U01 – Differentialgleichung, Feder-Masse-Dämpfer System

system-masse-feder-dampfer

Gesucht werden Amplitude und Phasenlage der Bewegung $x$ im eingeschwungenen Zustand.

Charakterisierung der Elemente:

Feder: Kraft proportional zum Weg: ${F_f} = cx$
Dämpfer: Kraft proportional zur Geschwindigkeit: ${F_d} = d\dot x$
Masse: Kraft proportional zur Beschleunigung: ${F_m} = m\ddot x$

Stellen Sie die Differentialgleichungen für die drei Systeme auf
Lösen Sie die Differentialgleichungen mit dem Ansatz $x\left( t \right) = A\sin \left( {\omega t+\varphi } \right)$ und anschließendem Koeffizientenvergleich
Diskutieren Sie die Amplitude $A$ und die Phasenverschiebung $\varphi$ in Abhängigkeit von der Erregerfrequenz $\omega$ mit $0 \leq \omega < \infty$ (Grenzfälle: $\omega \to 0,\quad \omega \to \infty ,\quad$ Eigenfrequenz ${\omega _0} = \sqrt {\frac{c}{m}}$ des ungedämpften Systems)
Für welche Anregungsfrequenz $\omega = {\omega _{res}}$ hat die Amplitude $A$ ihr Maximum?
Stellen Sie die Werte für Amplitude und Phase für die Fälle $\omega \to 0,\quad \omega = {\omega _0},\quad \omega = {\omega _{res}}$ und $\omega \to \infty$ in einer Tabelle dar. Skizzieren Sie anhand der Tabelle die Amplituden- und Phasenverläufe der Systeme

Lösung

a )

System alpha:

freischneiden-system-masse-feder-dampfer

Die wirkenden Kräfte sind:

${F_d} = d\dot x,\quad {F_f} = c\left( {y-x} \right)$

${F_m} = {F_f}-{F_d}$

$m\ddot x = c\left( {y-x} \right)-d\dot x$

$m\ddot x+d\dot x+cx = cy$

System beta:

freischneiden-system-masse-feder-dampfer

Die wirkenden Kräfte sind:

${F_f} = cx,\quad {F_d} = d\left( {\dot y-\dot x} \right)$

${F_m} = {F_d}-{F_f}$

$m\ddot x = d\dot y-d\dot x-cx$

$m\ddot x+d\dot x+cx = d\dot y$

System gamma:

freischneiden-system-masse-feder-dampfer

Die wirkenden Kräfte sind:

${F_d} = d\dot x$

${F_f} = c\dot x$

$m\ddot x = -{F_d}-{F_f}-F$

$m\ddot x = -d\dot x-cx-F$

$m\ddot x+d\dot x+cx = -F$

Wir dividieren durch die Masse:

$\ddot x+\underbrace {\frac{d}{m}}_{ = :2\delta }\dot x+\underbrace {\frac{c}{m}}_{ = :\omega _0^2}x = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{c}{m}y = \frac{c}{m}{y_0}\sin \left( {\omega t} \right)} & {\left( \alpha \right)} \\{\frac{d}{m}\dot y = \frac{d}{m}{y_0}\omega \cos \left( {\omega t} \right)} & {\left( \beta \right)} \\ {-\frac{F}{m} = -\frac{{{F_0}}}{m}\sin \left( {\omega t} \right)} & {\left( \gamma \right)} \\ \end{array} } \right.$

${F_0} = -c{y_0}$

b )

Lösen der DGL mit dem Ansatz $x\left( t \right) = A\sin \left( {\omega t+\varphi } \right)$

$x = A\sin \left( {\omega t+\varphi } \right) = A\cos \left( \varphi \right)\sin \left( {\omega t} \right)+A\sin \left( \varphi \right)\cos \left( {\omega t} \right)$

$\dot x = A\omega \cos \left( {\omega t+\varphi } \right) = B\omega \cos \left( {\omega t} \right)-C\omega \sin \left( {\omega t} \right)$

$\ddot x = -A{\omega ^2}\sin \left( {\omega t+\varphi } \right) = -B{\omega ^2}\sin \left( {\omega t} \right)-C{\omega ^2}\cos \left( {\omega t} \right)$

mit

$A = \sqrt {{B^2}+{C^2}} ,\quad \cos \left( \varphi \right) = \frac{B}{A},\quad \sin \left( \varphi \right) = \frac{C}{A},\quad \tan \left( \varphi \right) = \frac{C}{B}$

Wir setzen das Ergebnis aus a in die zweite Ableitung ein:

$-B{\omega ^2}\sin \left( {\omega t} \right)-C{\omega ^2}\cos \left( {\omega t} \right)+2\delta \left[ {B\omega \cos \left( {\omega t} \right)-C\omega \sin \left( {\omega t} \right)} \right]$

$+\omega _0^2\left[ {B\sin \left( {\omega t} \right)+C\cos \left( {\omega t} \right)} \right]$

$= \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\omega _0^2{y_0}\sin \left( {\omega t} \right)+0 \cdot \cos \left( {\omega t} \right)} & {\quad \left( \alpha \right)} \\ {0 \cdot \sin \left( {\omega t} \right)+2\delta {y_0}\omega \cos \left( {\omega t} \right)} & {\quad \left( \beta \right)} \\ \end{array} } \right.$

Koeffizientenvergleich:

I: $\sin \left( {\omega t} \right)$ : $-B{\omega ^2}-2\delta C\omega +\omega _0^2B = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\omega _0^2{y_0}} & {\left( \alpha \right)} \\ 0 & {\left( \beta \right)} \\ \end{array} } \right.$

II: $\cos \left( {\omega t} \right)$ : $-C{\omega ^2}+2\delta B\omega +\omega _0^2C = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 & {\left( \alpha \right)} \\ {2\delta {y_0}\omega } & {\left( \beta \right)} \\ \end{array} } \right.$

Wir klammern aus und schreiben als Matrix:

$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {\omega _0^2-{\omega ^2}} \right)} & {-2\delta \omega } \\ {2\delta \omega } & {\left( {\omega _0^2-{\omega ^2}} \right)} \\ \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} B \\ C \\ \end{array} } \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\omega _0^2{y_0}} \\ 0 \\ \end{array} } \right)} & {\left( \alpha \right)} \\ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ {2\delta {y_0}\omega } \\ \end{array} } \right)} & {\left( \beta \right)} \\ \end{array} } \right.$

$\det = {\left( {\omega _0^2-{\omega ^2}} \right)^2}+{\left( {2\delta \omega } \right)^2}$

$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} B \\ C \\ \end{array} } \right) = \frac{1}{{\det }}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {\omega _0^2-{\omega ^2}} \right)} & {2\delta \omega } \\ {-2\delta \omega } & {\left( {\omega _0^2-{\omega ^2}} \right)} \\ \end{array} } \right) \cdot \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\omega _0^2{y_0}} \\ 0 \\ \end{array} } \right)} & {\left( \alpha \right)} \\ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ {2\delta {y_0}\omega } \\ \end{array} } \right)} & {\left( \beta \right)} \\ \end{array} } \right.$

$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{B_\alpha }} \\ {{C_\alpha }} \\ \end{array} } \right) = \frac{1}{{\det }}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {\omega _0^2-{\omega ^2}} \right)\omega _0^2{y_0}} \\ {-\omega _0^2{y_0}2\delta \omega } \\ \end{array} } \right)$

Die Konstanten sind:

${A_\alpha } = \frac{{\omega _0^2{y_0}}}{{\sqrt {\left( {\omega _0^2-{\omega ^2}} \right)+{{\left( {2\delta \omega } \right)}^2}} }} = \frac{{\omega _0^2{y_0}}}{{\sqrt {\det } }}$

${B_\alpha } = \frac{{\omega _0^2-{\omega ^2}}}{{{{\left( {\omega _0^2-{\omega ^2}} \right)}^2}+{{\left( {2\delta \omega } \right)}^2}}}\omega _0^2{y_0}$

${C_\alpha } = \frac{{-2\delta \omega }}{{{{\left( {\omega _0^2-{\omega ^2}} \right)}^2}+{{\left( {2\delta \omega } \right)}^2}}}\omega _0^2{y_0}$

$\cos \left( {{\varphi _\alpha }} \right) = \frac{{{B_\alpha }}}{{{A_\alpha }}} = \frac{{\omega _0^2-{\omega ^2}}}{{\sqrt {\det } }}$

$\sin \left( {{\varphi _\alpha }} \right) = \frac{{{C_\alpha }}}{{{A_\alpha }}} = \frac{{-2\delta \omega }}{{\sqrt {\det } }}$

$\tan \left( {{\varphi _\alpha }} \right) = -\frac{{2\delta \omega }}{{\omega _0^2-{\omega ^2}}}$

Für das zweite System gilt:

${A_\beta } = \frac{{2\delta {y_0}{\omega ^2}}}{{\sqrt {\det } }}$

${B_\beta } = \frac{{4{\delta ^2}{y_0}{\omega ^2}}}{{\det }}$

${C_\beta } = \frac{{\omega _0^2-{\omega ^2}}}{{\det }}2\delta {y_0}\omega$

$\sin \left( {{\varphi _\beta }} \right) = \frac{{\omega _0^2-{\omega ^2}}}{{\sqrt {\det } }}$

$\cos \left( {{\varphi _\beta }} \right) = \frac{{2\delta \omega }}{{\sqrt {\det } }}$

$\tan \left( {{\varphi _\beta }} \right) = \frac{{\omega _0^2-{\omega ^2}}}{{2\delta \omega }}$

Tabelle der Amplituden- und Phasenverläufe:

$\begin{array}{*{20}{c}} \alpha &\vline & {\omega = 0} & {\omega = {\omega _0}} & {\omega \to \infty } \\\hline {\sqrt {\det } } &\vline & {\omega _0^2} & {2\delta {\omega _0}} & {{\omega ^2}} \\ {\cos \left( \varphi \right)} &\vline & 1 & 0 & {-1} \\ {\sin \left( \varphi \right)} &\vline & 0 & {-1} & 0 \\ {\tan \left( \varphi \right)} &\vline & 0 & {-\infty } & 0 \\ \varphi &\vline & 0 & {-0.5\pi } & {-\pi } \\ A &\vline & {{y_0}} & {\frac{{\omega _0^2}}{{2\delta }}{y_0}} & 0 \\ \end{array}$

$\begin{array}{*{20}{c}} \beta &\vline & {\omega = 0} & {\omega = {\omega _0}} & {\omega \to \infty } \\\hline {\sqrt {\det } } &\vline & {\omega _0^2} & {2\delta {\omega _0}} & {{\omega ^2}} \\ {\cos \left( \varphi \right)} &\vline & 0 & 1 & 0 \\ {\sin \left( \varphi \right)} &\vline & 1 & 0 & {-1} \\ {\tan \left( \varphi \right)} &\vline & {+\infty } & 0 & {-\infty } \\ \varphi &\vline & {0.5\pi } & 0 & {-0.5\pi } \\ A &\vline & 0 & {{y_0}} & 0 \\ \end{array}$

Das Maximum von ${A_\alpha }\left( \omega \right)$ ist die Resonanzfrequenz ${\omega _{res}}$ .

phasenverschiebung

${\left. {\frac{{d{A_\alpha }}}{{d\omega }}} \right|_{{\omega _{res}}}} = 0 = \frac{d}{{d\omega }}\left( {\frac{{\omega _0^2{y_0}}}{{\sqrt {\det } }}} \right) = -\frac{1}{2}\frac{{\omega _0^2{y_0}}}{{{{\sqrt {\det } }^3}}} \cdot {\left. {\frac{{d\det }}{{d\omega }}} \right|_{{\omega _{res}}}} = 0$

${\left. {\frac{{d\det }}{{d\omega }}} \right|_{{\omega _{res}}}} = 0 = \frac{d}{{d\omega }}\left[ {{{\left( {\omega _0^2-{\omega ^2}} \right)}^2}+{{\left( {2\delta \omega } \right)}^2}} \right]$

$0 = \omega _0^2-\omega _{res}^2-2{\delta ^2}$

$\quad \Rightarrow \quad \omega _{res}^2 = \omega _0^2-2{\delta ^2}\quad \Rightarrow \quad {\omega _{res}} = \sqrt {\omega _0^2-2{\delta ^2}} = {\omega_0}\sqrt {1-2{{\left( {\frac{\delta }{{{\omega _0}}}} \right)}^2}}$

Für $\delta > 0$ bzw. $d > 0$ gilt daher:

${\omega _{res}} < {\omega _0}$

Für die Amplitude von der Resonanzfrequenz gilt:

${A_\alpha }\left( {{\omega _{res}}} \right) = \frac{{\omega _0^2{y_0}}}{{2\delta \sqrt {\omega _0^2-{\delta ^2}} }} = \frac{{\frac{{{\omega _0}}}{{2\delta }}}}{{\sqrt {1-{{\left( {\frac{\delta }{{{\omega _0}}}} \right)}^2}} }}{y_0}$

Das ganze noch mal für das zweite System:

${\left. {\frac{{d{A_\beta }}}{{d\omega }}} \right|_{{\omega _{res}}}} = 0 = \frac{d}{{d\omega }}\left( {\frac{{2\delta {y_0}\omega }}{{\sqrt {\det } }}} \right) = {\left[ {\frac{{2\delta {y_0}}}{{\sqrt {\det } }}-\frac{1}{2}2\delta {y_0}\omega \cdot {{\det }^{-\frac{3}{2}}} \cdot \frac{{d\det }}{{d\omega }}} \right]_{{\omega _{res}}}}$

$0 = {\left[ {2\det +\omega \frac{{d\det }}{{d\omega }}} \right]_{{\omega _{res}}}} = 2\left[ {{{\left( {\omega _0^2-\omega _{res}^2} \right)}^2}+{{\left( {2\delta {\omega _{res}}} \right)}^2}} \right]-{\omega _{res}}\left[ {-2\left( {\omega _0^2-\omega _{res}^2} \right)2{\omega _{res}}+2\left( {2\delta {\omega _{res}}} \right)2\delta } \right]$

$0 = {\left( {\omega _0^2-\omega _{res}^2} \right)^2}+2\left( {\omega _0^2-\omega _{res}^2} \right)\omega _{res}^2$

$0 = \left( {\omega _0^2-\omega _{res}^2} \right)\left[ {\left( {\omega _0^2-\omega _{res}^2} \right)+2\omega _{res}^2} \right]$

$0 = \left( {\omega _0^2-\omega _{res}^2} \right)\left( {\omega _0^2+\omega _{res}^2} \right)$

Aus der ersten Klammer folgt die Nullstelle

$0 = \omega _0^2-\omega _{res}^2\quad \Rightarrow \quad {\omega _{res}} = {\omega _0}$

Aus der zweiten Klammer folgt keine reelle Lösung.

Für die Amplitude der Resonanzfrequenz gilt:

${A_\beta }\left( {{\omega _{res}}} \right) = \frac{{2\delta {\omega _0}{y_0}}}{{\sqrt {{{\left( {2\delta {\omega _0}} \right)}^2}} }}-{y_0}$

1 Kommentar zu “U01 – Differentialgleichung, Feder-Masse-Dämpfer System”

Osterhase

04. 04. 10 at 6:26 pm

Moin,
in der Tabelle für die Amplituden- und Phasenverläufe wird bei der Phasenverschiebung von System Alpha ein Wert von -Pi angegeben. Dieser Wert errechnet sich üblicherweise doch aus dem arctan. Dieser ist doch nur im Wertebereich von -Pi/2 bis +Pi/2 definiert, wie kommt man dann auf diesen Wert?
In dem untenstehenden Diagramm wird eine Verschiebung in negative y-Richtung verantwortlich gemacht, wobei ich jedoch bei der Gleichung keine Verschiebung erkennen kann?
Bitte um Hilfe
MFG

Mathematical Engineering

U01 – Differentialgleichung, Feder-Masse-Dämpfer System

Lösung

a )

b )

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