A 14 – Diffusion zwischen Druckbehältern

Zwei Behälter mit gleichem Volumen $V$ sind miteinander verbunden (siehe Abbildung). Zum Zeitpunkt $t < 0$ ist der Hahn zwischen Behälter I und II geschlossen und wird zum Zeitpunkt $t = 0$ geöffnet. Behälter I ist mit $C{O_2}$ gefüllt, Behälter II mit ${N_2}$ . Der Verbindungskanal hat die Länge $L$ und den Querschnitt $A$ . Die Temperatur beider Behälter ist konstant $T$ und beide Behälter haben den gleichen Druck $p$ .

behaelter-mit-verbindungskanal

Annahmen:

Für die Diffusion darf die Konzentration des Gasgemisches längs des Weges als konstant angenommen werden.
Der Konzentrationsgradient stellt sich unmittelbar nach dem Öffnen des Hahns ein.
Die Gase können als ideal betrachtet werden.

Aufgaben:

Skizzieren Sie den Verlauf des Partialdrucks ${p_{C{O_2}}}$ über dem Verbindungskanal zum Zeitpunkt $t < 0$ und zum Zeitpunkt $t = 0$ .
Welcher $C{O_2}$ -Massenstrom und welcher ${N_2}$ -Massenstrom stellt sich zum Zeitpunkt $t = 0$ ein?
Im Behälter I ist der Partialdruck ${p_{C{O_2}}}$ auf $0,7\;{\text{bar}}$ abgesunken. Zeichnen Sie erneut den Partialdruck ${p_{C{O_2}}}$ über dem Verbindungskanal.
Wie hoch sind die Partialdrücke von $C{O_2}$ und ${N_2}$ im Behälter II?
Wie hoch ist nun der Massenstrom von $C{O_2}$ in den Behälter II?
Wie sieht der zeitliche Verlauf des Partialdrucks ${p_{C{O_2}}}$ im Behälter I aus?
Wie lange dauert es, bis der Partialdruck ${p_{C{O_2}}}$ im Behälter I auf $0,8\;{\text{bar}}$ gesunken ist?

Gegeben:

Volumen der Behälter: $V = 1\;{{\text{m}}^3}$

Länge des Verbindungskanals: $L = 0,03\;{\text{m}}$

Querschnitt des Verbindungskanals: $A = 0,005\;{{\text{m}}^2}$

Druck in den Behältern: $p = 1\;{\text{bar}}$

Temperatur in den Behältern: $T = 293\;{\text{K}}$

Diffusionskoeffizient $C{O_2}-{N_2}$ : ${D_{C{O_2},{N_2}}} = 0,14 \cdot {10^{-5}}\frac{{{{\text{m}}^2}}}{{\text{s}}}$

Molmasse $C{O_2}$ : ${\hat M_{C{O_2}}} = 44\frac{{\text{g}}}{{{\text{mol}}}}$

Molmasse ${N_2}$ : ${\hat M_{{N_2}}} = 28\frac{{\text{g}}}{{{\text{mol}}}}$

Lösung

a) Verlauf des Partialdrucks zu Beginn

konzentration-verbindungskanal

b) Massenströme

Für den Massenstrom gilt allgemein:

$\dot M = {j_i} \cdot {\text{A}} = -{D_{ij}}A\frac{{\partial {\rho _i}}}{{\partial z}}$

Für die Diffusionskoeffizienten gilt in unserem Fall:

${D_{C{O_2}/{N_2}}} = {D_{{N_2}/C{O_2}}} = D$

Für den ${\text{C}}{{\text{O}}_2}$ -Massenstrom gilt somit:

${{\dot M}_{C{O_2}}} = -DA\frac{{d{\rho _{C{O_2}}}}}{{dx}}$

${\rho _{C{O_2}}} = \frac{{{p_{C{O_2}}}}}{{{R_{C{O_2}}}T}} = \frac{{{p_{C{O_2}}}{{\hat M}_{C{O_2}}}}}{{\mathcal{R}T}}$

$\Rightarrow \quad {{\dot M}_{C{O_2}}} = -DA\frac{{{{\hat M}_{C{O_2}}}}}{{\mathcal{R}T}}\frac{{d{p_{C{O_2}}}}}{{dx}}$

$\Rightarrow \quad {{\dot M}_{C{O_2}}} = -DA\frac{{{{\hat M}_{C{O_2}}}}}{{\mathcal{R}T}}\frac{{0-{p_{C{O_2}}}}}{{L-0}} = 4,214 \cdot {10^{-4}}\frac{{\text{g}}}{{\text{s}}}$

Für den ${{\text{N}}_2}$ -Massenstrom gilt:

${\dot M_{{N_2}}} = -DA\frac{{{{\hat M}_{{N_2}}}}}{{\mathcal{R}T}}\frac{{{p_{{N_2}}}-0}}{{L-0}} = -2,682 \cdot {10^{-4}}\frac{{\text{g}}}{{\text{s}}}$

Einheitenbetrachtung:

$\dot M = \left[ {\underbrace {\frac{{{{\text{m}}^2}}}{{\text{s}}}}_D\underbrace {{{\text{m}}^2}}_A\underbrace {\frac{{\text{g}}}{{{\text{mol}}}}}_{\hat M}\underbrace {\frac{{{\text{mol}}\;{\text{K}}}}{{\text{J}}}}_{1/R}\underbrace {\frac{1}{{\text{K}}}}_{1/T}\underbrace {\frac{{{\text{Pa}}}}{{\text{m}}}}_{p/L}} \right]$

$\Rightarrow \quad \dot M = \left[ {\frac{{{{\text{m}}^2}}}{{\text{s}}}{\text{m}}\;{\text{g}}\underbrace {\frac{{{{\text{s}}^2}}}{{{\text{kg}}\;{{\text{m}}^2}}}}_{1/{\text{J}}}\underbrace {\frac{{{\text{kg}}}}{{{\text{m}}\;{{\text{s}}^2}}}}_{{\text{Pa}}}} \right] = \left[ {\frac{{\text{g}}}{{\;{\text{s}}}}} \right]$

c) Verlauf des Partialdrucks

partialdruck-verbindungskanal

d) Partialdrücke im Behälter II

Für den Partialdruck von ${\text{C}}{{\text{O}}_2}$ und ${{\text{N}}_2}$ im Behälter II gilt:

${p_{{{\text{N}}_2},2}} = {p_{{\text{ges}}}}-{p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},2}} = 0,7\;{\text{bar}}$

Möglichkeit 1

Ideales Gasgesetz:

$pV = N\mathcal{R}T\quad \Rightarrow \quad \frac{V}{{\mathcal{R}T}} = \frac{N}{p} = \frac{{{N_i}}}{{{p_i}}} = {\text{const}}{\text{.}}$

$\Rightarrow \quad \frac{{{N_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},1}}}}{{{p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},1}}}} = \frac{{{N_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},2}}}}{{{p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},2}}}}$

$\Rightarrow \quad {p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},2}} = \frac{{{N_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},2}}}}{{{p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},2}}}}{p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},1}} = \frac{{{N_{{\text{ges}}}}-{N_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},1}}}}{{{N_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},1}}}}{p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},1}}$

$\Rightarrow \quad {p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},2}} = \left( {\frac{{{N_{{\text{ges}}}}}}{{{N_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},1}}}}-1} \right){p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},1}} = \left( {\frac{{{p_{{\text{ges}}}}}}{{{p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},1}}}}-1} \right){p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},1}}$

$\Rightarrow \quad {p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},2}} = {p_{{\text{ges}}}}-{p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},1}} = 0,3\;{\text{bar}}$

Möglichkeit 2

$\frac{{d{N_{{\text{C}}{{\text{O}}_2}}}}}{{dt}} = 0 = \frac{{d{N_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},1}}}}{{dt}}+\frac{{d{N_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},2}}}}{{dt}}$

$\Rightarrow \quad 0 = \frac{V}{{\mathcal{R}T}}\left( {\frac{{d{p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},1}}}}{{dt}}+\frac{{d{p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},2}}}}{{dt}}} \right)$

$\Rightarrow \quad \frac{{d{p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},1}}}}{{dt}} = -\frac{{d{p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},2}}}}{{dt}}$

$\Rightarrow \quad d{p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},1}}dt = d{p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},2}}dt\qquad \left| {\int {} } \right.$

$\Rightarrow \quad {p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},1}} = -{p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},2}}+{c_1}$

Anfangsbedingungen:

${p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},1}}\left( {t = 0} \right) = 1\;{\text{bar}}$

${p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},2}}\left( {t = 0} \right) = 0\;{\text{bar}}$

$\Rightarrow \quad c = 1\;{\text{bar}} = {p_{{\text{ges}}}}$

Durch Einsetzen folgt:

${p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},2}} = {p_{{\text{ges}}}}-{p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},1}} = 0,3\;{\text{bar}}$

e) Neuer Massenstrom

${\dot M_{C{O_2}}} = -DA\frac{{{{\hat M}_{{\text{C}}{{\text{O}}_2}}}}}{{\mathcal{R}T}}\frac{{{p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},2}}-{p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},1}}}}{{L-0}} = 1,686 \cdot {10^{-4}}\frac{{\text{g}}}{{\text{s}}}$

f) Zeitlicher Verlauf des Partialdrucks im Behälter I

zeitlicher-verlauf-partialdruck

$\frac{{d{m_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},1}}}}{{dt}} = -{{\dot M}_{{\text{C}}{{\text{O}}_2}}}$

${m_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},1}} = \frac{{{p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},1}}V{{\hat M}_{{\text{C}}{{\text{O}}_2}}}}}{{\mathcal{R}T}}$

${{\dot M}_{C{O_2}}} = -DA\frac{{{{\hat M}_{C{O_2}}}}}{{\mathcal{R}T}}\frac{{d{p_{C{O_2}}}}}{{dx}}$

$\Rightarrow \quad {{\dot M}_{C{O_2}}} = -DA\frac{{{{\hat M}_{C{O_2}}}}}{{\mathcal{R}T}}\frac{{{p_{C{O_2},2}}-{p_{C{O_2},1}}}}{L}$

${p_{C{O_2},2}} = {p_{{\text{ges}}}}-{p_{C{O_2},1}}$

$\Rightarrow \quad {{\dot M}_{C{O_2}}} = -DA\frac{{{{\hat M}_{C{O_2}}}}}{{\mathcal{R}T}}\frac{{{p_{{\text{ges}}}}-2{p_{C{O_2},1}}}}{L}$

Durch Einsetzen folgt:

$\frac{{V{{\hat M}_{{\text{C}}{{\text{O}}_2}}}}}{{\mathcal{R}T}}\frac{{d{p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},1}}}}{{dt}} = -DA\frac{{{{\hat M}_{C{O_2}}}}}{{\mathcal{R}T}}\frac{{{p_{{\text{ges}}}}-2{p_{C{O_2},1}}}}{L}$

$\Rightarrow \quad V\frac{{d{p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},1}}}}{{dt}} = -DA\frac{{{p_{{\text{ges}}}}-2{p_{C{O_2},1}}}}{L}$

$\Rightarrow \quad \frac{1}{{{p_{{\text{ges}}}}-2{p_{C{O_2},1}}}}d{p_{{\text{C}}{{\text{O}}_2},1}} = \frac{{DA}}{{VL}}dt\qquad \left| {\int {} } \right.$

$\left[ {\int {\frac{1}{{p-2x}}dx} = -\frac{1}{2}\ln \left( {p-2x} \right)+c} \right]$

$\Rightarrow \quad -\frac{1}{2}\ln \left( {{p_{{\text{ges}}}}-2{p_{C{O_2},1}}} \right) = \frac{{DA}}{{VL}}t+\frac{{{c_2}}}{2}$

$\Rightarrow \quad {p_{C{O_2},1}}\left( t \right) = -\frac{1}{2}\left( {\exp \left\{ {-2\left( {\frac{{DA}}{{VL}}t+{c_2}} \right)} \right\}-{p_{{\text{ges}}}}} \right)$

$\Rightarrow \quad {p_{C{O_2},1}}\left( t \right) = -\frac{1}{2}\left( {{c_3} \cdot \exp \left\{ {-2\frac{{DA}}{{VL}}t} \right\}-{p_{{\text{ges}}}}} \right)$

Zum Zeitpunkt $t = 0$ gilt die Anfangsbedingung:

${p_{C{O_2},1}}\left( {t = 0} \right) = 1\;{\text{bar}} = {p_{{\text{ges}}}}$

Durch Einsetzen folgt:

${p_{C{O_2},1}}\left( {t = 0} \right) = {p_{{\text{ges}}}} = \frac{1}{2}\left( {p-{c_3}} \right)$

$\Rightarrow \quad {c_3} = -{p_{{\text{ges}}}}$

Daraus folgt als Lösung für den zeitlichen Verlauf von ${p_{C{O_2},1}}$ :

${p_{C{O_2},1}}\left( t \right) = \frac{{{p_{{\text{ges}}}}}}{2}\left( {\exp \left\{ {-2\frac{{DA}}{{VL}}t} \right\}+1} \right)$

zeitlicher-verlauf-partialdruck

g) Dauer des Absinkens auf 0,8 bar

${p_{C{O_2},1}}\left( {{t_{0,8}}} \right) = \frac{{{p_{{\text{ges}}}}}}{2}\left( {\exp \left\{ {-2\frac{{DA}}{{VL}}{t_{0,8}}} \right\}+1} \right)\mathop = \limits^! 0,8\;{\text{bar}}$

$\Rightarrow \quad {t_{0,8}} = -\frac{{VL}}{{2DA}} \cdot \ln \left( {\frac{{2 \cdot 0,8\;{\text{bar}}}}{{{p_{{\text{ges}}}}}}-1} \right) = 1\;094\;626\;{\text{s}} = 304\;{\text{h}}$

Mathematical Engineering

A 14 – Diffusion zwischen Druckbehältern

Lösung

a) Verlauf des Partialdrucks zu Beginn

b) Massenströme

c) Verlauf des Partialdrucks

d) Partialdrücke im Behälter II

e) Neuer Massenstrom

f) Zeitlicher Verlauf des Partialdrucks im Behälter I

g) Dauer des Absinkens auf 0,8 bar

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