U01 – Differentialgleichung, Feder-Masse-Dämpfer System

 

system-masse-feder-dampfer

Gesucht werden Amplitude und Phasenlage der Bewegung x im eingeschwungenen Zustand.

Charakterisierung der Elemente:

Feder: Kraft proportional zum Weg: {F_f} = cx
Dämpfer: Kraft proportional zur Geschwindigkeit: {F_d} = d\dot x
Masse: Kraft proportional zur Beschleunigung: {F_m} = m\ddot x

  1. Stellen Sie die Differentialgleichungen für die drei Systeme auf
  2. Lösen Sie die Differentialgleichungen mit dem Ansatz x\left( t \right) = A\sin \left( {\omega t+\varphi } \right) und anschließendem Koeffizientenvergleich
  3. Diskutieren Sie die Amplitude A und die Phasenverschiebung \varphi in Abhängigkeit von der Erregerfrequenz \omega mit 0 \leq \omega < \infty (Grenzfälle: \omega \to 0,\quad \omega \to \infty ,\quad Eigenfrequenz {\omega _0} = \sqrt {\frac{c}{m}} des ungedämpften Systems)
  4. Für welche Anregungsfrequenz \omega = {\omega _{res}} hat die Amplitude A ihr Maximum?
  5. Stellen Sie die Werte für Amplitude und Phase für die Fälle \omega \to 0,\quad \omega = {\omega _0},\quad \omega = {\omega _{res}} und \omega \to \infty in einer Tabelle dar. Skizzieren Sie anhand der Tabelle die Amplituden- und Phasenverläufe der Systeme

Lösung

a )

System alpha:

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Die wirkenden Kräfte sind:

{F_d} = d\dot x,\quad {F_f} = c\left( {y-x} \right)

{F_m} = {F_f}-{F_d}

m\ddot x = c\left( {y-x} \right)-d\dot x

m\ddot x+d\dot x+cx = cy

System beta:

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Die wirkenden Kräfte sind:

{F_f} = cx,\quad {F_d} = d\left( {\dot y-\dot x} \right)

{F_m} = {F_d}-{F_f}

m\ddot x = d\dot y-d\dot x-cx

m\ddot x+d\dot x+cx = d\dot y

System gamma:

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Die wirkenden Kräfte sind:

{F_d} = d\dot x

{F_f} = c x

m\ddot x = -{F_d}-{F_f}-F

m\ddot x = -d\dot x-cx-F

m\ddot x+d\dot x+cx = -F

Wir dividieren durch die Masse:

\ddot x+\underbrace {\frac{d}{m}}_{ = :2\delta }\dot x+\underbrace {\frac{c}{m}}_{ = :\omega _0^2}x = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{c}{m}y = \frac{c}{m}{y_0}\sin \left( {\omega t} \right)} & {\left( \alpha \right)} \\{\frac{d}{m}\dot y = \frac{d}{m}{y_0}\omega \cos \left( {\omega t} \right)} & {\left( \beta \right)} \\ {-\frac{F}{m} = -\frac{{{F_0}}}{m}\sin \left( {\omega t} \right)} & {\left( \gamma \right)} \\ \end{array} } \right.

{F_0} = -c{y_0}

b )

Lösen der DGL mit dem Ansatz x\left( t \right) = A\sin \left( {\omega t+\varphi } \right)

x = A\sin \left( {\omega t+\varphi } \right) = A\cos \left( \varphi \right)\sin \left( {\omega t} \right)+A\sin \left( \varphi \right)\cos \left( {\omega t} \right)

\dot x = A\omega \cos \left( {\omega t+\varphi } \right) = B\omega \cos \left( {\omega t} \right)-C\omega \sin \left( {\omega t} \right)

\ddot x = -A{\omega ^2}\sin \left( {\omega t+\varphi } \right) = -B{\omega ^2}\sin \left( {\omega t} \right)-C{\omega ^2}\cos \left( {\omega t} \right)

mit

A = \sqrt {{B^2}+{C^2}} ,\quad \cos \left( \varphi \right) = \frac{B}{A},\quad \sin \left( \varphi \right) = \frac{C}{A},\quad \tan \left( \varphi \right) = \frac{C}{B}

Wir setzen das Ergebnis aus a in die zweite Ableitung ein:

-B{\omega ^2}\sin \left( {\omega t} \right)-C{\omega ^2}\cos \left( {\omega t} \right)+2\delta \left[ {B\omega \cos \left( {\omega t} \right)-C\omega \sin \left( {\omega t} \right)} \right]

+\omega _0^2\left[ {B\sin \left( {\omega t} \right)+C\cos \left( {\omega t} \right)} \right]

= \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\omega _0^2{y_0}\sin \left( {\omega t} \right)+0 \cdot \cos \left( {\omega t} \right)} & {\quad \left( \alpha \right)} \\ {0 \cdot \sin \left( {\omega t} \right)+2\delta {y_0}\omega \cos \left( {\omega t} \right)} & {\quad \left( \beta \right)} \\ \end{array} } \right.

Koeffizientenvergleich:

I: \sin \left( {\omega t} \right): -B{\omega ^2}-2\delta C\omega +\omega _0^2B = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\omega _0^2{y_0}} & {\left( \alpha \right)} \\ 0 & {\left( \beta \right)} \\ \end{array} } \right.

II: \cos \left( {\omega t} \right): -C{\omega ^2}+2\delta B\omega +\omega _0^2C = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 & {\left( \alpha \right)} \\ {2\delta {y_0}\omega } & {\left( \beta \right)} \\ \end{array} } \right.

Wir klammern aus und schreiben als Matrix:

\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {\omega _0^2-{\omega ^2}} \right)} & {-2\delta \omega } \\ {2\delta \omega } & {\left( {\omega _0^2-{\omega ^2}} \right)} \\ \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} B \\ C \\ \end{array} } \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\omega _0^2{y_0}} \\ 0 \\ \end{array} } \right)} & {\left( \alpha \right)} \\ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ {2\delta {y_0}\omega } \\ \end{array} } \right)} & {\left( \beta \right)} \\ \end{array} } \right.

\det = {\left( {\omega _0^2-{\omega ^2}} \right)^2}+{\left( {2\delta \omega } \right)^2}

\left( {\begin{array}{*{20}{c}} B \\ C \\ \end{array} } \right) = \frac{1}{{\det }}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {\omega _0^2-{\omega ^2}} \right)} & {2\delta \omega } \\ {-2\delta \omega } & {\left( {\omega _0^2-{\omega ^2}} \right)} \\ \end{array} } \right) \cdot \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\omega _0^2{y_0}} \\ 0 \\ \end{array} } \right)} & {\left( \alpha \right)} \\ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ {2\delta {y_0}\omega } \\ \end{array} } \right)} & {\left( \beta \right)} \\ \end{array} } \right.

\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{B_\alpha }} \\ {{C_\alpha }} \\ \end{array} } \right) = \frac{1}{{\det }}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {\omega _0^2-{\omega ^2}} \right)\omega _0^2{y_0}} \\ {-\omega _0^2{y_0}2\delta \omega } \\ \end{array} } \right)

Die Konstanten sind:

{A_\alpha } = \frac{{\omega _0^2{y_0}}}{{\sqrt {\left( {\omega _0^2-{\omega ^2}} \right)+{{\left( {2\delta \omega } \right)}^2}} }} = \frac{{\omega _0^2{y_0}}}{{\sqrt {\det } }}

{B_\alpha } = \frac{{\omega _0^2-{\omega ^2}}}{{{{\left( {\omega _0^2-{\omega ^2}} \right)}^2}+{{\left( {2\delta \omega } \right)}^2}}}\omega _0^2{y_0}

{C_\alpha } = \frac{{-2\delta \omega }}{{{{\left( {\omega _0^2-{\omega ^2}} \right)}^2}+{{\left( {2\delta \omega } \right)}^2}}}\omega _0^2{y_0}

\cos \left( {{\varphi _\alpha }} \right) = \frac{{{B_\alpha }}}{{{A_\alpha }}} = \frac{{\omega _0^2-{\omega ^2}}}{{\sqrt {\det } }}

\sin \left( {{\varphi _\alpha }} \right) = \frac{{{C_\alpha }}}{{{A_\alpha }}} = \frac{{-2\delta \omega }}{{\sqrt {\det } }}

\tan \left( {{\varphi _\alpha }} \right) = -\frac{{2\delta \omega }}{{\omega _0^2-{\omega ^2}}}

Für das zweite System gilt:

{A_\beta } = \frac{{2\delta {y_0}{\omega ^2}}}{{\sqrt {\det } }}

{B_\beta } = \frac{{4{\delta ^2}{y_0}{\omega ^2}}}{{\det }}

{C_\beta } = \frac{{\omega _0^2-{\omega ^2}}}{{\det }}2\delta {y_0}\omega

\sin \left( {{\varphi _\beta }} \right) = \frac{{\omega _0^2-{\omega ^2}}}{{\sqrt {\det } }}

\cos \left( {{\varphi _\beta }} \right) = \frac{{2\delta \omega }}{{\sqrt {\det } }}

\tan \left( {{\varphi _\beta }} \right) = \frac{{\omega _0^2-{\omega ^2}}}{{2\delta \omega }}

Tabelle der Amplituden- und Phasenverläufe:

\begin{array}{*{20}{c}} \alpha &\vline & {\omega = 0} & {\omega = {\omega _0}} & {\omega \to \infty } \\\hline {\sqrt {\det } } &\vline & {\omega _0^2} & {2\delta {\omega _0}} & {{\omega ^2}} \\ {\cos \left( \varphi \right)} &\vline & 1 & 0 & {-1} \\ {\sin \left( \varphi \right)} &\vline & 0 & {-1} & 0 \\ {\tan \left( \varphi \right)} &\vline & 0 & {-\infty } & 0 \\ \varphi &\vline & 0 & {-0.5\pi } & {-\pi } \\ A &\vline & {{y_0}} & {\frac{{\omega _0^2}}{{2\delta }}{y_0}} & 0 \\ \end{array}

\begin{array}{*{20}{c}} \beta &\vline & {\omega = 0} & {\omega = {\omega _0}} & {\omega \to \infty } \\\hline {\sqrt {\det } } &\vline & {\omega _0^2} & {2\delta {\omega _0}} & {{\omega ^2}} \\ {\cos \left( \varphi \right)} &\vline & 0 & 1 & 0 \\ {\sin \left( \varphi \right)} &\vline & 1 & 0 & {-1} \\ {\tan \left( \varphi \right)} &\vline & {+\infty } & 0 & {-\infty } \\ \varphi &\vline & {0.5\pi } & 0 & {-0.5\pi } \\ A &\vline & 0 & {{y_0}} & 0 \\ \end{array}

Das Maximum von {A_\alpha }\left( \omega \right) ist die Resonanzfrequenz {\omega _{res}}.

phasenverschiebung

{\left. {\frac{{d{A_\alpha }}}{{d\omega }}} \right|_{{\omega _{res}}}} = 0 = \frac{d}{{d\omega }}\left( {\frac{{\omega _0^2{y_0}}}{{\sqrt {\det } }}} \right) = -\frac{1}{2}\frac{{\omega _0^2{y_0}}}{{{{\sqrt {\det } }^3}}} \cdot {\left. {\frac{{d\det }}{{d\omega }}} \right|_{{\omega _{res}}}} = 0

{\left. {\frac{{d\det }}{{d\omega }}} \right|_{{\omega _{res}}}} = 0 = \frac{d}{{d\omega }}\left[ {{{\left( {\omega _0^2-{\omega ^2}} \right)}^2}+{{\left( {2\delta \omega } \right)}^2}} \right]

0 = \omega _0^2-\omega _{res}^2-2{\delta ^2}

\quad \Rightarrow \quad \omega _{res}^2 = \omega _0^2-2{\delta ^2}\quad \Rightarrow \quad {\omega _{res}} = \sqrt {\omega _0^2-2{\delta ^2}} = {\omega_0}\sqrt {1-2{{\left( {\frac{\delta }{{{\omega _0}}}} \right)}^2}}

Für \delta > 0 bzw. d > 0 gilt daher:

{\omega _{res}} < {\omega _0}

Für die Amplitude von der Resonanzfrequenz gilt:

{A_\alpha }\left( {{\omega _{res}}} \right) = \frac{{\omega _0^2{y_0}}}{{2\delta \sqrt {\omega _0^2-{\delta ^2}} }} = \frac{{\frac{{{\omega _0}}}{{2\delta }}}}{{\sqrt {1-{{\left( {\frac{\delta }{{{\omega _0}}}} \right)}^2}} }}{y_0}

Das ganze noch mal für das zweite System:

{\left. {\frac{{d{A_\beta }}}{{d\omega }}} \right|_{{\omega _{res}}}} = 0 = \frac{d}{{d\omega }}\left( {\frac{{2\delta {y_0}\omega }}{{\sqrt {\det } }}} \right) = {\left[ {\frac{{2\delta {y_0}}}{{\sqrt {\det } }}-\frac{1}{2}2\delta {y_0}\omega \cdot {{\det }^{-\frac{3}{2}}} \cdot \frac{{d\det }}{{d\omega }}} \right]_{{\omega _{res}}}}

0 = {\left[ {2\det +\omega \frac{{d\det }}{{d\omega }}} \right]_{{\omega _{res}}}} = 2\left[ {{{\left( {\omega _0^2-\omega _{res}^2} \right)}^2}+{{\left( {2\delta {\omega _{res}}} \right)}^2}} \right]-{\omega _{res}}\left[ {-2\left( {\omega _0^2-\omega _{res}^2} \right)2{\omega _{res}}+2\left( {2\delta {\omega _{res}}} \right)2\delta } \right]

0 = {\left( {\omega _0^2-\omega _{res}^2} \right)^2}+2\left( {\omega _0^2-\omega _{res}^2} \right)\omega _{res}^2

0 = \left( {\omega _0^2-\omega _{res}^2} \right)\left[ {\left( {\omega _0^2-\omega _{res}^2} \right)+2\omega _{res}^2} \right]

0 = \left( {\omega _0^2-\omega _{res}^2} \right)\left( {\omega _0^2+\omega _{res}^2} \right)

Aus der ersten Klammer folgt die Nullstelle

0 = \omega _0^2-\omega _{res}^2\quad \Rightarrow \quad {\omega _{res}} = {\omega _0}

Aus der zweiten Klammer folgt keine reelle Lösung.

Für die Amplitude der Resonanzfrequenz gilt:

{A_\beta }\left( {{\omega _{res}}} \right) = \frac{{2\delta {\omega _0}{y_0}}}{{\sqrt {{{\left( {2\delta {\omega _0}} \right)}^2}} }}-{y_0}

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6 Kommentare zu “U01 – Differentialgleichung, Feder-Masse-Dämpfer System”

Moin,
in der Tabelle für die Amplituden- und Phasenverläufe wird bei der Phasenverschiebung von System Alpha ein Wert von -Pi angegeben. Dieser Wert errechnet sich üblicherweise doch aus dem arctan. Dieser ist doch nur im Wertebereich von -Pi/2 bis +Pi/2 definiert, wie kommt man dann auf diesen Wert?
In dem untenstehenden Diagramm wird eine Verschiebung in negative y-Richtung verantwortlich gemacht, wobei ich jedoch bei der Gleichung keine Verschiebung erkennen kann?
Bitte um Hilfe
MFG

Servus!
Bei Aufgabe a) System Gamma ist ein Tippfehler. Dort wird in der ersten Gleichung die wirkende Kraft der Feder aus Federkonstante und Geschwindigkeit gebildet.

Viele Grüße und danke für die Beispiele!

Danke für den Hinweis, ich habe den Tippfehler korrigiert.

Wie kommt ihr darauf, dass bei alpha die Federkraft mit der Bewegungsrichtung zeigt? Das wäre ja nur der Fall wenn die Feder vorgespannt wäre. Genauso wenig ergibt es meiner Meinung nach Sinn, dass bei Beta die Kraft des Dämpfers mit der Bewegungsrichtung zeigt, die Dämpferkraft zeigt wie die der Feder immer entgegen der Bewegungsrichtung oder?

@Name: In welche Richtung die Kraft “zeigt” gibt noch keine Auskunft darüber in welche Richtung sie “wirkt”. Dies ist vom Vorzeichen des Ergebnisses abhängig. Zeigt die Kraft mit positive Vorzeichn nach rechts, so kannst du sie auch mit negative Vorzeichen nach links einzeichnen.

@Osterhase:
In diesem Fall sollte wohl besser der arccos Anwendung finden.
Die Gegenrechnung zeigt in diesem Fall die Richtigkeit der Lösung, denn:
\cos \left( -\pi \right) = -1
\sin \left( -\pi \right) = 0
\tan \left( -\pi \right) = 0

Man könnte das Problem auch über die Annahme \sin \left(\varphi \right) = \cos\left(\varphi \right)+1 =\tan\left(\varphi \right) lösen. Daraus folgt dann \varphi = 2 \pi n+\pi

Die Verschiebung ergibt sich durch die Wertetabelle.

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