3.5 – Der Dualraum H-s[0,2π]

 

Satz: Für 0 \leq s < \infty bezeichnet {H^{-s}}\left[ {0,2\pi } \right] den Dualraum zu {H^s}\left[ {0,2\pi } \right], nämlich den linearen Raum aller stetigen Linearformen auf {H^s}\left[ {0,2\pi } \right].

Für ein beliebiges F \in {H^{-s}}\left[ {0,2\pi } \right] sei {c_k} = F\left( {{\chi _k}} \right). Dann gilt

{\left\| F \right\|_{-s}} = \sqrt {\sum\limits_{k = -\infty }^\infty {{{\left( {1+{k^2}} \right)}^{-s}}{{\left| {{c_k}} \right|}^2}} }.

Umgekehrt ist jeder Folge {\left\{ {{c_k}} \right\}_{k \in \mathbb{Z}}} \subset \mathbb{C} mit

\sum\limits_{k = -\infty }^\infty {{{\left( {1+{k^2}} \right)}^{-s}}{{\left| {{c_k}} \right|}^2}} < \infty

ein spezifisches F \in {H^{-s}}\left[ {0,2\pi } \right] zugeordnet, das durch F\left( {{\chi _k}} \right) = {c_k} definiert ist.

Satz: Sei g \in {L^2}\left[ {0,2\pi } \right]. Dann definiert das duale Paar

G\left( \varphi \right): = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_0^{2\pi } {\varphi \left( t \right)\overline {g\left( t \right)} \:dt} ,\quad \varphi \in {H^s}\left[ {0,2\pi } \right]

eine Linearform G \in {H^{-s}}\left[ {0,2\pi } \right]. Dann macht die kanonische Abbildung g \mapsto G {L^2}\left[ {0,2\pi } \right] zu einem Unterraum eines jeden Dualraumes {H^{-s}}\left[ {0,2\pi } \right] (s \geq 0) und die trigonometrischen Polynome liegen dicht in {H^{-s}}\left[ {0,2\pi } \right].

Zusammenfassung

Das Skalarprodukt {\left\langle {\varphi ,\psi } \right\rangle _s}: = \sum\limits_{k \in \mathbb{Z}} {{{\left( {1+{k^2}} \right)}^s}{a_k}{{\bar b}_k}}, das bereits für s \geq 0 eingeführt wurde, gilt auch für s < 0. Mit diesem Skalarprodukt werden die Dualräume {H^{-s}}\left[ {0,2\pi } \right] auch zu Hilbert-Räumen. Für den Spezialfall s = 0 ist g \mapsto G eine Bijektion und eine Norm-Isometrie {\left\| G \right\|_0} = {\left\| g \right\|_0}.

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