01.2 – Brennschlussgeschwindigkeit einer Rakete, Ziolkowskygleichung

 

Eine einstufige Rakete habe bei Start die Gesamtmasse {m_0}=10000kg. Der Treibstoffanteil betrage {m_T}=9000kg und die Ausströmgeschwindigkeit des Gasstrahls sei {c_e}=3\frac{km}{s}.

a )

Bestimmen Sie die Brennschlussgeschwindigkeit der Rakete!

b )

Welche Geschwindigkeit hat die Rakete, wenn die Hälfte der Treibstoffmasse verbraucht ist.

c )

Bestimmen Sie zu a) für eine Brennzeit von 800s den (konstanten) Massendurchsatz \dot m sowie den Schub F des Triebwerkes!

d )

Wie ändert sich die Brennschlussgeschwindigkeit der Rakete, wenn man die in {m_0} enthaltene Nutzlastmasse geringfügig erhöht?

Lösung

a )

Gegeben:

{m_0}=10000kg

{m_T}=9000kg

{c_e}=3\frac{km}{s}

Gesucht:

{v_B}, also die Geschwindigkeit nach Brennschluss, d.h. dem Zeitpunkt an dem der komplette Treibstoff in der Rakete verbraucht ist und das Triebwerk seine Funktion einstellt.

Es existiert wieder nur eine einzige Schubperiode (n=1). Da die Rakete zu Beginn die Geschwindigkeit null hat und uns die Geschwindigkeit nach Brennschluss interessiert, entspricht die charakteristische Geschwindigkeitsänderung der Geschwindigkeit nach Brennschluss \left({\Delta{v_{ch}}=\Delta v={v_B}}\right):

{v_B}=\Delta v=\Delta{v_{ch}}={c_e}\cdot\ln\left({\frac{{{m_0}}}{{{m_B}}}}\right)={c_e}\cdot\ln\left({\frac{{{m_0}}}{{{m_0}-{m_T}}}}\right)

=3\frac{{km}}{s}\cdot\ln\left({\frac{{10000kg}}{{10000-9000kg}}}\right)=\underline{\underline{6,91\frac{{km}}{s}}}

b )

Gegeben:

{m_{1/2}}={m_0} -\frac{1}{2}\cdot{m_T}=10000kg - 4500kg=5500kg

Gesucht:

Die Geschwindigkeit {v_2}, wenn die Hälfte der Treibstoffmasse verbraucht ist.

Die Schubperiode wird verkürzt und die Brennschlussmasse ist in diesem Fall m_{1/2}. Damit gilt für die Geschwindigkeit nach Brennschluss, die wieder der charakteristischen Geschwindigkeit entspricht:

{v_2}=\Delta{v_2}=\Delta{v_{ch}}={c_e}\cdot\ln\left({\frac{{{m_0}}}{{{m_{1/2}}}}}\right)=3\frac{{km}}{s}\cdot\ln\left({\frac{{10000kg}}{{5500kg}}}\right)=\underline{\underline{1,79\frac{{km}}{s}}}

c )

Gegeben:

Brennzeit des Triebwerkes: t=800s
Effektive Austrittsgeschwindigkeit: {c_e}=3\frac{km}{s}

Gesucht:

konstanter Massendurchsatz \dot m
Schub F des Triebwerkes

Wie schon in Aufgabe 1.1. erläutert hängt die effektive Austrittsgeschwindigkeit {c_e}, also die verlustbehaftete Austrittsgeschwindigkeit des Gases aus der Rakete, über folgende Beziehung vom Schub und dem Massendurchsatz ab:

{c_e}:=\frac{F}{{\dot m}}

Für den hier als konstant angenommenen Massendurchsatz \dot m, ist die Gesamtmasse des vorhandenen Raketentreibstoffes durch die gegebene Brennzeit der Rakete zu teilen:

\dot m=\frac{m}{t}=\frac{{{m_T}}}{{{t_B}}}=\frac{{9000kg}}{{800s}}=\underline{\underline{11,25\frac{{kg}}{s}}}

Die effektive Austrittsgeschwindigkeit {c_e} des Gases aus der Rakete ist aus dem einleitenden Aufgabentext bereits gegeben. Diese ist über die gesamte Aufgabe hinweg konstant, und wird hier auch über dies gesamte Brenndauer der einstufigen Triebwerksphase als konstant angenommen. Damit ergibt sich der Schub des Triebwerkes aus der Definition der effektiven mittleren Austrittsgeschwindigkeit des Triebwerkgases:

{c_e}=\frac{F}{{\dot m}}\Rightarrow F={c_e}\cdot\dot m=3\frac{{km}}{s}\cdot 11,25\frac{{kg}}{s}

=3000\frac{m}{s}\cdot 11,25\frac{{kg}}{s}=\underline{\underline{33750N=33,75kN}}

d )

Für die Brennschlussgeschwindigkeit {v_B} für diese Rakete gilt, wie bereits in Aufgabe a) hergeleitet:

{v_B}={c_e}\cdot\ln\left({\frac{{{m_0}}}{{{m_B}}}}\right)={c_e}\cdot\ln\left({\frac{{{m_0}}}{{{m_0}-{m_T}}}}\right)={c_e}\cdot\left[{\ln\left({{m_0}}\right)-\ln\left({{m_0}-{m_T}}\right)}\right]

Wir bestimmen im Folgenden die Ableitung der Brennschlussgeschwindigkeit nach der Nutzlast (bzw. nach der Gesamtmasse bei konstanter Treibstoffmasse):

\frac{{d{v_B}}}{{d{m_0}}}={c_e}\cdot\left({\frac{1}{{{m_0}}}-\frac{1}{{{m_0}-{m_T}}}}\right)={c_e}\cdot\frac{{{m_0}-{m_T}-{m_0}}}{{{m_0}\cdot\underbrace{\left({{m_0}-{m_T}}\right)}_{{m_B}}}}=\frac{{-{c_e}\cdot{m_T}}}{{{m_0}\cdot{m_B}}}

Daraus folgt für die Änderung der Brennschlussgeschwindigkeit je Masseneinheit:

d{v_B}=\frac{{-{c_e}\cdot{m_T}}}{{{m_0}\cdot{m_B}}}\cdot d{m_0}=\frac{{-3\frac{{km}}{s}\cdot 9000kg}}{{10000kg\cdot 1000kg}}\cdot d{m_0}

=-0,0027\frac{{km}}{{s\cdot kg}}\cdot d{m_0}=-2,7\cdot{10^{-3}}\frac{{km}}{{s\cdot kg}}\cdot d{m_0}

Das heißt bei 1kg zusätzlicher Nutzlast büßt die Rakete schon 2,7\frac{m}{s} ihrer Brennschlussgeschwindigkeit ein!

\mathcal{T}\mathcal{H}