06 – Dämpfung 01 – Grundlagen der Dämpfung

 

Ein Modell, das nur aus einer Feder und einer Masse besteht, gibt schon viele Eigenschaften und Verhaltensweisen eines realen Systems wieder (etwa bei Verdoppelung der Federkonstanten). Das Modell beschreibt aber nicht das Verhalten auf eine immer und überall auftretende Reibungskraft.

Bei einer gedämpften Schwingung nimmt die Amplitude mit der Zeit ab. Die verlorene Energie wird dabei in Wärme umgewandelt. Die Gesamtschwingung eines Systems setzt sich aus verschiedenen Anteilen zusammen, von denen die wichtigsten hier aufgezählt sind:

  • Materialdämpfung: Dämpfung, die auf den Eigenschaften des Materials beruht. Zum Beispiel hat Holz eine andere Materialdämpfung als Metall.
  • Systemdämpfung: Die Systemdämpfung ist abhängig von der Konstruktion des Schwingenden Systems. Massive Strukturen dämpfen anders als Fachwerke. Genietete Konstruktionen haben eine größere Dämpfung als geschweißte.
  • Lagerdämpfung: Vor allem Reibungsdämpfung, abhängig von der Beschaffenheit und Güte der verwendeten Lager. Die Lagerdämpfung ist entweder geschwindigkeitsproportional oder proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit.
  • Umgebungsdämpfung: Wenn das System nicht in einem Vakuum schwingt, tritt Umgebungsdämpfung auf. Ist das umgebende Medium in Bewegung, spricht man von hydrodynamischer Dämpfung. Ruht das Medium, tritt hydrostatische Reibung auf.
  • Dämpfung durch Schwingungsdämpfer: In vielen Systemen ist eine Dämpfung erwünscht, dewegen werden spezielle Schwingungsdämpfer eingebaut (z.B. der “Stoßdämpfer” im Auto)

Geschwindigkeitsproportional gedämpfte Schwingungen

In hydraulischen Dämpfern ist in guter Näherung die Dämpfungskraft Fd der Geschwindigkeit des Kolbens proportional, man spricht von einem “linearen Dämpfungsverhalten”. Die auftretende Dämpfungskraft ist das Produkt aus der Geschwindigkeit v und einer Konstanten d:

F_d  = dv = d \dot x

Das Zeichen für solch einen Dämpfer sieht wie folgt aus:

Dämpfer Zeichen

Der Proportionalitätsfaktor d ist der Dämpfungskoeffizient mit der Einheit kg/s. Die Dämpfungskraft ist immer der Geschwindigkeit entgegengerichtet.

Im folgenden System nehmen wir an, dass bei x = 0 die statische Gleichgewichtslage ist:

feder masse dämpfer system

Zu einem beliebigen Zeitpunkt t sei m um x ausgelenkt und habe in dieser Lage eine Geschwindigkeit größer 0. Dann wirken auf die Masse die folgenden beiden Kräfte:

Federrückstellkraft: F_f = c x

Dämpfungskraft: F_d = d \dot x

Schwerpunktsatz:

- c x-d \dot x = m \ddot x

umgestellt zu einer homogenen Differentialgleichung:

m\ddot x+d\dot x+cx = 0

Hier teilen wir durch m und führen zwei Dämpfungskennwerte ein, nämlich die:

  • Eigenkreisfrequenz des ungedämpften Systems: \omega_1 = \sqrt{\frac{c}{m}}
  • Abklingkonstante \delta = \frac{d}{2 m}

und erhalten:

\ddot x+\frac{d} {m}\dot x+\frac{c} {m}x = 0

\ddot x+2\delta \dot x+\omega _1^2 x = 0

Lösung der Differentialgleichung

Wir verwenden nun den Ansatz

x = Be^{\lambda t} \quad \quad  \Rightarrow \quad \quad \dot x = B\lambda e^{\lambda t} \quad \quad  \Rightarrow \quad \quad \ddot x = B\lambda ^2 e^{\lambda t}

und setzen in die Differentialgleichung ein:

B\lambda ^2 e^{\lambda t} +2\delta B\lambda e^{\lambda t} +\omega _1^2 Be^{\lambda t}  = 0

Nach Division durch die gemeinsamen Faktoren erhalten wir die charakteristische Gleichung:

\lambda ^2 +2\delta \lambda +\omega _1^2  = 0

Mit der PQ-Formel bestimmen wir die beiden Eigenwerte (Lösungen für λ):

\lambda _{1,2}  =-\delta  \pm \sqrt {\delta ^2 -\omega _1^2 }

Es gibt drei Möglichkeiten, wie das Verhältnis von Abklingkonstante zu Eigenkreisfrequenz sein kann. Zur Unterscheidung der drei Fälle und um den Einfluss der Dämpfung bewerten zu können ist die dimensionslose Größe

\vartheta  = \frac{\delta } {{\omega _1 }}

praktisch. Man bezeichnet sie als den Dämpfungsgrad. In der veralteten Norm DIN 1311-2 von 1974 werden Schwingungen mit

\vartheta < 1

als “schwach gedämpft” bezeichnet. In der Neufassung vom August 2002 heißt ein System nur noch für

\vartheta  \ll 1

schwach gedämpft, ansonsten “stark gedämpft”.

Ein System mit

\vartheta > 1

heißt “sehr stark gedämpft”.