folgt die Bilanz für ein einfaches Feder-Masse-Dämpfer-System:

m\ddot x+b\dot x+cx = 0\quad \Rightarrow \quad \ddot x+\frac{b}{m}\dot x+\frac{c}{m}x = 0

Die Lösung dieser Differentialgleichung (DGL) folgt mittels Exponentialansatz:

x\left( t \right) = \hat x \cdot {e^{\lambda t}}

m\ddot x+b\dot x+cx = 0\quad \Rightarrow \quad {\lambda ^2}+\frac{b}{m}\lambda +\frac{c}{m} = 0

\quad \Rightarrow \quad {\lambda _{1,2}} = -\underbrace {\frac{b}{{2m}}}_\delta \pm \sqrt {\underbrace {{{\left( {\frac{b}{{2m}}} \right)}^2}}_{{\delta ^2}}-\underbrace {\frac{c}{m}}_{\omega _0^2}}

\quad \Rightarrow \quad {\lambda _{1,2}} = -\delta \pm \sqrt {{\delta ^2}-\omega _0^2} = -\delta \pm i\sqrt {\omega _0^2-{\delta ^2}} = -\delta \pm i\omega \quad ;\quad \omega = \sqrt {\omega _0^2-{\delta ^2}}

Da {\lambda _1} und {\lambda _2}konjugiert komplex sind, lautet die vollständige allgemeine Lösung der homogenen linearen DGL zweiter Ordnung:

x\left( t \right) = A\operatorname{Re} \left( {{e^{{\lambda _1}t}}} \right)+B\operatorname{Im} \left( {{e^{{\lambda _1}t}}} \right) = A\operatorname{Re} \left( {{e^{{\lambda _2}t}}} \right)-B\operatorname{Im} \left( {{e^{{\lambda _2}t}}} \right)

\quad \Rightarrow \quad x\left( t \right) = A\operatorname{Re} \left( {{e^{-\delta t+i\omega t}}} \right)+B\operatorname{Im} \left( {{e^{-\delta t+i\omega t}}} \right)

Mithilfe der Eulerschen Formeln lässt sich dies noch weiter umformen:

\left[ {{e^{ \pm i\varphi }} = \cos \varphi \pm i\sin \varphi \quad ,\quad {e^{ \pm \varphi }} = \cosh \varphi \pm i\sinh \varphi } \right]

\Downarrow

x\left( t \right) = A\operatorname{Re} \left( {{e^{-\delta t}} \left[ {\cos \left( {\omega t} \right) \pm i\sin \left( {\omega t} \right)} \right]} \right)+B\operatorname{Im} \left( {{e^{-\delta t}} \left[ {\cos \left( {\omega t} \right) \pm i\sin \left( {\omega t} \right)} \right]} \right)

\quad \Rightarrow \quad x\left( t \right) = A{e^{-\delta t}}\cos \left( {\omega t} \right)+B{e^{-\delta t}}\sin \left( {\omega t} \right)

Die Lösung lautet somit:

x\left( t \right) = {e^{-\delta t}}\left( {A\cos \left( {\omega t} \right)+B\sin \left( {\omega t} \right)} \right)

Einsetzen der Anfangsbedingung:

x\left( 0 \right)\mathop = \limits^! 0\quad \Rightarrow \quad x\left( 0 \right) = {e^{-\delta 0}}\left( {A\cos \left( 0 \right)+B\sin \left( 0 \right)} \right) = A = 0

\quad \Rightarrow \quad x\left( t \right) = \underbrace B_{\hat x}{e^{-\delta t}}\sin \left( {\omega t} \right)

Die Dämpfung lässt sich durch Einsetzen der gegebenen x-Werte ermitteln:

\left( I \right):\qquad x\left( {\frac{T}{4}} \right) = B\exp \left\{ {-\delta \frac{T}{4}} \right\}\sin \left( {\omega \frac{T}{4}} \right)

\left( {II} \right):\qquad x\left( {\frac{5}{4}T} \right) = B\exp \left\{ {-\frac{5}{4}\delta T} \right\}\sin \left( {\frac{5}{4}\omega T} \right)

\omega = \frac{{2\pi }}{T}\quad \Rightarrow \quad \sin \left( {\frac{{2\pi }}{4}} \right) = \sin \left( {\frac{5}{4}2\pi } \right) = 1

\frac{{\left( I \right)}}{{\left( {II} \right)}}:\qquad \frac{{x\left( {\frac{T}{4}} \right)}}{{x\left( {\frac{5}{4}T} \right)}} = \frac{{\exp \left\{ {-\delta \frac{T}{4}} \right\}}}{{\exp \left\{ {-\frac{5}{4}\delta T} \right\}}} = \exp \left\{ {\delta T} \right\}

\qquad \Rightarrow \quad \frac{{60\;\mu s}}{{50\;\mu s}} = {e^{\delta \cdot 0,03\;s}}\qquad \Rightarrow \quad \delta = \frac{1}{{0,03}} \cdot \ln \left( {\frac{{60}}{{50}}} \right) = \underline{\underline {6,0774\;s}}

Um die restlichen Werte berechnen zu können, müssen wir nun den Einfluss der herabfallenden Masse {m_s} anhand der Impulsbilanz bestimmen:

I = {m_s} \cdot {v_s} = \left( {{m_s}+{m_F}} \right) \cdot {v_0}

mit

{m_F}: Masse des Fundamentes

Für die Bewegung der kleinen Masse gilt:

{a_s}\left( t \right) = g\qquad \left| {\int {dt} } \right.

\quad \Rightarrow \quad {v_s}\left( t \right) = gt+{C_1}\quad ;\quad {v_s}\left( 0 \right)\mathop = \limits^! 0\quad \Rightarrow \quad {C_1} = 0

\quad \Rightarrow \quad {v_s}\left( t \right) = gt\qquad \left| {\int {dt} } \right.

\quad \Rightarrow \quad {s_s}\left( t \right) = \frac{g}{2}{t^2}+{C_s}\quad ;\quad {s_s}\left( 0 \right)\mathop = \limits^! 0\quad \Rightarrow \quad {C_2} = 0

\quad \Rightarrow \quad {s_s}\left( t \right) = \frac{g}{2}{t^2}

Anhand der Fallhöhe lässt sich die Aufprallgeschwindigkeit zum Zeitpunkt {t_a} ermitteln:

{s_s}\left( {{t_a}} \right)\mathop = \limits^! h\quad \Rightarrow \quad {t_a} = \sqrt {\frac{{2h}}{g}}

\quad \Rightarrow \quad {v_s}\left( {{t_a}} \right) = g\sqrt {\frac{{2h}}{g}} = \sqrt {2hg} = {v_s}

Damit folgt:

I = {m_s} \cdot \sqrt {2hg} = \left( {{m_s}+{m_F}} \right) \cdot {v_0}

\quad \Rightarrow \quad {v_0} = \frac{{{m_s}}}{{{m_s}+{m_F}}}\sqrt {2hg}

Damit haben wir nun eine Anfangsgeschwindigkeit für das Feder-Masse-Dämpfer-System. Wir leiten nun die Bewegungsgleichung ab, um sie mit der Anfangsgeschwindigkeit in Beziehung zu setzen:

x\left( t \right) = {e^{-\delta t}}B\sin \left( {\omega t} \right)

\quad \Rightarrow \quad \dot x\left( t \right) = -\delta {e^{-\delta t}}B\sin \left( {\omega t} \right)+{e^{-\delta t}}B\omega \cos \left( {\omega t} \right)

\quad \Rightarrow \quad \dot x\left( 0 \right) = B\omega \mathop = \limits^! \frac{{{m_s}}}{{{m_s}+{m_F}}}\sqrt {2hg} = {v_0}

Durch Umformung lässt sich daraus die Masse des Fundaments bestimmen:

{m_F} = \frac{{{m_s}}}{{B\omega }}\sqrt {2hg} -{m_s} = 14\;258\;kg \approx \underline{\underline {14,3\;t}}

Damit lassen sich nun auch die restlichen Parameter durch Einsetzen bestimmen:

\delta = \frac{b}{{2m}}

\quad \Rightarrow \quad b = 2\delta m = 2\delta \left( {{m_s}+{m_F}} \right) = 2 \cdot 6,0774\;s \cdot \left( {30\;kg+14\;258\;kg} \right)

\quad \Rightarrow \quad b = 173\;671\frac{{N\;s}}{m} \approx \underline{\underline {173,7 \cdot {{10}^3}\frac{{N\;s}}{m}}}

\omega _0^2 = \frac{c}{m}

\quad \Rightarrow \quad c = m \cdot \omega _0^2 = \left( {{m_s}+{m_F}} \right) \cdot \left( {{\omega ^2}+{\delta ^2}} \right) = \left( {{m_s}+{m_F}} \right) \cdot \left( {{{\left( {\frac{{2\pi }}{T}} \right)}^2}+{\delta ^2}} \right)

\quad \Rightarrow \quad c = \left( {30\;kg+14\;258\;kg} \right) \cdot \left( {{{\left( {\frac{{2\pi }}{{0,03\;s}}} \right)}^2}+{{\left( {6,0774\;\frac{1}{s}} \right)}^2}} \right)

\quad \Rightarrow \quad c = 627\;282\;731,8\frac{N}{m} \approx \underline{\underline {627,3 \cdot {{10}^6}\frac{N}{m}}}

\mathcal{J}\mathcal{K}

Ähnliche Artikel

3 Kommentare zu “U 01.4 – Bestimmung der Parameter eines Feder-Masse-Dämpfer-Systems”

Wie bestimmt man bitte den Parameter B für die Berechnung der Fundamentmasse?

Durch Einsetzen von \delta in Gleichung (I) oder (II) und anschließendes Umformen nach B.
Damit ergibt sich für B ein Wert von etwa 0.0000627981.

Die Zeichnung der freigeschnittenen Masse wurde korrigiert. m\ddot x sollte nun in die richtige Richtung zeigen. Danke für den Hinweis!

Kommentar verfassen