6.1 – Dreidimensionales Prinzip von d’Alembert in Lagrange’scher Fassung

 

Auszug aus dem Skript der Vorlesung Finite Elemente bei Dr.-Ing Philipp Höfer an der UniBw München.

Ausgangspunkt ist die lokale Bewegungsgleichung:

\rho \ddot \vec u = \operatorname{div} \mathbb{T}+\rho \vec k

Dabei ist \vec u die Verschiebung, \rho die Dichte, \mathbb{T} der Spannungstensor und \vec k die Volumenkraft. Ausgeschrieben ergibt das:

\frac{{\partial {\sigma _{xx}}}}{{\partial x}}+\frac{{\partial {\sigma _{xy}}}}{{\partial y}}+\frac{{\partial {\sigma _{xz}}}}{{\partial z}}+{f_x} = \rho \frac{{{\partial ^2}{u_x}}}{{\partial {t^2}}}

\frac{{\partial {\sigma _{yx}}}}{{\partial x}}+\frac{{\partial {\sigma _{yy}}}}{{\partial y}}+\frac{{\partial {\sigma _{yz}}}}{{\partial z}}+{f_y} = \rho \frac{{{\partial ^2}{u_y}}}{{\partial {t^2}}}

\frac{{\partial {\sigma _{zx}}}}{{\partial x}}+\frac{{\partial {\sigma _{zy}}}}{{\partial y}}+\frac{{\partial {\sigma _{zz}}}}{{\partial z}}+{f_z} = \rho \frac{{{\partial ^2}{u_z}}}{{\partial {t^2}}}

Wir multiplizieren nun beide Seiten mit dem virtuellen Verschiebungsfeld \delta \vec u und integrieren über das Volumen.

Es folgt:

\int\limits_V {\rho \ddot \vec u \cdot \delta \vec udV} = \int\limits_V {\left( {\operatorname{div} \mathbb{T}} \right) \cdot \delta \vec udV} +\int\limits_V {\rho \vec k \cdot \delta \vec udV}

Wir wollen den mittleren Term auf die Form \int\limits_V {\left( {\operatorname{div} \mathbb{T}\delta u} \right)dV} bringen. Dazu eine Nebenrechnung:

\operatorname{div} \left( {\mathbb{T}\delta \vec u} \right) = \operatorname{div} \left( {{\sigma _{ik}}\delta {u_k}{{\vec e}_i}} \right) = \frac{\partial }{{\partial {x_i}}}\left( {{\sigma _{ik}}\delta {u_k}} \right)

= \frac{{\partial {\sigma _{ik}}}}{{\partial {x_i}}}\delta {u_k}+{\sigma _{ik}}\frac{{\partial \delta {u_k}}}{{\partial {x_i}}} = \left( {\operatorname{div} \mathbb{T}} \right) \cdot \delta \vec u+{\sigma _{ik}}\frac{{\partial \delta {u_k}}}{{\partial {x_i}}}

{\sigma _{ik}}\frac{{\partial \delta {u_k}}}{{\partial {x_i}}} = \frac{1}{2}{\sigma _{ik}}\frac{{\partial \delta {u_k}}}{{\partial {x_i}}}+\frac{1}{2}{\sigma _{ik}}\frac{{\partial \delta {u_k}}}{{\partial {x_i}}} = {\sigma _{ik}}\frac{1}{2}\left( {\frac{{\partial \delta {u_i}}}{{\partial {x_k}}}+\frac{{\partial \delta {u_k}}}{{\partial {x_i}}}} \right) = \mathbb{T} \cdot \delta \mathbb{E}

\Rightarrow \quad \operatorname{div} \left( {\mathbb{T}\delta \vec u} \right) = \left( {\operatorname{div} \mathbb{T}} \right) \cdot \delta \vec u+\mathbb{T} \cdot \delta \mathbb{E}

\Rightarrow \quad \left( {\operatorname{div} \mathbb{T}} \right) \cdot \delta \vec u = \operatorname{div} \left( {\mathbb{T}\delta \vec u} \right)-\mathbb{T} \cdot \delta \mathbb{E}

Einsetzen in die Integralgleichung ergibt:

\int\limits_V {\rho \ddot \vec u \cdot \delta \vec udV} = \int\limits_V {\operatorname{div} \left( {\mathbb{T}\delta \vec u} \right)dV} -\int\limits_V {\mathbb{T} \cdot \delta \mathbb{E}dV} +\int\limits_V {\rho \vec k \cdot \delta \vec udV}

Mit Hilfe des Gauß’schen Integralsatzes

\int\limits_V {\operatorname{div} \left( {\mathbb{T}\delta \vec u} \right)dV} = \int\limits_A {\vec n\left( {\mathbb{T}\delta \vec u} \right)dA} = \int\limits_A {\left( {\vec n\mathbb{T}} \right)\delta \vec udA}

und der Oberflächenbedingung

\vec n\mathbb{T} = \vec s

folgt schließlich:

\underbrace {\int\limits_V {\rho \ddot \vec u \cdot \delta \vec udV} }_{-\delta {W_T}} = \underbrace {\int\limits_A {\vec s \cdot \delta \vec udA} +\int\limits_V {\rho \vec k \cdot \delta \vec udV} }_{\delta {W_a}}\underbrace {-\int\limits_V {\mathbb{T} \cdot \delta \mathbb{E}dV} }_{\delta {W_\sigma }}

\Rightarrow \quad \delta {W_a}+\delta {W_T} = \delta {W_\sigma }

Arbeit der aktuellen Spannungen an den virtuellen Verzerrungen:

\delta {W_\sigma } = \int\limits_V {\mathbb{T} \cdot \delta \mathbb{E}dV} = \int\limits_V {{\sigma _{jk}}\delta {\varepsilon _{jk}}dV}

= \int\limits_V {\left( {{\sigma _{xx}}\delta {\varepsilon _{xx}}+{\sigma _{yy}}\delta {\varepsilon _{yy}}+{\sigma _{zz}}\delta {\varepsilon _{zz}}+2{\sigma _{xy}}\delta {\varepsilon _{xy}}+2{\sigma _{yz}}\delta {\varepsilon _{yz}}+2{\sigma _{zx}}\delta {\varepsilon _{zx}}} \right)dV}

Anteil der Volumen- und Oberflächenkräfte an den virtuellen Verschiebungen:

\delta {W_a} = \int\limits_A {\vec s \cdot \delta \vec udA} +\int\limits_V {\rho \vec k \cdot \delta \vec udV}

= \int\limits_A {\left( {{s_x}\delta {u_x}+{s_y}\delta {u_y}+{s_z}\delta {u_z}} \right)dA} +\int\limits_V {\rho \left( {{k_x}\delta {u_x}+{k_y}\delta {u_y}+{k_z}\delta {u_z}} \right)dV}

Anteil der Trägheitskräfte an den virtuellen Verschiebungen:

\delta {W_T} = -\int\limits_V {\rho \ddot \vec u \cdot \delta \vec udV}

= -\int\limits_V {\rho \left( {{{\ddot u}_x}\delta {u_x}+{{\ddot u}_y}\delta {u_y}+{{\ddot u}_z}\delta {u_z}} \right)dV}