2.5 – Calderon-Projektor

 

Idee: Wir nehmen die Darstellungsformel für u. Diese besteht aus je einem Summanden für das Einzelschicht- und Doppelschichtpotential. Dabei bezieht sich das Doppelschichtpotential nur auf die Dirichlet-Spur {\gamma _0}u und das Einzelschichtpotential nur auf die Neumann-Spur {\gamma _1}u. Diese beiden Anteile der Cauchy-Daten berechnen wir getrennt in einem System von Randintegralgleichungen. Die Matrix aus Integraloperatoren, die dabei entsteht, nennen wir Caldéron-Projektor.

Wie bereits gezeigt kann eine Lösung u \in {C^2}\left( {\bar \Omega } \right) von \Delta u = 0 im Innengebiet \Omega = {\Omega ^-} durch u = -Dv+S\phi mit v = {\gamma _0}u = \left. {u\left( x \right)} \right|\Gamma und \phi = {\gamma _1}u = \left. {{\partial _n}u\left( x \right)} \right|\Gamma dargestellt werden. Die Sprungrelationen liefern

{\gamma _0}u = -{\gamma _0}Dv+{\gamma _0}S\phi = \frac{1}{2}v-Kv+V\phi

{\gamma _1}u = -{\gamma _1}Dv+{\gamma _1}S\phi = Wv+\frac{1}{2}\phi +{K^\prime }\phi

oder kompakter:

\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{\gamma _0}u} \\ {{\gamma _1}u} \end{array}} \right) = \left( {\frac{1}{2}I+A} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} v \\ \phi \end{array}} \right) = :C\left( {\begin{array}{*{20}{c}} v \\ \phi \end{array}} \right)

mit

A: = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{-K}&V \\ W&{{K^\prime }} \end{array}} \right).

Definition: Der Operator 0.5I+A = :C, genauer {C^-} für das Innengebiet, wird Calcéron-Projektor für den Laplace-Operator genannt.

Theorem: Sei \Gamma \in {C^\infty }.

  1. Sei u \in {C^2}\left( {{\Omega ^-}} \right), \Delta u = 0 in \Omega, v: = {\gamma _0}u, \phi : = {\gamma _1}u. Dann gilt: \left( {\begin{array}{*{20}{c}} v \\ \phi \end{array}} \right) = C\left( {\begin{array}{*{20}{c}} v \\ \phi \end{array}} \right) (Fixpunkt)
  2. Sei v,\phi \in {C^\infty }\left( \Gamma \right). Dann existiert ein u \in {C^\infty }\left( {{\Omega ^-}} \right) mit \Delta u = 0 in \Omega, v = {\gamma _0}u und \phi = {\gamma _1}u genau dann, wenn \left( {\begin{array}{*{20}{c}} v \\ \phi \end{array}} \right) = C\left( {\begin{array}{*{20}{c}} v \\ \phi \end{array}} \right) gilt.
  3. {C^2} = C. (Idempotent)
  4. {C^-}+{C^+} = I.

Anmerkung: Es gilt

{C^2} = C\quad \Leftrightarrow \quad {A^2} = I/4

\Leftrightarrow \quad KV = V{K^\prime },WK = {K^\prime }W,

\left( {I/2+K} \right)\left( {I/2-K} \right) = VW

\left( {I/2+{K^\prime }} \right)\left( {I/2-{K^\prime }} \right) = WV

Die erste Gleichheit folgt aus {C^2} = {A^2}+A+I/4 = A+I/2 = C. Für die zweite benutzen wir

{A^2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{K^2}+VW}&{-KV+V{K^\prime }} \\ {-WK+{K^\prime }W}&{WV+{K^{\prime 2}}} \end{array}} \right).