U 1 – Diffusionsgleichung

 
  1. Motivieren Sie die allgemeine 3-dimensionale Form der Diffusionsgleichung:
    \dot c = \nabla \cdot \vec Q
    Für den Flussterm \vec Q ist das erste Fick’sche Gesetz zu verwenden:
    \vec Q = -D\nabla c
    Dabei ist D der Diffusionskoeffizient.
  2. Formulieren Sie die Differentialgleichung sowie die Rand- und Anfangsbedingungen für den eindimensionalen Fall des Diffusionsstabes und Stellen Sie das Anfangs-Randwert-Problem (ARWP) im Tonti-Diagramm dar.
  3. Leiten Sie die schwache Form der Differentialgleichung her.
  4. Approximieren Sie die unbekannten Größen in der schwachen Form für ein repräsentatives Element e mit linearen Ansätzen.
  5. Berechnen Sie analog zur Impulsbilanz die in der approximierten, schwachen Form der Diffusionsgleichung des Stabes auftretenden Elementmatrizen.

Lösung 1

a) Motivation der allgemeinen 3-dimensionalen Form der Diffusionsgleichnug

Lösen durch Einsetzen:

\dot c = \nabla \cdot \vec Q\quad ;\quad \vec Q = -D\nabla c

\quad \Rightarrow \quad \dot c = \nabla \cdot \vec Q = \nabla \cdot \left( {-D\nabla c} \right) = -D\nabla \cdot \left( {\nabla c} \right)

Eindimensional:

c = -D\frac{{{\partial ^2}c}}{{\partial {x^2}}}

b) RB, AB und Tonti-Diagramm

Dirichlet-Randbedingung:

dirichlet-randbedingung

\left. {\begin{array}{*{20}{c}}  {c_1^{{e_1}} = c_1^{e_1^*}} \\   {c_1^{{e_2}} = c_1^{e_2^*}}  \end{array}} \right\}\quad \forall {x_1} \in \Gamma _c^e

Neumann-Randbedingung:

neumann-randbedingung

\left. {\begin{array}{*{20}{c}}  {Q_1^{{e_1}} = -Q_1^{e_1^*}} \\   {Q_1^{{e_2}} = Q_1^{e_2^*}}  \end{array}} \right\}\quad \forall {x_1} \in \Gamma _Q^e

Wir stellen nun das Tonti-Diagramm auf:

tonti-diagramm-diffusion

c) Schwache Form

Wir leiten nun die schwache Formulierung her. Dazu benötigen wir die Diffusionsbilanz und die Neumann-Randbedingung:

{{\dot c}_1}-{Q_{1,1}} = 0\quad \forall {x_1} \in {\Omega ^e}

\left. {\begin{array}{*{20}{c}}  {-Q_1^{e_1^*}-Q_1^{{e_1}} = 0} \\   {-Q_1^{e_2^*}+Q_1^{{e_2}} = 0}  \end{array}} \right\}\quad \forall {x_1} \in {\Gamma _Q}

Testfunktion:

\delta {c_1},\quad \delta {c_{1,1}} = \delta {\gamma _{11}}

Variante 1

Summation von Diffusionsbilanz und Neumann-Randbedingung und anschließende Multiplikation mit der Testfunktion sowie Integration über das Gebiet:

0 = \int\limits_{{\Omega ^e}} {\delta {c_1}{{\dot c}_1}d{x_1}} -\int\limits_{{\Omega ^e}} {\delta {c_1}{Q_{1,1}}d{x_1}} -\delta c_1^{{e_1}}\left( {Q_1^{e_1^*}+Q_1^{{e_1}}} \right)-\delta c_1^{{e_2}}\left( {Q_1^{e_2^*}-Q_1^{{e_2}}} \right)

Partielle Integration:

\int\limits_{{\Omega ^e}} {\delta {c_1}{Q_{1,1}}d{x_1}} = \left[ {\delta {c_1}{Q_1}} \right]_{{e_1}}^{{e_2}}-\int\limits_{{\Omega ^e}} {\delta {c_{1,1}}{Q_1}d{x_1}}

\quad = \delta c_1^{{e_2}}Q_1^{{e_2}}-\delta c_1^{{e_1}}Q_1^{{e_1}}-\int\limits_{{\Omega ^e}} {\delta {c_{1,1}}{Q_1}d{x_1}}

Einsetzen:

0 = \int\limits_{{\Omega ^e}} {\delta {c_1}{{\dot c}_1}d{x_1}} -\int\limits_{{\Omega ^e}} {\delta {c_1}{Q_{1,1}}d{x_1}} -\delta c_1^{{e_1}}\left( {Q_1^{e_1^*}+Q_1^{{e_1}}} \right)-\delta c_1^{{e_2}}\left( {Q_1^{e_2^*}-Q_1^{{e_2}}} \right)

\quad \Rightarrow \quad 0 = \int\limits_{{\Omega ^e}} {\delta {c_1}{{\dot c}_1}d{x_1}} +\int\limits_{{\Omega ^e}} {\underbrace {\delta {c_{1,1}}}_{\delta {\gamma _{11}}}\underbrace {{Q_1}}_{-D{\gamma _{11}}}d{x_1}} -\delta c_1^{{e_2}}Q_1^{{e_2}}+

\qquad \qquad +\delta c_1^{{e_1}}Q_1^{{e_1}}-\delta c_1^{{e_1}}\left( {Q_1^{e_1^*}+Q_1^{{e_1}}} \right)-\delta c_1^{{e_2}}\left( {Q_1^{e_2^*}-Q_1^{{e_2}}} \right)

\quad \Rightarrow \quad \underbrace {\int\limits_{{\Omega ^e}} {\delta {c_1}{{\dot c}_1}d{x_1}} }_{\delta W_{transient}^c}\underbrace {-\int\limits_{{\Omega ^e}} {\delta {\gamma _{11}}D{\gamma _{11}}d{x_1}} }_{\delta W_{intern}^e} = \underbrace {\delta c_1^{{e_1}}Q_1^{e_1^*}+\delta c_1^{{e_2}}Q_1^{e_2^*}}_{\delta W_{extern}^e}

Variante 2

Multiplikation der Diffusionsbilanz mit der Testfunktion und Integration über das Gebiet:

0 = \int\limits_{{\Omega ^e}} {\delta {c_1}{{\dot c}_1}d{x_1}} -\int\limits_{{\Omega ^e}} {\delta {c_1}{Q_{1,1}}d{x_1}} \quad ;\quad {Q_{1,1}} = -D{\gamma _{11,1}} = -D\Delta {c_1}

\quad \Rightarrow \quad 0 = \int\limits_{{\Omega ^e}} {\delta {c_1}{{\dot c}_1}d{x_1}} +\int\limits_{{\Omega ^e}} {\delta {c_1}D\Delta {c_1}d{x_1}}

Wir wenden nun die 1. Greensche Identität auf den 2. Term an (vgl. Randelementmethoden):

\int\limits_\Omega {div\left( {w\nabla v} \right)dx} = \int\limits_\Omega {\left( {\nabla w \cdot \nabla v+w\Delta v} \right)dx} = \int\limits_{\partial \Omega } {w\frac{{\partial v}}{{\partial n}}ds} = \int\limits_{\partial \Omega } {w\left( {\nabla v \cdot \vec n} \right)dx}

\quad \Rightarrow \quad \int\limits_\Omega {\left( {w\Delta v} \right)dx = } \int\limits_{\partial \Omega } {w\left( {\nabla v \cdot \vec n} \right)ds} -\int\limits_\Omega {\left( {\nabla w \cdot \nabla v} \right)dx}

\quad \Rightarrow \quad \int\limits_{{\Omega ^e}} {\delta {c_1}D\Delta {c_1}d{x_1}} = \int\limits_{{\Gamma ^e}} {\delta {c_1}\left( {\nabla {c_1} \cdot \vec n} \right)Dd\Gamma } -\int\limits_{{\Omega ^e}} {\nabla \delta {c_1} \cdot \nabla {c_1}Dd{x_1}}

Im 1D-Fall gilt \vec nd\Gamma = d\Gamma. Durch Einsetzen folgt nun:

\int\limits_{{\Omega ^e}} {\delta {c_1}{{\dot c}_1}d{x_1}} -\int\limits_{{\Omega ^e}} {\nabla \delta {c_1} \cdot \nabla {c_1}Dd{x_1}} = -\int\limits_{{\Gamma ^e}} {\delta {c_1}\underbrace {\nabla {c_1}D}_{{\gamma _{11}}D}d{\Gamma ^e}}

\quad = -\int\limits_{{\Gamma ^e}} {\delta {c_1}\left( {-{Q_1}} \right)d{\Gamma ^e}}

\quad = \delta c_1^{{e_2}}Q_1^{{e_2}}-\delta c_1^{{e_1}}Q_1^{{e_1}}

\quad = \delta c_1^{{e_2}}Q_1^{e_2^*}-\delta c_1^{{e_1}}Q_1^{e_1^*}

\quad \Rightarrow \quad \underbrace {\int\limits_{{\Omega ^e}} {\delta {c_1}{{\dot c}_1}d{x_1}} }_{\delta W_{transient}^c}\underbrace {-\int\limits_{{\Omega ^e}} {\delta {\gamma _{11}}D{\gamma _{11}}d{x_1}} }_{\delta W_{intern}^e} = \underbrace {\delta c_1^{{e_1}}Q_1^{e_1^*}+\delta c_1^{{e_2}}Q_1^{e_2^*}}_{\delta W_{extern}^e}

d) Approximation

Wir wollen nun die schwache Form approximieren:

\int\limits_{{\Omega ^e}} {\delta {c_1}{{\dot c}_1}d{x_1}} -\int\limits_{{\Omega ^e}} {\delta {\gamma _{11}}D{\gamma _{11}}d{x_1}} = \delta c_1^{{e_1}}Q_1^{e_1^*}+\delta c_1^{{e_2}}Q_1^{e_2^*}

\quad \Rightarrow \quad \int\limits_{{\Omega ^e}} {\delta {{\tilde c}_1}{{\dot {\tilde c}}_1}d{x_1}} -\int\limits_{{\Omega ^e}} {\delta {{\tilde \gamma }_{11}}D{{\tilde \gamma }_{11}}d{x_1}} = \delta \tilde c_1^{{e_1}}Q_1^{e_1^*}+\delta \tilde c_1^{{e_2}}Q_1^{e_2^*}

Wir benutzen zur Approximation einen linearen Ansatz mit p = 1. Dies entspricht der allgemeinen Approximation des Ortes aus Kap. 3.2.5:

{x_1}\left( {{\xi _1}} \right) \approx {\tilde x_1}\left( {{\xi _1}} \right) = \sum\limits_{i = 1}^{p+1} {{N^i}\left( {{\xi _1}} \right)x_1^{{e_i}}}

Analog gehen wir vor für {c_1}\left( {{\xi _1}} \right), \delta {c_1}\left( {{\xi _1}} \right) und {\dot c_1}\left( {{\xi _1}} \right):

{c_1}\left( {{\xi _1}} \right) \approx {{\tilde c}_1}\left( {{\xi _1}} \right) = \sum\limits_{i = 1}^{p+1} {{N^i}\left( {{\xi _1}} \right)c_1^{{e_i}}} \quad ;\quad \delta {c_1}\left( {{\xi _1}} \right) \approx \delta {{\tilde c}_1}\left( {{\xi _1}} \right) = \sum\limits_{i = 1}^{p+1} {{N^i}\left( {{\xi _1}} \right)\delta c_1^{{e_i}}}

{{\dot c}_1}\left( {{\xi _1}} \right) \approx {{\dot {\tilde c}}_1}\left( {{\xi _1}} \right) = \sum\limits_{i = 1}^{p+1} {{N^i}\left( {{\xi _1}} \right)\dot c_1^{{e_i}}}

Weiter brauchen wir noch

{\gamma _{11}}\left( {{\xi _1}} \right) \approx {\tilde \gamma _{11}}\left( {{\xi _1}} \right) = {\tilde c_{1,1}}\left( {{\xi _1}} \right) = \frac{{\partial {{\tilde c}_1}\left( {{\xi _1}\left( {{x_1}} \right)} \right)}}{{\partial {x_1}}}

\quad \Rightarrow \quad {\gamma _{11}}\left( {{\xi _1}} \right) \approx {{\tilde \gamma }_{11}}\left( {{\xi _1}} \right) = \frac{\partial }{{\partial {x_1}}}\sum\limits_{i = 1}^{p+1} {{N^i}\left( {{\xi _1}\left( {{x_1}} \right)} \right)c_1^{{e_i}}} = \sum\limits_{i = 1}^{p+1} {\frac{{\partial {N^i}}}{{\partial {x_1}}}c_1^{{e_i}}}

\quad \Rightarrow \quad {\gamma _{11}}\left( {{\xi _1}} \right) \approx {{\tilde \gamma }_{11}}\left( {{\xi _1}} \right) = \sum\limits_{i = 1}^{p+1} {N_{,1}^i\left( {{\xi _1}} \right)c_1^{{e_i}}}

Wir benutzen natürliche Koordinaten.

physikalische-und-natuerliche-koordinaten

Ansatzfunktionen:

ansatzfunktionen

{N^1}\left( {{\xi _1}} \right) = \frac{1}{2}\left( {1-{\xi _1}} \right)\quad ;\quad {N^2}\left( {{\xi _1}} \right) = \frac{1}{2}\left( {1+{\xi _1}} \right)

\quad \Rightarrow \quad {x_1}\left( {{\xi _1}} \right) = \sum\limits_{i = 1}^2 {{N^i}\left( {{\xi _1}} \right)x_1^{{e_i}}} = \frac{1}{2}\left( {1-{\xi _1}} \right)x_1^{{e_1}}+\frac{1}{2}\left( {1+{\xi _1}} \right)x_1^{{e_2}}

\quad \Rightarrow \quad \frac{{d{x_1}}}{{d{\xi _1}}} = -\frac{1}{2}x_1^{{e_1}}+\frac{1}{2}x_1^{{e_2}} = \frac{L}{2}\quad \Rightarrow \quad d{x_1} = \frac{L}{2}d{\xi _1}\quad \Rightarrow \quad d{\xi _1} = \frac{2}{L}d{x_1}

\left[ {{\xi _1}\left( {{x_1}} \right) = \frac{1}{2}\left( {1-\frac{{2{x_1}}}{L}} \right)\xi _1^{{e_1}}+\frac{1}{2}\left( {1+\frac{{2{x_1}}}{L}} \right)\xi _1^{{e_2}}\quad \Rightarrow \quad \frac{{d{\xi _1}}}{{d{x_1}}} = \frac{2}{L}} \right]

Damit können wir nun die approximierte schwache Form aufschreiben:

\int\limits_{{\Omega ^e}} {\delta {c_1}{{\dot c}_1}d{x_1}} -\int\limits_{{\Omega ^e}} {\delta {\gamma _{11}}D{\gamma _{11}}d{x_1}} = \delta c_1^{{e_1}}Q_1^{e_1^*}+\delta c_1^{{e_2}}Q_1^{e_2^*}

\quad \Rightarrow \quad \int\limits_{-1}^1 {\delta {{\tilde c}_1}{{\dot {\tilde c}}_1}\frac{L}{2}d{\xi _1}} -\int\limits_{-1}^1 {\delta {{\tilde \gamma }_{11}}D{{\tilde \gamma }_{11}}\frac{L}{2}d{\xi _1}} = \delta \tilde c_1^{{e_1}}Q_1^{e_1^*}+\delta \tilde c_1^{{e_2}}Q_1^{e_2^*}

e) Berechnung der Elementmatrizen

Für die approximierte transiente Arbeit gilt:

\delta \tilde W_{trans}^e = \int\limits_{-1}^1 {\delta {{\tilde c}_1}{{\dot {\tilde c}}_1}\frac{L}{2}d{\xi _1}} = \sum\limits_{i = 1}^2 {\sum\limits_{j = 1}^2 {\int\limits_{-1}^1 {\delta c_1^{{e_i}}{N^i}\left( {{\xi _1}} \right){N^j}\left( {{\xi _1}} \right)\dot c_1^{{e_j}}\frac{L}{2}d{\xi _1}} } }

\quad \Rightarrow \quad \delta \tilde W_{trans}^e = \sum\limits_{i = 1}^2 {\sum\limits_{j = 1}^2 {\delta c_1^{{e_i}}\dot c_1^{{e_j}}\frac{L}{2}\int\limits_{-1}^1 {{N^i}\left( {{\xi _1}} \right){N^j}\left( {{\xi _1}} \right)d{\xi _1}} } }

Fall 1: i = 1,\;\;j = 1:

\int\limits_{-1}^1 {\frac{1}{2}\left( {1-{\xi _1}} \right)\frac{1}{2}\left( {1-{\xi _1}} \right)d{\xi _1}} = \int\limits_{-1}^1 {\frac{1}{4}\left( {1-2{\xi _1}+{\xi _1^2}} \right)d{\xi _1}} = \frac{1}{4}\left[ {{\xi _1}-\xi _1^2+\frac{1}{3}\xi _1^3} \right]_{-1}^1

\quad = \frac{1}{4}\left[ {1-1+\frac{1}{3}-\left( {-1-1-\frac{1}{3}} \right)} \right] = \frac{2}{3}

\quad \Rightarrow \quad \delta \tilde W_{trans}^{{e_{11}}} = \delta c_1^{{e_1}}\dot c_1^{{e_1}}\frac{L}{3}

Fall 2: i = 1,\;\;j = 2:

\int\limits_{-1}^1 {\frac{1}{2}\left( {1-{\xi _1}} \right)\frac{1}{2}\left( {1+{\xi _1}} \right)d{\xi _1}} = \frac{1}{4}\int\limits_{-1}^1 {\left( {1-\xi _1^2} \right)d{\xi _1}} = \frac{1}{4}\left[ {{\xi _1}-\frac{1}{3}\xi _1^3} \right]_{-1}^1

\quad = \frac{1}{4}\left[ {1-\frac{1}{3}-\left( {-1+\frac{1}{3}} \right)} \right] = \frac{1}{3} = \frac{2}{6}

\quad \Rightarrow \quad \delta \tilde W_{trans}^{{e_{12}}} = \delta \tilde W_{trans}^{{e_{21}}} = \delta c_1^{{e_1}}\dot c_1^{{e_2}}\frac{L}{6} = \delta c_1^{{e_2}}\dot c_1^{{e_1}}\frac{L}{6}

Fall 3: i = 2,{\mkern 1mu} \;j = 2:

\int\limits_{-1}^1 {\frac{1}{2}\left( {1+{\xi _1}} \right)\frac{1}{2}\left( {1+{\xi _1}} \right)d{\xi _1}} = \int\limits_{-1}^1 {\frac{1}{4}\left( {1+2{\xi _1}+{\xi _1^2}} \right)d{\xi _1}} = \frac{1}{4}\left[ {{\xi _1}+\xi _1^2+\frac{1}{3}\xi _1^3} \right]_{-1}^1

\quad = \frac{1}{4}\left[ {1+1+\frac{1}{3}-\left( {-1+1-\frac{1}{3}} \right)} \right] = \frac{2}{3}

\quad \Rightarrow \quad \delta \tilde W_{trans}^{{e_{22}}} = \delta c_1^{{e_2}}\dot c_1^{{e_2}}\frac{L}{3}

Allgemein folgt:

\frac{{\delta \tilde W_{trans}^{{e_{ij}}}}}{{\partial \delta c_1^{{e_i}}c_1^{{e_j}}}} = {\underline m ^{{e_{ij}}}}\quad \Rightarrow \quad {\underline m ^e} = \frac{L}{6}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2&1 \\   1&2  \end{array}} \right]

Für die approximierte interne Arbeit gilt:

\delta \tilde W_{int}^e = -\int\limits_{-1}^1 {\delta {{\tilde \gamma }_{11}}D{{\tilde \gamma }_{11}}\frac{L}{2}d{\xi _1}} = \sum\limits_{i = 1}^2 {\sum\limits_{j = 1}^2 {-\int\limits_{-1}^1 {\delta {{\tilde \gamma }_{11}}D{{\tilde \gamma }_{11}}\frac{L}{2}d{\xi _1}} } }

\quad = \sum\limits_{i = 1}^2 {\sum\limits_{j = 1}^2 {-D\frac{L}{2}\delta c_1^{{e_i}}c_1^{{e_j}}\int\limits_{-1}^1 {N_{,1}^iN_{,1}^jd{\xi _1}} } }

Für die Ansatzfunktionen gilt dabei:

N_{,1}^i\left( {{\xi _1}\left( {{x_1}} \right)} \right) = \frac{{\partial {N^i}\left( {{\xi _1}\left( {{x_1}} \right)} \right)}}{{\partial {x_1}}} = \frac{{\partial {N^i}\left( {{\xi _1}\left( {{x_1}} \right)} \right)}}{{\partial {\xi _1}}}\frac{{\partial {\xi _1}\left( {{x_1}} \right)}}{{\partial {x_1}}}\quad ;\quad \frac{{\partial {\xi _1}\left( {{x_1}} \right)}}{{\partial {x_1}}} = \frac{2}{L}

\frac{{\partial {N^1}}}{{\partial {\xi _1}}} = \frac{{\partial \left( {\frac{1}{2}\left( {1-{\xi _1}} \right)} \right)}}{{\partial {\xi _1}}} = -\frac{1}{2}\quad \Rightarrow \quad N_{,1}^1 = -\frac{1}{L}

\frac{{\partial {N^2}}}{{\partial {\xi _1}}} = \frac{{\partial \left( {\frac{1}{2}\left( {1+{\xi _1}} \right)} \right)}}{{\partial {\xi _1}}} = \frac{1}{2}\quad \Rightarrow \quad N_{,1}^2 = \frac{1}{L}

Fall 1: i = 1,\;\;j = 1:

\int\limits_{-1}^1 {\left( {-\frac{1}{L}} \right)\left( {-\frac{1}{L}} \right)d{\xi _1}} = \frac{2}{{{L^2}}}\quad \Rightarrow \quad \delta \tilde W_{int}^{{e_{11}}} = -\delta c_1^{{e_1}}c_1^{{e_1}}D\frac{1}{L}

Fall 2: i = 1,\;\;j = 2:

\int\limits_{-1}^1 {\left( {-\frac{1}{L}} \right)\left( {\frac{1}{L}} \right)d{\xi _1}} = -\frac{2}{{{L^2}}}\quad \Rightarrow \quad \delta \tilde W_{int}^{{e_{12}}} = \delta c_1^{{e_1}}c_1^{{e_2}}D\frac{1}{L} = \delta \tilde W_{int}^{{e_{21}}} = \delta c_1^{{e_2}}c_1^{{e_1}}D\frac{1}{L}

Fall 3: i = 2,\;\;j = 2:

\int\limits_{-1}^1 {\left( {\frac{1}{L}} \right)\left( {\frac{1}{L}} \right)d{\xi _1}} = \frac{2}{{{L^2}}}\quad \Rightarrow \quad \delta \tilde W_{int}^{{e_{22}}} = -\delta c_1^{{e_1}}c_1^{{e_1}}D\frac{1}{L}

Allgemein folgt:

\frac{{\delta \tilde W_{int}^{{e_{ij}}}}}{{\partial \delta c_1^{{e_i}}c_1^{{e_j}}}} = {\underline k ^{{e_{ij}}}}\quad \Rightarrow \quad {\underline k ^e} = \frac{D}{L}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {-1}&1 \\   1&{-1}  \end{array}} \right]

\mathcal{S}\mathcal{W}\& \mathcal{J}\mathcal{K}

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