2.4 – Differentiation im Komplexen

 

Wir wollen auch komplexe Funktionen differenzieren. Da \mathbb{C} ein Körper ist, können wir formal wie im eindimensionalen reellen Fall Differenzenquotienten bilden. Sei also G offen, G \subset \mathbb{C},\:\:f:G \to \mathbb{C} und \zeta \in G fest.

Definition: Die Funktion f:G \to \mathbb{C} heißt komplex differenzierbar in \zeta \in G, falls folgender Grenzwert existiert:

{f^\prime }\left( \zeta \right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to \zeta } \frac{{f\left( z \right)-f\left( \zeta \right)}}{{z-\zeta }} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {\zeta +h} \right)-f\left( \zeta \right)}}{h}.

Äquivalent hierzu: Es gibt ein a \in \mathbb{C}, so dass

f\left( {\zeta +h} \right)-f\left( \zeta \right) = ah+{r_C}\left( h \right),\quad \frac{{\left| {{r_C}\left( h \right)} \right|}}{{\left| h \right|}}\xrightarrow{{h \to 0}}0.\quad \quad \left( C \right)

Hierbei ist dann a = {f^\prime }\left( \zeta \right).

Beispiel: f\left( z \right) = {z^3}

{f^\prime }\left( z \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {z+h} \right)-f\left( z \right)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{{\left( {z+h} \right)}^3}-{z^3}}}{h}

= \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{3h{z^2}+{h^2}\left( {3z+h} \right)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \left\{ {3{z^2}+h\left( {3z+h} \right)} \right\} = 3{z^2}

Wie im Reellen zeigt man die Formel {\left( {{z^n}} \right)^\prime } = n{z^{n-1}} für n \in \mathbb{N}. Differentiation im Komplexen bringt aber mehr als der reelle Fall. Um dies einzusehen, fassen wir wegen \mathbb{C} \overset{\wedge}{=}{\mathbb{R}^2} die Funktion f als Vektorfunktion f:G \subset {\mathbb{R}^2} \to {\mathbb{R}^2} auf, d.h. zerlegen in Real- und Imaginärteil:

z = \left( {x,y} \right) = x+iy

f\left( z \right) = \left( {u\left( {x,y} \right),v\left( {x,y} \right)} \right) = u\left( {x,y} \right)+iv\left( {x,y} \right)

a = \left( {{a_1},{a_2}} \right) = {a_1}+i{a_2},\quad h = \left( {{h_1},{h_2}} \right) = {h_1}+i{h_2}

Differenzierbarkeit im Reellen heißt, dass die Jacobi-Matrix

A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_x}}&{{u_y}} \\ {{v_x}}&{{v_y}} \end{array}} \right) = :\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{11}}}&{{a_{12}}} \\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right)

existiert, so dass gilt:

f\left( {\zeta +h} \right)-f\left( \zeta \right) = Ah+{r_R}\left( h \right),\quad \frac{{\left| {{r_R}\left( h \right)} \right|}}{{\left| h \right|}}\xrightarrow{{h \to 0}}0.\quad \quad \left( R \right)

In (R) ist Ah eine Matrix-Vektor-Multiplikation, d.h.

{\left( {Ah} \right)^T} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{11}}{h_1}+{a_{12}}{h_2}}&{{a_{21}}{h_1}+{a_{22}}{h_2}} \end{array}} \right).

In (C) wird dagegen komplex multipliziert, d.h.

ah = \left( {{a_1}{h_1}-{a_2}{h_2},\:\:{a_2}{h_1}+{a_1}{h_2}} \right).

Damit also Gleichheit vorliegt, muss notwendig gelten {a_{11}} = {a_1} = {a_{22}} und {a_{21}} = {a_2} = -{a_{12}}. Anders gesagt: Ist f komplex differenzierbar, dann ist f im reellen Sinn differenzierbar und die Funktionalmatrix hat folgende spezielle Gestalt:

A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_x}}&{{u_y}} \\ {{v_x}}&{{v_y}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{-{a_2}} \\ {{a_2}}&{{a_1}} \end{array}} \right).

Wir erhalten folgenden Satz.

Satz: Sei die Funktion f\left( z \right) = u\left( {x,y} \right)+iv\left( {x,y} \right) im Punkt \zeta = \left( {\xi ,\eta } \right) \in G komplex differenzierbar. Dann ist die Vektorfunktion f = {\left( {u,v} \right)^T} in diesem Punkt reell differenzierbar und in \left( {\xi ,\eta } \right) gilt {a_1} = {u_x} = {v_y} und {a_2} = -{u_y} = {v_x}. Hieraus berechnet sich {f^\prime }\left( \zeta \right) = {a_1}+i{a_2}.

Beispiel: f\left( z \right) = {z^3}

Wir erhalten das gleiche Ergebnis wie oben:

{z^3} = {\left( {x+iy} \right)^3} = {x^3}+3i{x^2}y-3x{y^2}-i{y^3}

\Rightarrow \quad u\left( {x,y} \right) = {x^3}-3x{y^2},\quad v\left( {x,y} \right) = 3{x^2}-{y^3}

\Rightarrow \quad A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_x}}&{{u_y}} \\ {{v_x}}&{{v_y}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{3{x^2}-3{y^2}}&{-6xy} \\ {6xy}&{3{x^2}-3{y^2}} \end{array}} \right)

\Rightarrow \quad {f^\prime }\left( z \right) = 3{x^2}-3{y^2}+i \cdot 6xy = 3{\left( {x+iy} \right)^2} = 3{z^2}

Definition: Die Funktion f:G \to \mathbb{C} heißt holomorph in G, falls sie in jedem Punkt \zeta \in G komplex differenzierbar und {f^\prime } in G stetig ist. Man nennt f holomorph im Punkt \zeta \in G, falls f in einer Umgebung von \zeta komplex stetig differenzierbar ist.

Bemerkung: Genau wie für reelle Funktionen zeigt man Produkt-, Quotienten- und Kettenregel für holomorphe Funktionen. Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung für reelle Funktionen gilt für komplexe Funktionen nicht!

Satz: Die Funktion f ist holomorph im Gebiet G \subset \mathbb{C} genau dann, wenn der Realteil u und der Imaginärteil v von f stetige partielle Ableitungen erster Ordnung in G \subset {\mathbb{R}^2} besitzen, die dort den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

{u_x}\left( {x,y} \right) = {v_y}\left( {x,y} \right),\quad {v_y}\left( {x,y} \right) = -{u_y}\left( {x,y} \right)\quad \quad \left( {CR} \right)

genügen. Aus diesen Gleichungen folgt, dass die Determinante der Jacobimatrix gleich {\left| {{f^\prime }\left( z \right)} \right|^2} ist.

Bemerkung: Man kann zeigen: Ist eine komplexe Funktion f in einem Gebiet G \subset \mathbb{C} holomorph (komplex stetig differenzierbar), dann ist f in dem Gebiet G \subset \mathbb{C} sogar beliebig oft komplex differenzierbar. Differenzieren wir die erste Gleichung in (CR) nach y, die zweite nach x und beachten wir, dass dank des Satzes von Schwarz die Differentiationsreihenfolge vertauscht werden darf, so erhalten wir

\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} = \frac{{{\partial ^2}v}}{{\partial x\partial y}},\quad \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}} = -\frac{{{\partial ^2}v}}{{\partial y\partial x}} = -\frac{{{\partial ^2}v}}{{\partial x\partial y}},

und somit

\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}}+\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}} = 0\quad in\:G.

Entsprechend rechnen wir:

\frac{{{\partial ^2}v}}{{\partial {x^2}}}+\frac{{{\partial ^2}v}}{{\partial {y^2}}} = 0\quad in\:G.

Folgerung: Sei f:G \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C} holomorph. Dann genügt sowohl der Realteil als auch der Imaginärteil von f in G der Laplaceschen Differentialgleichung:

\Delta u = 0,\quad \Delta v = 0.

Die Umkehrung gilt in „einfach zusammenhängenden Gebieten“ G. Zu einer Lösung u von \Delta u = 0 gibt es eine bis auf eine additive Konstante eindeutig bestimmte Funktion v, so dass das Paar \left( {u,v} \right) die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen in G erfüllt. Somit wird durch f: = u+iv eine in G holomorphe Funktion erklärt.

Ähnliche Artikel

1 Kommentar zu “2.4 – Differentiation im Komplexen”

Andreas Kopecky

(Leider weiss ich nicht wie alt dieser Artikel ist – falls er outdated ist bitte ich diesen Kommentar zu ignorieren)

Im beispiel f(x) = z^3 hat sich ein Fehler eingeschlichen: der Imaginärteil von f, v(x,y) muss 3x^2y + y^3 lauten. Hier scheint das y im ersten Term verloren gegangen zu sein.

Insgesamt ein sehr guter und verständlicher Artikel! Danke vielmals dafür

Kommentar verfassen