A 14 – Diffusion zwischen Druckbehältern

 

Zwei Behälter mit gleichem Volumen V sind miteinander verbunden (siehe Abbildung). Zum Zeitpunkt t < 0 ist der Hahn zwischen Behälter I und II geschlossen und wird zum Zeitpunkt t = 0 geöffnet. Behälter I ist mit C{O_2} gefüllt, Behälter II mit {N_2}. Der Verbindungskanal hat die Länge L und den Querschnitt A. Die Temperatur beider Behälter ist konstant T und beide Behälter haben den gleichen Druck p.

behaelter-mit-verbindungskanal

Annahmen:

  • Für die Diffusion darf die Konzentration des Gasgemisches längs des Weges als konstant angenommen werden.
  • Der Konzentrationsgradient stellt sich unmittelbar nach dem Öffnen des Hahns ein.
  • Die Gase können als ideal betrachtet werden.

Aufgaben:

  1. Skizzieren Sie den Verlauf des Partialdrucks {p_{C{O_2}}} über dem Verbindungskanal zum Zeitpunkt t < 0 und zum Zeitpunkt t = 0.
  2. Welcher C{O_2}-Massenstrom und welcher {N_2}-Massenstrom stellt sich zum Zeitpunkt t = 0 ein?
  3. Im Behälter I ist der Partialdruck {p_{C{O_2}}} auf 0,7\;{\text{bar}} abgesunken. Zeichnen Sie erneut den Partialdruck {p_{C{O_2}}} über dem Verbindungskanal.
  4. Wie hoch sind die Partialdrücke von C{O_2} und {N_2} im Behälter II?
  5. Wie hoch ist nun der Massenstrom von C{O_2} in den Behälter II?
  6. Wie sieht der zeitliche Verlauf des Partialdrucks {p_{C{O_2}}} im Behälter I aus?
  7. Wie lange dauert es, bis der Partialdruck {p_{C{O_2}}} im Behälter I auf 0,8\;{\text{bar}} gesunken ist?

Gegeben:

Volumen der Behälter: V = 1\;{{\text{m}}^3}

Länge des Verbindungskanals: L = 0,03\;{\text{m}}

Querschnitt des Verbindungskanals: A = 0,005\;{{\text{m}}^2}

Druck in den Behältern: p = 1\;{\text{bar}}

Temperatur in den Behältern: T = 293\;{\text{K}}

Diffusionskoeffizient C{O_2}-{N_2}: {D_{C{O_2},{N_2}}} = 0,14 \cdot {10^{-5}}\frac{{{{\text{m}}^2}}}{{\text{s}}}

Molmasse C{O_2}: {\hat M_{C{O_2}}} = 44\frac{{\text{g}}}{{{\text{mol}}}}

Molmasse {N_2}: {\hat M_{{N_2}}} = 28\frac{{\text{g}}}{{{\text{mol}}}}

Lösung

a) Verlauf des Partialdrucks zu Beginn

 konzentration-verbindungskanal

b) Massenströme

Für den Massenstrom gilt allgemein:

\dot M = {j_i} \cdot {\text{A}} = -{D_{ij}}A\frac{{\partial {\rho _i}}}{{\partial z}}

Für die Diffusionskoeffizienten gilt in unserem Fall:

{D_{C{O_2}/{N_2}}} = {D_{{N_2}/C{O_2}}} = D

Für den {\text{C}}{{\text{O}}_2}-Massenstrom gilt somit:

{{\dot M}_{C{O_2}}} = -DA\frac{{d{\rho _{C{O_2}}}}}{{dx}}

{\rho _{C{O_2}}} = \frac{{{p_{C{O_2}}}}}{{{R_{C{O_2}}}T}} = \frac{{{p_{C{O_2}}}{{\hat M}_{C{O_2}}}}}{{\mathcal{R}T}}

\Rightarrow \quad {{\dot M}_{C{O_2}}} = -DA\frac{{{{\hat M}_{C{O_2}}}}}{{\mathcal{R}T}}\frac{{d{p_{C{O_2}}}}}{{dx}}

\Rightarrow \quad {{\dot M}_{C{O_2}}} = -DA\frac{{{{\hat M}_{C{O_2}}}}}{{\mathcal{R}T}}\frac{{0-{p_{C{O_2}}}}}{{L-0}} = 4,214 \cdot {10^{-4}}\frac{{\text{g}}}{{\text{s}}}

Für den {{\text{N}}_2}-Massenstrom gilt:

{\dot M_{{N_2}}} = -DA\frac{{{{\hat M}_{{N_2}}}}}{{\mathcal{R}T}}\frac{{{p_{{N_2}}}-0}}{{L-0}} = -2,682 \cdot {10^{-4}}\frac{{\text{g}}}{{\text{s}}}

Einheitenbetrachtung:

\dot M = \left[ {\underbrace {\frac{{{{\text{m}}^2}}}{{\text{s}}}}_D\underbrace {{{\text{m}}^2}}_A\underbrace {\frac{{\text{g}}}{{{\text{mol}}}}}_{\hat M}\underbrace {\frac{{{\text{mol}}\;{\text{K}}}}{{\text{J}}}}_{1/R}\underbrace {\frac{1}{{\text{K}}}}_{1/T}\underbrace {\frac{{{\text{Pa}}}}{{\text{m}}}}_{p/L}} \right]

\Rightarrow \quad \dot M = \left[ {\frac{{{{\text{m}}^2}}}{{\text{s}}}{\text{m}}\;{\text{g}}\underbrace {\frac{{{{\text{s}}^2}}}{{{\text{kg}}\;{{\text{m}}^2}}}}_{1/{\text{J}}}\underbrace {\frac{{{\text{kg}}}}{{{\text{m}}\;{{\text{s}}^2}}}}_{{\text{Pa}}}} \right] = \left[ {\frac{{\text{g}}}{{\;{\text{s}}}}} \right]

c) Verlauf des Partialdrucks

partialdruck-verbindungskanal

d) Partialdrücke im Behälter II

Für den Partialdruck von {\text{C}}{{\text{O}}_2} und {{\text{N}}_2} im Behälter II gilt:

{p_{{{\text{N}}_2},2}} = {p_{{\text{ges}}}}-{p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},2}} = 0,7\;{\text{bar}}

Möglichkeit 1

Ideales Gasgesetz:

pV = N\mathcal{R}T\quad \Rightarrow \quad \frac{V}{{\mathcal{R}T}} = \frac{N}{p} = \frac{{{N_i}}}{{{p_i}}} = {\text{const}}{\text{.}}

\Rightarrow \quad \frac{{{N_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},1}}}}{{{p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},1}}}} = \frac{{{N_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},2}}}}{{{p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},2}}}}

\Rightarrow \quad {p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},2}} = \frac{{{N_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},2}}}}{{{p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},2}}}}{p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},1}} = \frac{{{N_{{\text{ges}}}}-{N_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},1}}}}{{{N_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},1}}}}{p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},1}}

\Rightarrow \quad {p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},2}} = \left( {\frac{{{N_{{\text{ges}}}}}}{{{N_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},1}}}}-1} \right){p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},1}} = \left( {\frac{{{p_{{\text{ges}}}}}}{{{p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},1}}}}-1} \right){p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},1}}

\Rightarrow \quad {p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},2}} = {p_{{\text{ges}}}}-{p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},1}} = 0,3\;{\text{bar}}

Möglichkeit 2

\frac{{d{N_{{\text{C}}{{\text{O}}_2}}}}}{{dt}} = 0 = \frac{{d{N_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},1}}}}{{dt}}+\frac{{d{N_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},2}}}}{{dt}}

\Rightarrow \quad 0 = \frac{V}{{\mathcal{R}T}}\left( {\frac{{d{p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},1}}}}{{dt}}+\frac{{d{p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},2}}}}{{dt}}} \right)

\Rightarrow \quad \frac{{d{p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},1}}}}{{dt}} = -\frac{{d{p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},2}}}}{{dt}}

\Rightarrow \quad d{p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},1}}dt = d{p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},2}}dt\qquad \left| {\int {} } \right.

\Rightarrow \quad {p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},1}} = -{p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},2}}+{c_1}

Anfangsbedingungen:

{p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},1}}\left( {t = 0} \right) = 1\;{\text{bar}}

{p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},2}}\left( {t = 0} \right) = 0\;{\text{bar}}

\Rightarrow \quad c = 1\;{\text{bar}} = {p_{{\text{ges}}}}

Durch Einsetzen folgt:

{p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},2}} = {p_{{\text{ges}}}}-{p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},1}} = 0,3\;{\text{bar}}

e) Neuer Massenstrom

{\dot M_{C{O_2}}} = -DA\frac{{{{\hat M}_{{\text{C}}{{\text{O}}_2}}}}}{{\mathcal{R}T}}\frac{{{p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},2}}-{p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},1}}}}{{L-0}} = 1,686 \cdot {10^{-4}}\frac{{\text{g}}}{{\text{s}}}

f) Zeitlicher Verlauf des Partialdrucks im Behälter I

 zeitlicher-verlauf-partialdruck

\frac{{d{m_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},1}}}}{{dt}} = -{{\dot M}_{{\text{C}}{{\text{O}}_2}}}

{m_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},1}} = \frac{{{p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},1}}V{{\hat M}_{{\text{C}}{{\text{O}}_2}}}}}{{\mathcal{R}T}}

{{\dot M}_{C{O_2}}} = -DA\frac{{{{\hat M}_{C{O_2}}}}}{{\mathcal{R}T}}\frac{{d{p_{C{O_2}}}}}{{dx}}

\Rightarrow \quad {{\dot M}_{C{O_2}}} = -DA\frac{{{{\hat M}_{C{O_2}}}}}{{\mathcal{R}T}}\frac{{{p_{C{O_2},2}}-{p_{C{O_2},1}}}}{L}

{p_{C{O_2},2}} = {p_{{\text{ges}}}}-{p_{C{O_2},1}}

\Rightarrow \quad {{\dot M}_{C{O_2}}} = -DA\frac{{{{\hat M}_{C{O_2}}}}}{{\mathcal{R}T}}\frac{{{p_{{\text{ges}}}}-2{p_{C{O_2},1}}}}{L}

Durch Einsetzen folgt:

\frac{{V{{\hat M}_{{\text{C}}{{\text{O}}_2}}}}}{{\mathcal{R}T}}\frac{{d{p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},1}}}}{{dt}} = -DA\frac{{{{\hat M}_{C{O_2}}}}}{{\mathcal{R}T}}\frac{{{p_{{\text{ges}}}}-2{p_{C{O_2},1}}}}{L}

\Rightarrow \quad V\frac{{d{p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},1}}}}{{dt}} = -DA\frac{{{p_{{\text{ges}}}}-2{p_{C{O_2},1}}}}{L}

\Rightarrow \quad \frac{1}{{{p_{{\text{ges}}}}-2{p_{C{O_2},1}}}}d{p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},1}} = \frac{{DA}}{{VL}}dt\qquad \left| {\int {} } \right.

\left[ {\int {\frac{1}{{p-2x}}dx} = -\frac{1}{2}\ln \left( {p-2x} \right)+c} \right]

\Rightarrow \quad -\frac{1}{2}\ln \left( {{p_{{\text{ges}}}}-2{p_{C{O_2},1}}} \right) = \frac{{DA}}{{VL}}t+\frac{{{c_2}}}{2}

\Rightarrow \quad {p_{C{O_2},1}}\left( t \right) = -\frac{1}{2}\left( {\exp \left\{ {-2\left( {\frac{{DA}}{{VL}}t+{c_2}} \right)} \right\}-{p_{{\text{ges}}}}} \right)

\Rightarrow \quad {p_{C{O_2},1}}\left( t \right) = -\frac{1}{2}\left( {{c_3} \cdot \exp \left\{ {-2\frac{{DA}}{{VL}}t} \right\}-{p_{{\text{ges}}}}} \right)

Zum Zeitpunkt t = 0 gilt die Anfangsbedingung:

{p_{C{O_2},1}}\left( {t = 0} \right) = 1\;{\text{bar}} = {p_{{\text{ges}}}}

Durch Einsetzen folgt:

{p_{C{O_2},1}}\left( {t = 0} \right) = {p_{{\text{ges}}}} = \frac{1}{2}\left( {p-{c_3}} \right)

\Rightarrow \quad {c_3} = -{p_{{\text{ges}}}}

Daraus folgt als Lösung für den zeitlichen Verlauf von {p_{C{O_2},1}}:

{p_{C{O_2},1}}\left( t \right) = \frac{{{p_{{\text{ges}}}}}}{2}\left( {\exp \left\{ {-2\frac{{DA}}{{VL}}t} \right\}+1} \right)

 zeitlicher-verlauf-partialdruck

g) Dauer des Absinkens auf 0,8 bar

{p_{C{O_2},1}}\left( {{t_{0,8}}} \right) = \frac{{{p_{{\text{ges}}}}}}{2}\left( {\exp \left\{ {-2\frac{{DA}}{{VL}}{t_{0,8}}} \right\}+1} \right)\mathop = \limits^! 0,8\;{\text{bar}}

\Rightarrow \quad {t_{0,8}} = -\frac{{VL}}{{2DA}} \cdot \ln \left( {\frac{{2 \cdot 0,8\;{\text{bar}}}}{{{p_{{\text{ges}}}}}}-1} \right) = 1\;094\;626\;{\text{s}} = 304\;{\text{h}}