2.5 – Calderon-Projektor

Idee: Wir nehmen die Darstellungsformel für $u$ . Diese besteht aus je einem Summanden für das Einzelschicht- und Doppelschichtpotential. Dabei bezieht sich das Doppelschichtpotential nur auf die Dirichlet-Spur ${\gamma _0}u$ und das Einzelschichtpotential nur auf die Neumann-Spur ${\gamma _1}u$ . Diese beiden Anteile der Cauchy-Daten berechnen wir getrennt in einem System von Randintegralgleichungen. Die Matrix aus Integraloperatoren, die dabei entsteht, nennen wir Caldéron-Projektor.

Wie bereits gezeigt kann eine Lösung $u \in {C^2}\left( {\bar \Omega } \right)$ von $\Delta u = 0$ im Innengebiet $\Omega = {\Omega ^-}$ durch $u = -Dv+S\phi$ mit $v = {\gamma _0}u = \left. {u\left( x \right)} \right|\Gamma$ und $\phi = {\gamma _1}u = \left. {{\partial _n}u\left( x \right)} \right|\Gamma$ dargestellt werden. Die Sprungrelationen liefern

${\gamma _0}u = -{\gamma _0}Dv+{\gamma _0}S\phi = \frac{1}{2}v-Kv+V\phi$

${\gamma _1}u = -{\gamma _1}Dv+{\gamma _1}S\phi = Wv+\frac{1}{2}\phi +{K^\prime }\phi$

oder kompakter:

$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{\gamma _0}u} \\ {{\gamma _1}u} \end{array}} \right) = \left( {\frac{1}{2}I+A} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} v \\ \phi \end{array}} \right) = :C\left( {\begin{array}{*{20}{c}} v \\ \phi \end{array}} \right)$

mit

$A: = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{-K}&V \\ W&{{K^\prime }} \end{array}} \right)$ .

Definition: Der Operator $0.5I+A = :C$ , genauer ${C^-}$ für das Innengebiet, wird Calcéron-Projektor für den Laplace-Operator genannt.

Theorem: Sei $\Gamma \in {C^\infty }$ .

Sei $u \in {C^2}\left( {{\Omega ^-}} \right)$ , $\Delta u = 0$ in $\Omega$ , $v: = {\gamma _0}u$ , $\phi : = {\gamma _1}u$ . Dann gilt: $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} v \\ \phi \end{array}} \right) = C\left( {\begin{array}{*{20}{c}} v \\ \phi \end{array}} \right)$ (Fixpunkt)
Sei $v,\phi \in {C^\infty }\left( \Gamma \right)$ . Dann existiert ein $u \in {C^\infty }\left( {{\Omega ^-}} \right)$ mit $\Delta u = 0$ in $\Omega$ , $v = {\gamma _0}u$ und $\phi = {\gamma _1}u$ genau dann, wenn $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} v \\ \phi \end{array}} \right) = C\left( {\begin{array}{*{20}{c}} v \\ \phi \end{array}} \right)$ gilt.
${C^2} = C$ . (Idempotent)
${C^-}+{C^+} = I$ .