2.3 – Anwendbare Darstellung des hypersingulären Integraloperators

 

Satz: Sei f \in {C^1}\left( \Gamma \right). Dann gilt im schwachen Sinne mit dem Tangentenvektor t\left( x \right):

\int\limits_\Gamma {f\left( y \right)\frac{\partial }{{\partial n\left( x \right)}}\frac{\partial }{{\partial n\left( y \right)}}\log \left| {x-y} \right|dS\left( y \right)} = \int\limits_\Gamma {\frac{{df\left( y \right)}}{{dS}}\frac{{\left\langle {x-y,t\left( x \right)} \right\rangle }}{{{{\left| {x-y} \right|}^2}}}dS\left( y \right)}.

Dabei ist das linke Integral im schwachen Sinne zu verstehen, das rechte existiert als ein Cauchyscher Hauptwert. Als cauchyschen Hauptwert bezeichnet man den Wert, den man einem divergenten Integral zuordnen kann, wenn sich divergente Teile verschiedenen Vorzeichens gegenseitig aufheben. Ist das Integral \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} uneigentlich an c \in \left( {a,b} \right), so bezeichnet man den Grenzwert

\mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to {0^+}} \left( {\int\limits_a^{c-\varepsilon } {f\left( x \right)dx} +\int\limits_{c+\varepsilon }^b {f\left( x \right)dx} } \right) = CH\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}

als den Cauchyschen Hauptwert.

Beweis: Wir arbeiten in der komplexen Ebene,

x = \left( {{x_1},{x_2}} \right) \leftrightarrow \zeta = {x_1}+i{x_2};\:\:y = \left( {{y_1},{y_2}} \right) \leftrightarrow z = {y_1}+i{y_2},

und benutzen den komplexen Logarithmus \phi = \log \left( {\zeta -z} \right) = \log \left| {x-y} \right|+i\vartheta \left( {\zeta -z} \right) mit dem Argument \vartheta von z. Anschließend wenden wir die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen an.

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