07 – Dimensionierung einer Passfederverbindung

Zu dimensionieren ist die unten dargestellte Passfederverbindung. Das schwellend zu übertragende Drehmoment beträgt ${M_t} = 200Nm$ . Die Nabe sei aus EN-GJL-200, die Welle aus E295.

passfeder-nabe-welle-aufgabe

7.1. Dimensionieren Sie den Wellenzapfen
7.2. Wählen Sie eine geeignete Passfeder aus und legen Sie die Nabenlänge fest

Lösung

7.1 Dimensionierung des Wellenzapfens

In diesem Fall ist klar, dass im Vergleich zu allen anderen Belastungen, die auf die Welle wirken, das schwellende Torsionsmoment vom Betrag her am größten ist. Wir vernachlässigen daher alle anderen Belastungen, wie etwa die Durchbiegung der Welle durch ihr Eigengewicht.
Um die Welle zu dimensionieren, müssen wir nun zunächst den erforderlichen Durchmesser bestimmen. Da ${M_t}$ die einzige betrachtete Belastung ist, benötigen wir kein Vergleichsmoment. Dieses hätten wir ansonsten mit Hilfe einer Energiehypothese berechnet.
Für den erforderlichen Wellendurchmesser bei Torsionsbeanspruchung gilt:

${d_{erf}} = \sqrt[3]{{\frac{{16{M_t}}}{{\pi {\tau _{t,zul}}}}}}$

Herleitung:

$\tau _t = \frac{{{M_t}}}{{{W_t}}},\quad {W_t} = \frac{{\pi {d^3}}}{{16}}$

$\Rightarrow \quad {\tau _t} = \frac{{16{M_t}}}{{\pi {d^3}}}\quad \Rightarrow \quad {d^3} = \frac{{16{M_t}}}{{\pi {\tau _t}}}\quad \Rightarrow \quad {d_{erf}} = \sqrt[3]{{\frac{{16{M_t}}}{{\pi {\tau _{t,zul}}}}}}$

Zu ermitteln ist also zunächst die zulässige Spannung durch Torsionsbelastung. Für diese gilt laut Skript S.84:

${\sigma _{zul}} = \frac{{Werkstoffkennwert}}{{Sicherheit \cdot Betriebsfaktor \cdot Kerbfaktor}} = \frac{k}{{{S_{min}} \cdot {C_B} \cdot {\alpha _k}}}$

Für die Sicherheit betrachten wir folgende Tabelle:

sicherheit-faktor-versagen-beanspruchung

Da es sich um eine schwellende Belastung handelt und wir die Sicherheit gegen Knicken suchen, ergibt sich ein Wert von 3 bis 5. Wir wählen wie immer die höchste Sicherheit, es gilt also ${S_{min}} = 5$ .

Für den Betriebsfaktor betrachten wir folgende Tabelle:

betriebsfaktor

Da es sich um eine gleichförmige Bewegung handelt, ist ${C_B} = 1$
Die Welle hat zwar die Passfeder als Kerbe, wir bestimmen aber den kleineren Durchmesser der Welle ohne Passfeder (siehe unten). Daher gibt es keinen Kerbfaktor: ${\alpha _k} = 1$ .
Für den Werkstoffkennwert betrachten wir folgende Tabelle:

Werkstoffkennwert

Es handelt sich um eine schwellende Torsionsbelastung, daher gilt: $k = {\tau _{t,sch}}$ .
Diesen Wert finden wir in der Tabelle mit Werkstoffeigenschaften:

werkstoffkennwerte-tabelle

Da bei der Welle das Material „E295 Stahl“ verwendet wurde, ist ${\tau _{t,sch,N}} = 205\frac{N}{{m{m^2}}}$

Wir setzen alle Werte ein und erhalten:

${\sigma _{zul}} = \frac{k}{{{S_{min}} \cdot {C_B} \cdot {\alpha _k}}} = \frac{{{t_{t,sch,N}}}}{{{S_{min}}}} = \frac{{205\frac{N}{{m{m^2}}}}}{5} = 41\frac{N}{{m{m^2}}}$

Das Profil der Welle mit dem Zapfen sieht in etwa so aus:

passfeder-einbuchtung-moment

Man bestimmt den Durchmesser ${d^\prime }$ des inneren Kreises, da die Passfeder die Belastbarkeit reduziert.

$d_{erf}^\prime = \sqrt[3]{{\frac{{16{M_t}}}{{\pi {\tau _{t,zul}}}}}} = \sqrt[3]{{\frac{{16 \cdot 200 \cdot {{10}^3}Nmm}}{{\pi \cdot 41\frac{N}{{m{m^2}}}}}}} = 29,2mm$

Der Wellenzapfen ist mit $29mm$ gut dimensioniert, da wir eine hohe Sicherheit benutzt haben.

7.2 Auswahl der Passfeder und Festlegung der Nabenlänge

Wir betrachten die Tabelle mit verschiedenen Passfedern:

passfedern-tabelle-abmessungen

Mit der entsprechenden Passfeder (22…30) erhalten wir eine Wellennuttiefe von ${t_1} = 4mm$ . Daraus ergibt sich ein Wellengesamtdurchmesser von $d = {d^\prime }+{t_1} = 29mm+4mm = 33mm$ . Dieser Durchmesser ist nicht mehr im gewählten Bereich (22…30). Wir wählen die nächst größere Passfeder (30…38) mit den Abmessungen $b = 10mm,h = 8mm,{t_1} = 5mm$ . Es ergibt sich ein Wellengesamtdurchmesser von $d = {d^\prime }+{t_1} = 29mm+5mm = 34mm$ . Die Passfeder würde also im gewählten Rahmen liegen.
Gesucht ist nun die Passfederlänge $L$ . Hierfür benötigen wir die tragende Passfederlänge ${l_{tr}}$ für die gilt:

${l_{tr}} = \frac{{2 \cdot T}}{{d \cdot i \cdot \varphi \cdot \left( {h-{t_1}} \right) \cdot {p_{zul}}}}$

Erläuterung der Variablen: Torsionsmoment $T$ , Wellendurchmesser $d$ , Anzahl der Passfedern $i$ , Traganteil $\varphi$ , Passfederhöhe $h$ , Wellennuttiefe ${t_1}$ und zulässige Flächenpressung ${p_{zul}}$ .

Eine Grafik zur Veranschaulichung:

tragende-passfederlange-belastung

Nun müssen wir alle in der Formel vorkommenden Größen bestimmen!

Das Torsionsmoment ist in der Aufgabenstellung gegeben, den Wellendurchmesser haben wir bereits berechnet, die Anzahl der Passfedern ist $1$ , für $i = 1$ ist der Traganteil immer $\varphi = 1$ .
Wir kennen die Abmessungen der Passfeder: $h-{t_1} = 8mm-5mm = 3mm$ . Diesen Wert verwenden wir, da die Welle aus dem härteren Material gefertigt ist. Ansonsten hätten wir die Länge $5mm$ nutzen müssen, die der Nabe steckt.

Für die folgenden Berechnungen betrachten wir zunächst folgende Tabelle:

nabe-verbindung-passfeder-keil-sicherheit

Für die mittlere zulässige Flächenpressung der Nabe (Grauguss) gilt:

$\overline {{p_{zul}}} = \frac{{{R_m}}}{{{S_{B,\min }}}}$

Aus einer Tabelle mit Werkstoffeigenschaften oben suchen wir das Material der Nabe heraus (EN-GJL-200). Es gilt: ${R_m} = 200\frac{N}{{m{m^2}}}$ . Für die Sicherheit verwenden wir an dieser Stelle ${S_{B,\min }} = 2$ .

Für die mittlere zulässige Flächenpressung der Nabe folgt:

$\overline {{p_{zul}}} = \frac{{{R_m}}}{{{S_{B,\min }}}} = \frac{{200\frac{N}{{m{m^2}}}}}{2} = 100\frac{N}{{m{m^2}}}$

Für die mittlere zulässige Flächenpressung der Welle (Stahl) gilt:

$\overline {{p_{zul}}} = \frac{{{R_e}}}{{{S_{F,\min }}}}$

Werte einsetzen:

$\overline {{p_{zul}}} = \frac{{{R_e}}}{{{S_{F,\min }}}} = \frac{{295\frac{N}{{m{m^2}}}}}{{1,5}} \approx 200\frac{N}{{m{m^2}}}$

Wir kommen zurück zur tragenden Passfederlänge und setzen alle Werte in die Formel ein:

${l_{tr}} = \frac{{2 \cdot T}}{{d \cdot i \cdot \varphi \cdot \left( {h-{t_1}} \right) \cdot {p_{zul}}}} = \frac{{2 \cdot 200 \cdot {{10}^3}Nmm}}{{34mm \cdot 1 \cdot 1 \cdot 3mm \cdot 100\frac{N}{{m{m^2}}}}} = 39,2mm$

Dabei wurde für die mittlere Flächenpressung der kleinere von den beiden Werten benutzt, da das schwächere Material zuerst versagt. Abschließend bleibt nun noch die Überprüfung der tragenden Länge der Passfeder hinsichtlich ihrer Größendimensionierung.

Laut „Dubbel TB für den Maschinenbau“ muss gelten:

Wenn $\overline {{p_{zul}}} \geq 90\frac{N}{{m{m^2}}}\quad \Rightarrow \quad \frac{{{l_{tr}}}}{d} \leq 1,3$ .