Aufgabe 03 – Bruchzähigkeit und benötigt Abmessungen von Proben aus Industriekeramik

 

Gegeben sei eine Probe aus Industriekeramik (E = 500GPa, {\sigma _c} = 590MPa, \nu = 0,19) und eine weitere aus einer Aluminiumlegierung (E = 70GPa, {R_{{p_{0,2}}}} = 300MPa).

  1. Wie dick müssen die Proben mindestens sein damit Sie den {K_{IC}}-Wert bestimmen können.

    Hinweis: Die experimentell bestimmten {K_{IC}}-Werte liegen jeweils bei 1,2...1,4MPa\sqrt m für die Keramik und bei 30...33MPa\sqrt m für die Al-Basis-Legierung.

  2. Berechnen sie den {K_{IC}}-Wert der Industriekeramik, wen die Bindungsenergie 2\frac{J}{{{m^2}}} beträgt.
  3. Berechnen Sie den entsprechenden {K_{IC}}-Wert für die Al-Basislegierung, wenn bei dieser die Bindungsenergie 1\frac{J}{{{m^2}}} gegeben sei.
  4. Diskutieren Sie Unterschiede/Gemeinsamkeiten zwischen den berechneten und experimentell bestimmten {K_{IC}}-Werten.
  5. Wie groß ist die Bruchzähigkeit {G_C} für die Keramik und die Al-Legierung?
  6. Zeichnen sie schematisch die R- und die {G_C}-Kurve für die Keramik, wenn die unendlich ausgedehnte Flachprobe eine ca. 500\mu m tiefe Kerbe in der Stirnfläche besitzt und die Spannung so gewählt wurde, dass die Energiefreisetzung genauso groß ist wie der Risswiderstand. Zeichnen Sie die entsprechenden R- und {G_C}-Kurve, wenn die Kerbe nur noch 100\mu m tief ist. Diskutieren Sie die Ergebnisse im Rahmen der LEBM.

Lösung

a)

Die Bestimmung des {K_{IC}}-Wertes erfordert, dass es sich um den Zustand der Ebenen Dehnung handelt. Damit es sich um den Zustand der Ebenen Dehnung handelt muss die Probe eine Mindestdicke haben. Diese ergibt sich aus folgender Formel:

B \geq 2,5\cdot \left( {\frac{{{K_{IC}}}}{{{\sigma _{ys}}}}} \right)

Es ist zu beachten, dass die 2,5 nur als grober Richtwert betrachtet werden darf. Teilweise wird auch der Wert \frac{{10}}{\pi } verwendet. Weiter gilt dieser skizzierte Verlauf für den Spannungsintensitätsfaktor.

werkstoff-beanspruchung-statisch-dynamisch-aufgabe-losung-spannung-3-1

Sollte also der {K_{IC}}-Wert nicht bekannt sein, so kann zunächst auch mit dem {K_C}-Wert gerechnet werden, da dieser immer größer ist als der {K_{IC}}-Wert.

Für Aluminium ergibt sich damit eine minimale Dicke von

{D_{Al}} = 2,5\cdot {\left( {\frac{{30MPa\sqrt m }}{{300MPa}}} \right)^2} = 0,025m

Für die Industriekeramik ergibt sich folgende minimale Dicke:

{D_{Keramik}} = 2,5\cdot {\left( {\frac{{1,1MPa\sqrt m }}{{590MPa}}} \right)^2} = 10\mu m

Es zeigt sich, dass sich die Industriekeramik immer im Zustand der Ebenen Dehnung ist, da Probendicken von weniger als 10\mu m nicht verwendet werden.

b, d)

Die Bruchzähigkeit ist genau dann an ihrem kritischen Punkt, wenn sich rissausbreitende und rissverhindernde Kräfte genau die Waage halten. Dadurch entsteht folgender Zusammenhang:

{G_{crit}} = \frac{{K_{IC}^2}}{E} = 2{\gamma _S} = R

Da es sich um den {K_{IC}} -Wert handeln soll, können Nebeneffekte, wie die Querkontraktionszahl \nu weggelassen werden.

\Rightarrow {K_{IC}} = \sqrt {2{\gamma _S}E}

Werden nun die gegebenen Werte eingesetzt, dann ergibt sich:

\Rightarrow {K_{IC}} = \sqrt {2\cdot 2\frac{J}{m}\cdot 500\cdot {{10}^9}Pa} = 1,41MPa\sqrt m

Die experimentell bestimmten Werte lagen im Bereich 1,2...1,4MPa\sqrt m . Es zeigt sich also, dass die theoretischen Werte mit den praktischen Werten sehr gut übereinstimmen. Als Folge kann gesagt werden, dass die LEBM erfüllt ist. Wenn allerdings eine Keramik auf über die halbe Schmelztemperatur erwärmt wird, dann können sich die Versetzungen bewegen, wodurch der Werkstoff duktil wird. Damit entsteht der gleiche Effekt wie bei Metallen (s.u.)

c, d)

Es kann die gleiche Formel wie in Teilaufgabe b) verwendet werden:

\Rightarrow {K_{IC}} = \sqrt {2\cdot 1\frac{J}{m}\cdot 70\cdot {{10}^9}Pa} = 0,4MPa\sqrt m

Die experimentellen Werte lagen im Bereich 30...33MPa\sqrt m . In der Realität ist der Spannungsintensitätsfaktor also ca. 8-mal höher als berechnet. Dies lässt sich darauf zurückführen, dass Aluminium nicht spröde ist und sich die Versetzungen auch bei Raumtemperatur (bzw. normalen Temperaturen) bewegen können. Die Bewegungsenergie der Versetzungen stellt allerdings einen enormen Anteil des Spannungsintensitätsfaktors dar.

In der Herleitung müsste also folgendes stehen:

{G_{IC}} = \frac{{K_{IC}^2}}{E} = 2{\gamma _S}+{R_{plastisch}} = {R_C}

e)

Wie oben bereits gezeigt, ergibt sich dies aus folgendem Zusammenhang:

{G_{{C_{Al}}}} = \frac{{K_{I{C_{Al}}}^2}}{{{E_{Al}}}} = \frac{{{{\left( {30000kPa\sqrt m } \right)}^2}}}{{70000000kPa}} = 13\frac{{kJ}}{{{m^2}}}

{G_{{C_{Keramik}}}} = \frac{{K_{I{C_{Keramik}}}^2}}{{{E_{Keramik}}}} = \frac{{{{\left( {1200kPa\sqrt m } \right)}^2}}}{{500000000kPa}} = 4\frac{J}{{{m^2}}}

f)

werkstoff-beanspruchung-statisch-dynamisch-aufgabe-losung-spannung-3-2

Es ist ersichtlich, dass die kritische Festigkeit der Keramik abhängig von der Länge des Risses ist. Einen vergleichbaren Effekt kann man bei intermetallischen Phasen beobachten.