2.1 – Darstellungsformeln in der Potentialtheorie

Sei $\Omega$ ein beschränktes Gebiet in ${\mathbb{R}^n}$ mit glattem Rand $\Gamma$ . Wir betrachten die Laplacegleichung:

$0 = \Delta u: = \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial x_i^2}}}$

Eine Funktion $u\left( x \right)$ , die diese Gleichung erfüllt, heißt harmonisch. Für harmonische Funktionen gilt ein Maximumsprinzip: Sei $\Omega \subset {\mathbb{R}^n}$ ein beschränktes Gebiet, sei $u \in {C^2}\left( \Omega \right) \cap C\left( {\bar \Omega } \right)$ harmonisch in $\Omega$ . Dann gilt: Entweder ist $u$ auf $\Omega$ konstant, oder es gilt

$\mathop {\min }\limits_{y \in \partial \Omega } u\left( y \right) < u\left( x \right) < \mathop {\max }\limits_{y \in \partial \Omega } u\left( y \right),\quad \forall x \in \Omega$ .

Wir betrachten nun das folgende Randwertproblem (Dirichlet-Problem für die Poisson-Gleichung):

$-\Delta u = f\quad in\:\:\Omega$

$u = g\quad \quad auf\:\partial \Omega$

Seien $f \in C\left( \Omega \right)$ und $g \in C\left( {\partial \Omega } \right)$ . Ein $u$ heißt klassische Lösung des Randwertproblems, falls $-\Delta u\left( x \right) = f\left( x \right)\:\forall x \in \Omega \wedge u\left( x \right) = g\left( x \right)\:\forall x \in \partial \Omega$ gilt. Das Dirichlet-Problem für die Poisson-Gleichung in einem beschränkten Gebiet hat höchstens eine klassische Lösung.

Fundamentallösung

Bestimmte Lösungen einer partiellen Differentialgleichung kann man manchmal dadurch erhalten, indem man einen geeigneten Ansatz wählt. Wir wollen nun nach radialsymmetrischen Lösungen der Laplace-Gleichung suchen, also nach Lösungen der Form

$u\left( x \right) = v\left( {\left| x \right|} \right),\quad \left| x \right| = {\left\| x \right\|_2} = \sqrt {\sum {x_i^2} }$ ,

mit der zu bestimmenden Funktion $v:{\mathbb{R}_+} \to \mathbb{R}$ . Für $\rho \left( x \right) = \left| x \right|$ gilt, falls $x \ne 0$ ,

${\partial _i}\rho \left( x \right) = \frac{{{x_i}}}{{\left| x \right|}},\quad {\partial _j}{\partial _i}\rho \left( x \right) = \frac{1}{{\left| x \right|}}{\delta _{ij}}-\frac{{{x_i}{x_j}}}{{{{\left| x \right|}^3}}}$ .

Für den Ansatz oben gilt also

${\partial _i}u\left( x \right) = {v^\prime }\left( {\left| x \right|} \right)\frac{{{x_i}}}{{\left| x \right|}},\quad \partial _i^2u\left( x \right) = {v^{\prime \prime }}\left( {\left| x \right|} \right)\frac{{x_i^2}}{{{{\left| x \right|}^2}}}+{v^\prime }\left( {\left| x \right|} \right)\left( {\frac{1}{{\left| x \right|}}-\frac{{x_i^2}}{{{{\left| x \right|}^3}}}} \right)$ .

Dies setzen wir zum Laplace-Operator zusammen:

$\Delta u = {v^{\prime \prime }}\left( {\left| x \right|} \right)+\frac{{n-1}}{{\left| x \right|}}{v^\prime }\left( {\left| x \right|} \right)$

Wir haben damit für diesen Spezialfall die Laplace-Gleichung auf eine gewöhnliche DGL zurückgeführt. Diese besitzt die speziellen Lösungen

$v\left( {\left| x \right|} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\log \left| x \right|,\quad n = 2} \\ {{{\left| x \right|}^{2-n}},\quad n \geq 3} \end{array}} \right.$ .

Die durch

$\Phi \left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-\frac{1}{{2\pi }}\log \left( {\left| x \right|} \right),\quad n = 2} \\ {\frac{1}{{\left( {n-2} \right){\alpha _n}}}{{\left| x \right|}^{2-n}},\quad n \geq 3} \end{array}} \right.,\quad {\alpha _n} = \left| {\partial B\left( {0;1} \right)} \right|$ (Flächeninhalt Rand Einheitskugel)

definierte Funktion $\Phi :{\mathbb{R}^n}\backslash \left\{ 0 \right\} \to \mathbb{R}$ heißt Fundamentallösung. Die Fundamentallösung hat eine Singularität im Nullpunkt, was bei den folgenden Berechnungen zu Schwierigkeiten führen wird.

Greensche Darstellungsformel

Wir erinnern uns an den Satz von Gauß: Sei $\Omega \subset {\mathbb{R}^n}$ kompakt mit abschnittsweise glattem Rand $\partial \Omega$ , der Rand sei orientiert durch ein äußeres Normalen-Einheitsfeld $\vec n$ . Ferner Sei das Vektorfeld $\vec F$ stetig differenzierbar. Dann gilt:

$\int\limits_\Omega {\nabla \cdot \vec F\left( x \right)dx} = \int\limits_{\partial \Omega } {\vec F \cdot \vec n\:dS\left( y \right)}$ .

Die erste Greensche Formel ergibt sich, wenn wir den Gauß’schen Satz auf $\vec F = v\nabla u$ anwenden,

$\int\limits_\Omega {\nabla \cdot \left( {v\left( x \right)\nabla u\left( x \right)} \right)dx} = \int\limits_{\partial \Omega } {v\left( y \right)\nabla u\left( y \right) \cdot \vec n\:dS\left( y \right)}$

$\Rightarrow \quad \int\limits_\Omega {v\left( x \right)\Delta u\left( x \right)dx} +\int\limits_\Omega {\left\langle {\nabla v\left( x \right),\nabla u\left( x \right)} \right\rangle dx} = \int\limits_{\partial \Omega } {v\left( y \right){\partial _n}u\left( y \right)\:dS\left( y \right)}$

die zweite, indem wir in der ersten die Rollen von $u$ und $v$ vertauschen und subtrahieren:

$\int\limits_\Omega {v\left( x \right)\Delta u\left( x \right)-u\left( x \right)\Delta v\left( x \right)dx} = \int\limits_{\partial \Omega } {v\left( y \right){\partial _n}u\left( y \right)-u\left( y \right){\partial _n}v\left( y \right)dS\left( y \right)}$

Es ergibt sich die Greensche Darstellungsformel, wenn man die zweite Greensche Formel auf dem Gebiet $\Omega \backslash B\left( {x,\varepsilon } \right)$ mit der dort harmonischen Funktion $v\left( y \right) = \Phi \left( {y-x} \right)$ anwendet und den Grenzübergang $\varepsilon \to 0$ durchführt. Der entsprechende Satz lautet wie folgt.

Sei $\Omega \subset {\mathbb{R}^n}$ ein beschränktes Gebiet mit ${C^1}$ -Rand, $u \in {C^2}\left( \Omega \right) \cap {C^1}\left( {\bar \Omega } \right)$ . Dann gilt für alle $x \in \Omega$ :

$u\left( x \right) = \int\limits_{\partial \Omega } {\Phi \left( {x-y} \right){\partial _n}u\left( y \right)-u\left( y \right){\partial _n}\Phi \left( {x-y} \right)dS\left( y \right)} -\int\limits_\Omega {\Phi \left( {x-y} \right)\Delta u\left( y \right)dy}$ .

Wir beschränken uns nun auf $\Omega \subset {\mathbb{R}^2}$ , wodurch sich wie oben gezeigt $\Phi \left( x \right) = -\frac{1}{{2\pi }}\log \left| x \right|$ ergibt:

$u\left( x \right) = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_\Omega {\log \left| {x-y} \right|\Delta u\left( y \right)dy} +\frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{\partial \Omega } {u\left( y \right){\partial _n}\log \left| {x-y} \right|-{\partial _n}u\left( y \right)\log \left| {x-y} \right|\:dS\left( y \right)}$

Folgerungen aus der Greenschen Darstellungsformel

Folgerung 1: Ist $u \in {C^2}\left( {{\mathbb{R}^2}} \right)$ und ist $\operatorname{supp} \left( u \right) = \overline {\left\{ {x:x \in \Omega ,u\left( x \right) \ne 0} \right\}}$ kompakt, so gilt:

$u\left( x \right) = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{{\mathbb{R}^2}} {\log \left| {x-y} \right|\Delta u\left( y \right)dy}$ .

Beweis 1: Wähle $\Omega$ in der Greenschen Darstellungsformel so groß, dass gilt:

$\operatorname{supp} \left( u \right) \subset \Omega \Rightarrow u\left( x \right) = {\partial _n}u\left( x \right) = 0,\:x \in \partial \Omega$

Folgerung 2: Ist $u \in {C^2}\left( {{\mathbb{R}^2}} \right)$ harmonisch, so gilt:

$u\left( x \right) = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{\partial \Omega } {u\left( y \right){\partial _n}\log \left| {x-y} \right|-{\partial _n}u\left( y \right)\log \left| {x-y} \right|\:dS\left( y \right)}$ .

Beweis 2: Es ist $\Delta u = 0$ in der Greenschen Darstellungsformel.

Greensche Funktion

Wir betrachten wieder das Dirichlet-Problem für die Poisson-Gleichung. Ist $u$ eine klassische Lösung, für die die Greensche Darstellungsformel gilt, so folgt

$u\left( x \right) = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{\partial \Omega } {g\left( y \right){\partial _n}\log \left| {x-y} \right|-{\partial _n}u\left( y \right)\log \left| {x-y} \right|\:dS\left( y \right)} -\frac{1}{{2\pi }}\int\limits_\Omega {\log \left| {x-y} \right|f\left( y \right)dy}$ .

Diese Formel eignet sich leider nicht für die direkte Berechnung von $u$ aus $f$ und $g$ , da ${\partial _n}u$ auf $\partial \Omega$ ebenfalls unbekannt ist. Um hier weiterzukommen, führen wir die Greensche Funktion ein. Wir nehmen an, dass es zu jedem $x \in \Omega$ eine Funktion ${h^x} \in {C^2}\left( \Omega \right) \cap {C^1}\left( {\bar \Omega } \right)$ gibt mit

$-\Delta {h^x}\left( y \right) = 0,\quad y \in \Omega$

${h^x}\left( y \right) = \Phi \left( {x-y} \right),\quad y \in \partial \Omega$

Die durch

$G\left( {x,y} \right) = \Phi \left( {x-y} \right)-{h^x}\left( y \right),\quad x,y \in \bar \Omega ,\quad x \ne y$

definierte Funktion heißt die Greensche Funktion des Laplace-Operators in $\Omega$ . Unmittelbar aus der Definition folgt, dass

$G\left( {x,y} \right) = 0,\quad x \in \Omega ,\quad y \in \partial \Omega$ ,

und dass die Funktion $y \mapsto G\left( {x,y} \right)$ harmonisch ist in $\Omega \backslash \left\{ x \right\}$ . Wir kommen damit zu einer neuen Darstellungsformel.

Satz: Sei $\Omega \subset {\mathbb{R}^n}$ ein beschränktes Gebiet mit ${C^1}$ -Rand, sei $u \in {C^2}\left( \Omega \right) \cap {C^1}\left( {\bar \Omega } \right)$ . Es existiere die Greensche Funktion in $\Omega$ . Dann gilt für alle $x \in \Omega$ :

$u\left( x \right) = -\int\limits_{\partial \Omega } {u\left( y \right){\partial _n}G\left( {x,y} \right)dS\left( y \right)} -\int\limits_\Omega {G\left( {x,y} \right)\Delta u\left( y \right)dy}$ .

Beweis: Aus der zweiten Greenschen Formel ergibt sich mit $v = {h^x}$

$\int\limits_\Omega {{h^x}\left( y \right)\Delta u\left( y \right)dy} = \int\limits_{\partial \Omega } {{h^x}\left( y \right){\partial _n}u\left( y \right)-u\left( y \right){\partial _n}{h^x}\left( y \right)dS\left( y \right)}$ .

Wenn wir dies von der Greenschen Darstellungsformel subtrahieren (beachte hierbei $G\left( {x,y} \right) = 0\:\forall y \in \partial \Omega$ ), so folgt der Satz.

Es ergibt sich unmittelbar eine Integraldarstellung für die klassische Lösung des Randwertproblems für die Poisson-Gleichung, nämlich:

$u\left( x \right) = -\int\limits_{\partial \Omega } {g\left( y \right){\partial _n}G\left( {x,y} \right)dS\left( y \right)} +\int\limits_\Omega {G\left( {x,y} \right)f\left( y \right)dy}$ .

Wenn nun $\operatorname{supp} \left( u \right) \subset \subset \Omega$ gilt, wird daraus

$u\left( x \right) = \int\limits_\Omega {G\left( {x,y} \right)f\left( y \right)dy}$ .

Sei nun $G$ definiert als der Integraloperator $f \mapsto Gf$ mit

$\left( {Gf} \right)\left( x \right): = \int\limits_{{\mathbb{R}^2}} {G\left( {x,y} \right)f\left( y \right)dy} = -\frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{{\mathbb{R}^2}} {\log \left| {x-y} \right|f\left( y \right)dy}$ .

Dann gilt für $u \in C_0^2\left( {{\mathbb{R}^2}} \right)$ : $u = G\Delta u = \Delta Gu$

Äußeres und inneres Gebiet

Sei ${\Omega ^-} \cup {\Omega ^+} \cup \Gamma = {\mathbb{R}^2}$ , wobei ${\Omega ^-}$ das innere Gebiet, ${\Omega ^+}$ das äußere Gebiet und $\Gamma$ der Rand des Gebietes ist. Dann lautet die Greensche Darstellungsformel für eine harmonische Funktion wie folgt.

Theorem 1

Sei $u \in {C^2}\left( {{\Omega ^-}} \right) \cap {C^2}\left( {{\Omega ^+}} \right)$ . Es gebe die Grenzwerte

${\left. {u\left( x \right)} \right|_{\operatorname{int} \Gamma }} = \mathop {\lim }\limits_{z \to x \in \Gamma ,z \in {\Omega ^-}} u\left( z \right),\quad \quad {\left. {u\left( x \right)} \right|_{\operatorname{ext} \Gamma }} = \mathop {\lim }\limits_{z \to x \in \Gamma ,z \in {\Omega ^+}} u\left( z \right)$ ,

und die analog definierten Grenzwerte der Normalenableitungen. Weiterhin sei

$\left[ {u\left( x \right)} \right]: = {\left. {u\left( x \right)} \right|_{\operatorname{int} \Gamma }}-{\left. {u\left( x \right)} \right|_{\operatorname{ext} \Gamma }}$

$\left[ {{\partial _n}u\left( x \right)} \right] = \left[ {\frac{{\partial u\left( x \right)}}{{\partial n}}} \right]: = {\left. {\frac{{\partial u\left( x \right)}}{{\partial n}}} \right|_{\operatorname{int} \Gamma }}-{\left. {\frac{{\partial u\left( x \right)}}{{\partial n}}} \right|_{\operatorname{ext} \Gamma }}$

der Sprung von $u$ bzw. der Normalenableitung von $u$ am Rand. Für $u$ gelte außerdem

$\Delta u = 0\quad \quad in\:\:{\Omega ^-} \cup {\Omega ^+}$

$u\left( y \right) = O\left( {\frac{1}{{\left| y \right|}}} \right)\quad \quad f\ddot ur\:\left| y \right| \to +\infty$

$\left| {\nabla u\left( y \right)} \right| = O\left( {\frac{1}{{{{\left| y \right|}^2}}}} \right)\quad \quad f\ddot ur\:\left| y \right| \to +\infty$

Dann gilt für $y \in {\Omega ^-} \cup {\Omega ^+}$

$u\left( y \right) = -\frac{1}{{2\pi }}\int\limits_\Gamma {\left[ {{\partial _n}u\left( x \right)} \right]\log \left| {x-y} \right|-\left[ {u\left( x \right)} \right]{\partial _n}\log \left| {x-y} \right|\:dS\left( x \right)}$ ,

und für $y \in \Gamma$

$\frac{{{{\left. {u\left( y \right)} \right|}_{\operatorname{int} \Gamma }}+{{\left. {u\left( y \right)} \right|}_{\operatorname{ext} \Gamma }}}}{2} = -\frac{1}{{2\pi }}\int\limits_\Gamma {\left[ {{\partial _n}u\left( x \right)} \right]\log \left| {x-y} \right|-\left[ {u\left( x \right)} \right]{\partial _n}\log \left| {x-y} \right|\:dS\left( x \right)}$ .

Beweis: Der Satz können wir beweisen, indem wir eine $\varepsilon$ -Kugel $B\left( {y,\varepsilon } \right)$ auf den Rand $\Gamma$ legen, so dass diese halb in ${\Omega ^+}$ und halb in ${\Omega ^-}$ enthalten ist. Weiterhin benutzten wir eine Kugel $B\left( {0,R} \right)$ , in der sowohl ${\Omega ^-}$ als auch $B\left( {y,\varepsilon } \right)$ enthalten sind. Anschließend wenden wir die Greensche Formel auf ${\Omega ^-}\backslash B\left( {y,\varepsilon } \right)$ und ${\Omega ^+} \cap B\left( {0,R} \right)\backslash B\left( {y,\varepsilon } \right)$ an. Wir erhalten zwei Formeln für $y \in {\Omega ^-} \cup {\Omega ^+}$ . Diese addieren wir und lassen $\varepsilon$ gegen 0 gehen. Wenn wir dann $R \to +\infty$ gehen lassen, folgt der erste Teil des Satzes. Für den zweiten Teil kann ein glatter Rand $\Gamma$ durch eine Tangente approximiert werden, die $B\left( {y,\varepsilon } \right)$ in zwei Halbkugeln teilt. Unter Benutzung von Polarkoordinaten kann man auf den Mittelwert von innerem und äußerem Grenzwert von $u$ schließen.

Anmerkungen

Erinnerung: Lipschitz-Gebiet
Euklidischer Raum, dessen Rand ausreichend regulär ist in dem Sinn, dass er lokal als Graph einer Lipschitz-stetigen Funktion gesehen werden kann. Lipschitz-stetig: Funktion kann sich nur begrenzt schnell ändern.

Der erste Teil des Satzes gilt auch für ein Lipschitz-Gebiet mit Ecken. Wenn $y \in \Gamma$ eine Ecke mit Innenwinkel $\delta$ und Außenwinkel $2\pi -\delta$ ist, muss die linke Seite geändert werden zu
$\frac{\delta }{{2\pi }}{\left. {u\left( y \right)} \right|_{\operatorname{int} \Gamma }}+\frac{{2\pi -\delta }}{{2\pi }}{\left. {u\left( y \right)} \right|_{\operatorname{ext} \Gamma }}$ .
Wir betrachten den speziellen Fall $u = 0$ in ${\Omega ^+}$ . Dann gilt für $y \in {\Omega ^-}$ :
$u\left( y \right) = -\frac{1}{{2\pi }}\int\limits_\Gamma {{\partial _n}u\left( x \right)\log \left| {x-y} \right|-u\left( x \right){\partial _n}\log \left| {x-y} \right|\:dS\left( x \right)}$

Das bedeutet, dass $u$ in ${\Omega ^-}$ von $\left. u \right|\Gamma$ und ${\left. {{\partial _n}u} \right|_\Gamma }$ bestimmt wird. Diese beiden Bedingungen können allerdings nicht unabhängig voneinander vorgeschrieben werden, sondern nur entweder oder (Dirichlet- vs. Neumann-Problem).

Theorem 2

$u$ befriedige die Bedingungen von Theorem 1. Außerdem sei ${\left. {u\left( x \right)} \right|_{\operatorname{int} \Gamma }}-{\left. {u\left( x \right)} \right|_{\operatorname{ext} \Gamma }} = 0$ . Dann gilt mit $q\left( y \right): = \left[ {{\partial _n}u\left( y \right)} \right] = {\left. {{\partial _n}u\left( y \right)} \right|_{\operatorname{int} \Gamma }}-{\left. {{\partial _n}u\left( y \right)} \right|_{\operatorname{ext} \Gamma }}$ für alle $y \in \Gamma$ im schwachen Sinn:

${\left. {{\partial _n}u\left( y \right)} \right|_{\operatorname{ext} \Gamma }} = -\frac{1}{2}q\left( y \right)-\frac{1}{{2\pi }}\int\limits_\Gamma {q\left( x \right){\partial _n}\log \left| {x-y} \right|dS\left( x \right)}$

${\left. {{\partial _n}u\left( y \right)} \right|_{\operatorname{int} \Gamma }} = +\frac{1}{2}q\left( y \right)-\frac{1}{{2\pi }}\int\limits_\Gamma {q\left( x \right){\partial _n}\log \left| {x-y} \right|dS\left( x \right)}$

Beweis 2: Sei $\varphi \in C_0^\infty \left( {{\mathbb{R}^n}} \right)$ . Wir wenden den Gauß’schen Satz auf ${\Omega ^+} \cap \operatorname{supp} \varphi$ an und benutzen dann das Resultat von Theorem 1. Anschließend führen wir Polarkoordinaten ein und legen wie im Beweis von Theorem 1 eine Kugel $B\left( {x,\varepsilon } \right)$ auf den Rand. Durch Vertauschen der Integrationsreihenfolge und erneute Anwendung des Gauß’schen Satzes folgt mit $\varepsilon \to 0$ Theorem 2.

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