Dämpfung

 

Dämpfung ist die Umwandlung von mechanischer Schwingungsenergie in andere Energieformen. Ein Beispiel ist ein Federpendel, das in einer Flüssigkeit pendelt.

Lineare Dämpfung
Bei einer linearen Dämpfung ist die Dämpfungskraft linear von der Geschwindigkeit abhängig:

F_D = \eta \dot s

Nichtlineare Dämpfung
Quadratische Geschwindigkeitsabhängigkeit

F_D = \frac {1}{2} C_w \rho A \dot s^2 \operatorname{sgn} \left( \dot s \right)

\operatorname{sgn} \left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} + 1 \quad\quad\quad\quad x \geq 0 \\ - 1 \quad\quad\quad\quad x < 0 \\  \end{array} } \right.

Beispiel: Freier Fall in Luft

Differentialgleichung der Bewegung:

m \ddot z = mg-\frac {1}{2} c_w \rho A \dot z^2

gesucht ist v \left( t \right) = \dot z

Wir erhalten zunächst die Gleichung für die Beschleunigung in Abhängigkeit von der Zeit:

\Rightarrow \dot v \left( t \right) =  g-\frac {c_w \rho A}{2m} v^2

Diese gilt es nun so zu integrieren, dass wir die Gleichung für die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit erhalten. Als Nebenbedingung können wir dabei verwenden:

v \left( 0 \right) = 0

Daher ist die zu addierende Integrationskonstante gleich 0.
Wir teilen durch g:

\frac {1}{g} \dot v = 1-\frac {c_w \rho A}{2mg} v^2

und nutzen aus, dass die Endgeschwindigkeit konstant und somit die Endbeschleunigung gleich 0 ist:

\dot v_\infty = 0

Wir setzen die soeben berechnete Formel gleich 0 und lösen nach der Endgeschwindigkeit auf:

0 = 1- \frac {c_w \rho A}{2mg} v_\infty ^2 \quad \quad v_\infty = \sqrt {\frac {2mg}{c_w \rho A}}

Nun wollen wir aber die Geschwindigkeit zu einem beliebigen Zeitpunkt angeben. Wir schreiben die Ableitung der Geschwindigkeit als

\frac{1}{g} \frac{dv}{dt} = 1-\left( \frac{v}{v_\infty} \right) ^2

und trennen zum Integrieren die Variablen:

\frac{dV}{1-\frac{v}{v_\infty}^2} = gdt

Substitution:

\frac {v}{v_\infty} = x \quad \quad \Rightarrow dv = v_\infty dx

\frac {v_\infty dx}{1-x^2} = g dt

Nun zur Integration (Achtung: Wegen der Substitution müssen auch die Integrationsgrenzen angepasst werden):

v_\infty \int\limits_0^{\frac{v}{v_\infty}}{\frac{dx}{1-x^2}} = \int\limits_0^t {gdt} = gt

Integration der linken Seite (mit Hilfe der Formelsammlung):

v_\infty \int\limits_0^{\frac{v}{v_\infty}}{\frac{dx}{1-x^2}} = v_\infty \frac{1}{2} \ln {\frac{1+x}{1-x}} = v_\infty {arctanh} \left( \frac{v}{v_\infty} \right)

Die Integration der rechten Seite ist einfach. Wir setzen die Teile wieder zusammen und erhalten:

\Rightarrow {arctanh} \left( \frac{v}{v_\infty} \right) = \frac{gt}{v_\infty}

Wir bilden den Tangens-Hyperbolicus:

\frac {v}{v_\infty} = \tanh \left(\frac{gt}{v_\infty} \right)

So kommen wir auf das Endergebnis:

v \left( t \right) = v_\infty \tanh \left( \frac{gt}{v_\infty} \right)

Die Definition des Tangens Hyperbolicus verdeutlicht, wie die Funktion auszusehen hat:

\tanh \left( x \right) = \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}

Beispiel: Umgedrehtes Pendel

Elemente bei Torsion:

Lineare Feder: M_C = C_T \varphi

Linearer Dämpfer: M_D = \eta_T \dot \varphi

Coulomb Reibung: M_R = \eta_T \operatorname{sgn} \left( \dot \varphi \right)

Der Stab des Pendels, an dem die Masse m hängt, ist selbst masselos und hat die Länge l.

Freikörperbild:

Drallsatz:

\theta \ddot \alpha = mgl \sin \alpha-M_\eta-M_C

Die benötigten Konstanten und Kräfte sind:

\theta = ml^2, \quad \quad M_C = C_T \alpha, \quad \quad M_\eta = \eta_T \dot \alpha

Wir erhalten die Differentialgleichung der Bewegung:

\Rightarrow \ddot \alpha+\frac{C_T}{ml^2} \alpha-\frac{g}{l} \sin \alpha+\frac{\eta_T}{ml^2} \dot \alpha = 0

Die Bewegungsgleichung ist nicht linear und kann nicht mehr analytisch gelöst werden. Es muss also eine numerische Annäherung berechnet werden.

Alternativ kann die Gleichung für kleine Winkel α linearisiert werden. Mit der linearisierten Gleichung kann dann allerdings nicht mehr das Verhalten des Pendels berechnet werden, wenn es nach unten “durchschlägt”, was mit der obigen Gleichung noch möglich wäre.

Linearisierung:

\ddot \alpha+\left( \frac{C_T}{ml^2}-\frac{g}{l} \right) \alpha+\frac{\eta_T}{ml^2} \dot \alpha = 0

Schwingungen treten auf für

\frac {C_T}{ml^2}-\frac{g}{l} > 0

m < \frac{C_T}{gl}