Aufgabe 05 – Dehnungskontrollierte Ermüdungsexperimente an zylindrischen Cu-Proben

 

Es wurden dehnungskontrollierte Ermüdungsexperimente an zylindrischen Cu-Proben durchgeführt. Dabei hat sich gezeigt, dass der Probenausfall im Bereich von 6\cdot {10^{-3}} > \left( {\Delta {\varepsilon _{ges}}/2} \right) > 1\cdot {10^{-3}} ausschließlich durch den plastischen Anteil der Verformung bestimmt wird. Im Bereich unterhalb von \left( {\Delta {\varepsilon _{ges}}/2} \right) = 1\cdot {10^{-4}} bestimmt die elastische Dehnungsamplitude das Probenversagen.

  1. Bestimmen Sie die beiden Größen, die Sie benötigen, um die Dehnungs-Wöhlerlinie im Bereich der Langzeitermüdung mathematisch zu beschreiben.
  2. Bestimmen Sie die beiden Größen, die Sie benötigen, um die Dehnungs-Wöhlerlinie im Bereich der Kurzzeitermüdung zu beschreiben.
  3. Zeichnen Sie für a) und b) die entsprechende \Delta {\varepsilon _{ges}}/2 vs. N-Kurve in das Diagramm ein.
  4. Wie viele Schwingspiele überlebt ein Bauteil, wenn die Dehnungsamplitude \Delta {\varepsilon _{ges}}/2 = 7\cdot {10^{-5}} beträgt?
  5. Wie hoch dürfen Sie \Delta {\varepsilon _{ges}}/2 wählen, wenn 50 von 100 Bauteilen 500 Schwingspiele überleben sollen?
  6. Bilden Sie die Gesamtkurve für \Delta {\varepsilon _{ges}} = \Delta {\varepsilon _{el}}+\Delta {\varepsilon _{pl}} und zeichnen Sie diese ein!

Wertetabelle:

\begin{array}{*{20}{c}}{N\:\:in\:\:\left[ {SSp} \right]} &\vline & {\Delta {\varepsilon _{ges}}/2\:\:in\:\:\left[ - \right]} \\ \hline{1 \cdot {{10}^3}} &\vline & {6 \cdot {{10}^{-3}}} \\{3 \cdot {{10}^3}} &\vline & {4 \cdot {{10}^{-3}}} \\{1 \cdot {{10}^4}} &\vline & {2 \cdot {{10}^{-3}}} \\{3 \cdot {{10}^4}} &\vline & {1 \cdot {{10}^{-3}}} \\{1 \cdot {{10}^5}} &\vline & {7 \cdot {{10}^{-4}}} \\{3 \cdot {{10}^5}} &\vline & {5 \cdot {{10}^{-4}}} \\{1 \cdot {{10}^6}} &\vline & {2,7 \cdot {{10}^{-4}}} \\{1,5 \cdot {{10}^6}} &\vline & {2,5 \cdot {{10}^{-4}}} \\{2 \cdot {{10}^6}} &\vline & {2,5 \cdot {{10}^{-4}}} \\{3 \cdot {{10}^6}} &\vline & {2 \cdot {{10}^{-4}}} \\{1 \cdot {{10}^7}} &\vline & {1,7 \cdot {{10}^{-4}}} \\{1,2 \cdot {{10}^7}} &\vline & {1 \cdot {{10}^{-4}}} \\{8 \cdot {{10}^8}} &\vline & {5 \cdot {{10}^{-5}}} \\ \end{array}

werkstoff-beanspruchung-statisch-dynamisch-aufgabe-losung-spannung-4-1

Lösung

Allgemein gilt:

Die Spannungsamplitude:

{S_a} = \frac{1}{2}\left( {{S_o}-{S_u}} \right)

Die Schwingamplitude:

{\varepsilon _a} = \frac{1}{2}\left( {{\varepsilon _o}-{\varepsilon _u}} \right) = \frac{1}{2}\Delta \varepsilon

{\varepsilon _a} = {\varepsilon _{a,el}}+{\varepsilon _{a,pl}}

{\varepsilon _a} = \frac{{{\sigma _F}}}{E}{\left( {2{N_F}} \right)^b}+{\varepsilon _f}{\left( {2{N_f}} \right)^c}

a)

Um die Kurve mathematisch zu beschreiben muss die Kurvengleichung aufgestellt werden. Da wir uns im Bereich der Langzeitermüdung befinden, werden Werte aus dem unteren Tabellenbereich genommen und eine passende Gerade angelegt.

{\varepsilon _{a,el,1}} = {10^{-4}}\qquad \qquad {N_{F,1}} = 1,2\cdot {10^7} und

{\varepsilon _{a,el,2}} = 4\cdot {10^{-5}}\qquad \qquad {N_{F,1}} = 3\cdot {10^9}

Aus diesen Werten lässt sich eine Geradensteigung b bestimmen. Dafür muss allerdings beachtet werden, dass es sich um eine Exponentialgleichung handelt.

{\varepsilon _{a,el}} = \frac{{{\sigma _F}}}{E}{\left( {2{N_F}} \right)^b}

Dabei kann \frac{{{\sigma _F}}}{E} als konstanter Wert gesehen werden, der keinen Einfluss auf die Steigung hat.

b = \frac{{\lg \left( {4\cdot {{10}^{-5}}} \right)-\lg \left( {{{10}^{-4}}} \right)}}{{\lg \left( {2\cdot 3\cdot {{10}^9}} \right)-\lg \left( {2\cdot 1,2\cdot {{10}^7}} \right)}} = -0,166 \approx -0.17

Abschließend muss nun noch der konstante Wert für \frac{{{\sigma _F}}}{E} bestimmt werden. Dafür wird ein bekannter Punkt berechnet und nach \frac{{{\sigma _F}}}{E} aufgelöst:

{\varepsilon _{a,el,2}} = \frac{{{\sigma _F}}}{E}{\left( {2{N_{F,2}}} \right)^b}

\Rightarrow \frac{{{\sigma _F}}}{E} = \frac{{{\varepsilon _{a,el,2}}}}{{{{\left( {2{N_{F,2}}} \right)}^b}}} = \frac{{4\cdot {{10}^{-5}}}}{{\left( {2\cdot 3\cdot {{10}^9}} \right)}}

\Rightarrow \frac{{{\sigma _F}}}{E} = 1,8\cdot {10^{-3}}

Damit sind für diese Geradengleichung alle notwendigen Werte bekannt.

Anmerkung: Der plastische Anteil wurde vernachlässigt, da dieser im Verhältnis zum elastischen Anteil weniger als 10% ausmacht.

b)

Der Aufgabenteil b) geht ähnlich wie Aufgabenteil a). Der Unterschied liegt darin, dass nun die Kurzzeitermüdung betrachtet werden soll. Als Folge müssen Werte aus dem oberen Tabellenbereich entnommen werden und die Gleichung für die plastischen Effekte herangezogen werden.

Als Anhaltspunkte, werden folgende genommen:

{\varepsilon _{a,pl,1}} = 6\cdot {10^{-3}}\qquad \qquad {N_{F,1}} = 1\cdot {10^3} und

{\varepsilon _{a,pl,2}} = 1\cdot {10^{-3}}\qquad \qquad {N_{F,2}} = 3\cdot {10^4}

Die Grundgleichung lautet:

{\varepsilon _{a,pl}} = {\varepsilon _F}{\left( {2{N_F}} \right)^c}

Damit ergibt sich für den Exponenten c :

c = \frac{{\lg \left( {1\cdot {{10}^{-3}}} \right)-\lg \left( {6\cdot {{10}^{-3}}} \right)}}{{\lg \left( {2\cdot 3\cdot {{10}^4}} \right)-\lg \left( {2\cdot 1\cdot {{10}^3}} \right)}} = -0,53

Hiermit kann nun auch {\varepsilon _f} bestimmt werden:

{\varepsilon _f} = \frac{{{\varepsilon _{a,pl,1}}}}{{{{\left( {2\cdot {N_{F,1}}} \right)}^c}}} = \frac{{6\cdot {{10}^{-3}}}}{{{{\left( {2\cdot 1\cdot {{10}^3}} \right)}^{-0,53}}}} = 0,34

c)

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d)

Bei einer Dehnungsamplitude von \Delta {\varepsilon _{ges}}/2 = 7\cdot {10^{-5}} ist der elastische Anteil der relevante, so dass der plastische vernachlässigt werden kann.

Mit den Ergebnissen aus a) kann nun die Dehnungsgleichung verwendet werden.

{\varepsilon _{a,el}} = \frac{{{\sigma _F}}}{E}{\left( {2{N_F}} \right)^b}

Diese wird nun nach {N_F} umgestellt:

{\varepsilon _{a,el}} = \frac{{{\sigma _F}}}{E}{\left( {2{N_F}} \right)^b}

\Rightarrow \frac{{{\varepsilon _{a,el}}\cdot E}}{{{\sigma _F}}} = {\left( {2{N_F}} \right)^b}\qquad \qquad \mid \lg \cdot \frac{1}{b}

\Rightarrow \frac{1}{b}\lg \left( {\frac{{{\varepsilon _{a,el}}\cdot E}}{{{\sigma _F}}}} \right) = \lg \left( {2{N_F}} \right)

\Rightarrow \alpha = \lg \left( {2{N_F}} \right)\qquad \qquad \quad \quad \mid \exp

\Rightarrow \frac{{{{10}^\alpha }}}{2} = {N_F}

Daraus ergibt sich:

\alpha = \frac{1}{b}\lg \left( {\frac{{{\varepsilon _{a,el}}\cdot E}}{{{\sigma _F}}}} \right) = \frac{1}{{-0.17}}\lg \left( {\frac{{7\cdot {{10}^{-5}}}}{{1,8\cdot {{10}^{-3}}}}} \right) = 8,295

Man erhält

{N_F} = \frac{{{{10}^{8,295}}}}{2} \approx {10^8}

Das Bauteil überlebt also ca. {10^8} Schwingspiele.

e)

Bei 500 Schwingspielen befindet man sich deutlich im plastischen Bereich. Es kann also das Ergebnis aus Teilaufgabe b) verwendet werden.

{\varepsilon _{a,pl}} = {\varepsilon _F}{\left( {2{N_F}} \right)^c}

Eingesetzt ergibt sich:

{\varepsilon _{a,pl}} = 0,34{\left( {2\cdot 500} \right)^{-0,53}} \approx 8,74\cdot {10^{-3}}

f)

Die Gesamtkurve ergibt sich aus der Addition der beiden Teilaspekte:

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