23 – Durchbiegung, Reibung und Erwärmung

 

Gegeben ist die schematisch dargestellte fliegend gelagerte Ritzelwelle eines Universalgetriebes. An Lagerstelle A kommt ein Zylinderrollenlager NU208-E-TVP als Loslager, an Lagerstelle B ein Rillenkugellager 6207 als Festlager zum Einsatz. Die Drehzahl der Welle beträgt n = 500{\min ^{-1}}

durchbiegung-lager-reibung-warme

Weiterhin sind gegeben:

{F_r} = 3kN;\quad {F_t} = 7kN

a = 40mm,\quad b = 70mm;\quad d = 60mm

Aufgaben:

1. Bestimmen Sie die Auflagerreaktion sowie die nominelle Lebensdauer {L_h} der Lager.

2. Schätzen Sie die Durchsenkung der Welle ab, berücksichtigen Sie dabei auch die Steifigkeit der Lager. Legen Sie für die Welle einen E-Modul E = 210000\frac{N}{{m{m^2}}} sowie einen Durchmesser {d_w} = 40mm zugrunde. Überprüfen Sie auch die Schiefstellung an der Lagerstelle A.

3. Bestimmen Sie die Reibleistung, die in den beiden Wälzlagern verloren geht. Zum Einsatz soll eine Ölumlaufschmierung kommen. Wählen Sie hierzu ein geeignetes Schmieröl aus, unter der Annahme, dass die Betriebstemperatur \vartheta  = 50^\circ C beträgt.

Lösung

1. Auflagerreaktionen und nominelle Lebensdauer

Wir stellen als erstes die Gleichungen für das Kräftegleichgewicht auf:

lager-freischnitt

Damit können wir die dynamische äquivalente Lagerbelastung berechnen. Es wirken keine axialen Kräfte, daher entspricht die äquivalente Lagerbelastung der radialen Belastung. Diese setzt sich zusammen aus der Belastung in y- und z-Richtung:

{P_A} = {F_{Ar}} = \sqrt {F_{Ay}^2+F_{Az}^2}  = 12kN

{P_B} = {F_{Br}} = \sqrt {F_{By}^2+F_{Bz}^2}  = 4,3kN

Wir berechnen nun die nominelle Lebensdauer. Der Typ des Lagers ist in der Aufgabenstellung gegeben:

Lager A: NU208-E-TVP2

Tabellenwert für die dynamische Tragzahl: {C_r} = 63kN

Daraus berechnen wir die Lebensdauer des Lagers:

{L_{h,A}} = \frac{{{{10}^6}}}{{60 \cdot  n}}{\left( {\frac{{{C_r}}}{{{P_A}}}} \right)^p} = \frac{{{{10}^6}}}{{60 \cdot  500\frac{1}{{\min }}}}{\left( {\frac{{63kN}}{{12kN}}} \right)^{\frac{{10}}{3}}} = 8383h

Lager B: RKL: 6207

{C_r} = 25,5kN

{L_{h,B}} = \frac{{{{10}^6}}}{{60 \cdot  500}}{\left( {\frac{{25,5}}{{4,3}}} \right)^3} = 6952h

2. Durchsenkung der Welle, Schiefstellung an Lagerstelle A

Um die Rechnung zu vereinfachen, treffen wir zunächst die Annahme: Lager sind steif. Für die Durchsenkung eines Trägers durch eine Querkraft gilt:

f = \frac{{{F_{res}} \cdot  {a^2}\left( {b+a} \right)}}{{3 \cdot  E \cdot  I}}

Die resultierende Kraft ist dabei aus der radialen und der Umfangskraft zusammengesetzt:

{F_{res}} = \sqrt {F_r^2+F_t^2}  = 7,6kN

Die Abmessungen und der E-Modul sind gegeben, wir müssen also nur noch das Flächenträgheitsmoment berechnen. Für einen kreisförmigen Querschnitt gilt:

I = \frac{{\pi d_w^4}}{{64}} = \frac{{\pi {{\left( {40mm} \right)}^4}}}{{64}} = 125664m{m^4}

Dies setzen wir in die Gleichung für die Durchsenkung ein:

f = \frac{{{F_{res}} \cdot  {a^2}\left( {b+a} \right)}}{{3 \cdot  E \cdot  I}} = \frac{{7,6 \cdot  {{10}^3}N{{\left( {40mm} \right)}^2} \cdot  \left( {70+40} \right)mm}}{{3 \cdot  210000\frac{N}{{m{m^2}}} \cdot  125664m{m^4}}}= 0,017mm = 17\mu m

Wir müssen nun noch die Federung der Lager berücksichtigen. Wälzlager haben eine progressive Federrate. Die Verlagerungswerte können mit Näherungsgleichungen ermittelt werden. Die Gleichungen gelten für Lager ohne Fluchtungsfehler in starrer Umgebung! Bei Axiallagern wird eine zentrisch wirkende Kraft angenommen! Die Formeln dazu befinden sich im Wälzlagerkatalog von Schäffler S.61-62.

Einfederung der Lager:

{\delta _r} = \frac{1}{{{c_S}}} \cdot  F_r^{0,84}+\frac{s}{2}

Dabei ist {\delta _r} die radiale Verlagerung zwischen Wellenachse und Bohrungsmitte, {c_S} die Steifigkeitskennzahl und s das radiale Betriebsspiel des eingebauten, unbelasteten Lagers.

Für die Steifigkeitskennzahl gilt:

{c_S} = {K_C} \cdot  {d^{0,65}}

Leider ist {K_C} nicht gegeben. In der Praxis muss dieser Wert abgeschätzt oder beim Hersteller erfragt werden. Hier eine Übersicht:

steifigkeitskennzahl-kc

Wir schätzen jetzt ab:

{K_C} = 12\quad  \Rightarrow \quad {c_S} = 12 \cdot  {\left( {40mm} \right)^{0,65}} = 132\frac{{{N^{0,84}}}}{{\mu m}}

Die Einheit {N^{0,84}} ist im Lagerkatalog so angegeben. Sie hat keine physikalische Bedeutung und muss einfach so hingenommen werden.

Betriebsspiel:

Das Betriebsspiel wird am eingebauten und betriebswarmen Lager ermittelt. Es ist das Maß, um das sich die Welle in radialer Richtung von einer Grenzstellung zur gegenüberliegenden verschieben lässt:

betriebsspiel-kugellager

Die Größe des Betriebsspiels hängt von den Betriebs- und Einbaubedingungen des Lagers ab. Ein größeres Betriebsspiel ist beispielsweise notwendig bei Wärmezufuhr über die Welle, bei Wellendurchbiegung und Fluchtungsfehler. Ein kleineres Betriebsspiel ist nur in Sonderfällen anzuwenden, z.B. bei Genauigkeitslagerungen. Das normale Betriebsspiel wird mit der Lagerluft CN, bei größeren Lagern überwiegend mit C3 erreicht, wenn die empfohlenen Wellen- und Gehäusetoleranzen eingehalten werden.

lagerluft-normalluft-feste-lager-warme

Formeln siehe Schäffler S.109/110

s = {s_r}-\Delta {s_p}-\Delta {s_T}

Dabei ist {s_r} die radiale Lagerluft in \mu m, \Delta {s_p} die passungsbedingte Minderung der radialen Lagerluft, \Delta {s_T} die temperaturbedingte Minderung der radialen Lagerluft.

Für die radiale Lagerluft gilt:

radiale-lagerluft

Unser Durchmesser 40mm ist genau auf der Grenze. Sicherheitshalber nehmen wir den kleineren Wert:

{s_r} = 25 \ldots 50\mu m

Passungsbedingte Minderung der radialen Lagerluft

Wir betrachten im Folgenden nur das Lager A. Da sich Lager B jedoch im gleichen Durchmesserbereich befindet, können wir das Ergebnis übernehmen.

Die radiale Lagerluft verringert sich passungsbedingt durch die Aufweitung des Innenrings und die Einschnürung des Außenrings:

\Delta {s_p} = \Delta d+\Delta D

Wir müssen erst einmal herausfinden, was für eine Passung hier verbaut ist. Dazu betrachten wir folgende Tabelle:

passung-welle-toleranz

Die Wellentoleranz hängt zunächst davon ab, ob die Belastung als Punktlast oder als Umfangslast ausgeprägt ist. In unserem Fall handelt es sich um eine Umfangslast für den Innenring. Bei Lager A ist ein Rollenlager verbaut, der Wellendurchmesser ist 40, also bis 60. Es handelt sich um eine normale Belastung, daher haben wir das Toleranzfeld k6.

Wir betrachten nun die folgende Tabelle:

passung-radiallager

Es wirkt eine Punktlast für den Außenring. Der Außenring ist leicht verschiebbar und das Gehäuse ist ungeteilt, wir haben also das Toleranzfeld H7.

Die Passung ist: k6/H7

Für diese Passung gilt:

ei = 2\mu m,\quad es = 18\mu m

EI = 0\mu m,\quad ES = 25\mu m

Aufweitung des Innenrings:

\Delta d \approx 0,9 \cdot  {U_d} \cdot  \frac{d}{F} \approx 0,8 \cdot  {U_d}

Dabei ist U das theoretische Übermaß der Passteile bei Festsitz.

d ist der Bohrungsdurchmesser des Innenrings. F ist der Laufbahndurchmesser des Innenrings.

Wir bestimmen das theoretische Übermaß der Welle.

Die folgende Tabelle liest man wie folgt:

erklarung-wellenabmass

Wir brauchen also den Wert, der im Kasten rechts in der Mitte steht.

tabelle-abmass-welle-toleranz

Für die Passung k6 ist dieser Wert {U_d} = 21\mu m. A: U = 21\mu m.

Einsetzen:

\Delta d \approx 0,8 \cdot  U = 16,8\mu m

Einschnürung des Außenrings:

\Delta D \approx 0,8 \cdot  \frac{{U \cdot  E}}{D} \approx 0,7 \cdot  {U_D}

Dabei ist E der Laufbahndurchmesser des Außenrings, D der Außendurchmesser des Außenrings und {U_D} das theoretische Übermaß der Welle. Wir verwenden wieder die einfachere Alternative und müssen noch {U_D} bestimmen. Analog zur Aufweitung des Innenrings gilt für die entsprechende Tabelle:

erklarung-gehauseabmass

Tabelle für Bohrungen:

tabelle-abmass-gehause-spiel-ubermass

Der Wert bei H7, Durchmesserbereich 30-50mm, rechts Mitte, ist 12. Der Wert ist nicht fett gedruckt, daher handelt es sich nicht um ein Übermaß, sondern um ein Spiel. Wir müssten also eigentlich mit -12 weiterrechnen. Da sich aber keine negative Einschnürung (=Ausweitung) des Außenringes ergibt, bloß weil er von außen nicht zusammengedrückt wird, ist das theoretische Übermaß hier 0. Damit ist auch \Delta D = 0.

Wir setzen die beiden Werte ein:

\Delta {s_p} = \Delta d+\Delta D = 16,8\mu m+0\mu m = 16,8\mu m

Temperaturbedingte Minderung der radialen Lagerluft

Die radiale Lagerluft ändert sich merklich durch ein größeres Temperaturgefälle zwischen dem Innen- und Außenring:

\Delta {s_T} = \alpha  \cdot  {d_m} \cdot  1000\left( {{\vartheta _{IR}}-{\vartheta _{AR}}} \right)

Dabei ist \alpha der Ausdehnungskoeffizient (bei Stahl: 11 \cdot  {10^{-6}}\frac{1}{K}), {d_M} der mittlere Lagerdurchmesser ({d_M} = \frac{{d+D}}{2}), {\vartheta _{IR}} die Temperatur des Innenrings und {\vartheta _{AR}} die Temperatur des Außenrings. Es ist kein Temperaturunterschied gegeben, allerdings gilt als Richtwert für die „übliche Temperaturdifferenz zwischen Innen- und Außenring“: \Delta \vartheta  = 5K.

\Delta {s_T} = \alpha  \cdot  {d_m} \cdot  1000\left( {{\vartheta _{IR}}-{\vartheta _{AR}}} \right)

\quad  = 11 \cdot  {10^{-6}}\frac{1}{K} \cdot  \left( {\frac{{40+80}}{2}} \right)mm \cdot  1000 \cdot  5K

\quad  = 3,3\mu m

s = 38\mu m-16,8\mu m-3,3\mu m = 17,9\mu m

Damit können wir die Einfederung der Lager berechnen

{\delta _r} = \frac{1}{{132\frac{{{N^{0,84}}}}{{\mu m}}}} \cdot  {\left( {12000N} \right)^{0,84}}+\frac{{17,9\mu m}}{2}

\quad  = 29,2\mu m

Schiefstellung an Lager A

{\alpha _A} = \frac{{{F_{res}} \cdot  a \cdot  b}}{{3 \cdot  E \cdot  I}} \cdot  \frac{{180^\circ }}{\pi } = 0,015^\circ

zulässig:

\alpha  \leq 4' = \frac{{4' \cdot  \pi }}{{180}} = 0,066^\circ

Der Wert 4' ist im Schaeffler-Katalog angegeben.

Damit ist die Schiefstellung in Ordnung.

biegelinie-lagernachgiebigkeit

3. Reibleistung

Formeln finden sich im Schäffler S64. Für die Reibleistung gilt:

{N_R} = {M_R}\frac{n}{{9550}}

Dabei ist n die Betriebsdrehzahl in {\min ^{-1}}. {M_R} ist das Gesamtreibungsmoment. Es setzt sich zusammen aus dem Drehzahlabhängigen Reibungsmoment und dem Lastabhängigen Reibungsmoment:

{M_r} = {M_0}+{M_1}

Drehzahlabhängiges Reibungsmoment:

\begin{array}{*{20}{c}}    {\nu  \cdot  n \geq 2000\quad  \Rightarrow \quad } & {{M_0} = {f_0} \cdot  {{\left( {\nu  \cdot  n} \right)}^{\frac{2} {3}}} \cdot  d_M^3 \cdot  {{10}^{-7}}}  \\    {\nu  \cdot  n < 2000\quad  \Rightarrow \quad } & {{M_0} = {f_0} \cdot  160 \cdot  d_M^3 \cdot  {{10}^{-7}}}  \\  \end{array}

In unserem Fall ist (Laut ISO-Angabe) die kinematische Viskosität des Schmierstoffes \nu  = 60. Die Drehzahl ist gegeben als n = 500{\min ^{-1}}\quad  \Rightarrow \quad \nu  \cdot n = 30000.

{f_0} ist der Lagerbeiwert für drehzahlabhängige Reibungsmomente.

Lastabhängiges Reibungsmoment:

{M_1} = {f_1} \cdot  F \cdot  {d_M}

{f_1} ist der Lagerbeiwert für lastabhängige Reibungsmomente.

Tabelle für die beiden Lagerbeiwerte:

lagerbeiwerte-f0-f1-lastabhangig-drehzahl

Lager A

Es handelt sich um ein Zylinderrollenlager mit Käfig. Die beiden benötigten Faktoren sind:

{f_0} = 2,\quad {f_1} = 0,0003

{M_{0A}} = {f_{0A}}{\left( {\nu  \cdot  n} \right)^{\frac{2}{3}}} \cdot  d_{MA}^3 \cdot  {10^{-7}} = 2 \cdot  {\left( {30000} \right)^{\frac{2}{3}}} \cdot  {60^3} \cdot  {10^{-7}} = 42Nmm

{M_{1A}} = {f_1} \cdot  P_A \cdot  {d_m} = 0,0003 \cdot  12kN \cdot  60mm = 216Nmm

{M_{RA}} = 42Nmm+216Nmm = 258nmm

{N_{RA}} = 13,5W

Lager B

Wir berechnen analog zu Lager A:

{M_{RB}} = 140Nmm

{N_{RB}} = 7,3W

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7 Kommentare zu “23 – Durchbiegung, Reibung und Erwärmung”

M_1A=f_1*P_A*d_M=0,0003*12 kN*60 mm=216 Nmm

Danke, wurde korrigiert.

Der Wert bei H7, Durchmesserbereich 30-50mm, rechts Mitte, ist nicht 11, sondern 12. Schönen Abend noch

    \[K_C = 12\]

, nicht

    \[K_S = 12\]

. Und wie kommt man auf 12?
Ansonsten Top!

@Name (2):
Stimmt, habs geändert. Aber mit dem Wert wurde ja eh nicht weitergerechnet.

@Student:
Dazu wurde nur gesagt, dass die Tabelle als Anhaltspunkt dient, den richtigen Wert muss man vom Hersteller erfragen. Die Übungsleiterin wusste ihn anscheinend, oder hat ihn abgeschätzt. In der Klausur wäre ein solcher Wert gegeben.

Update: Tabelle “radiale Lagerluft” verschoben

Hallo,
beschäftige mich gerade mit der Nachgiebigkeit von Wälzlagern, die etwas genauere Erklärung als die von INA ist sehr hilfreich, zwei Fragen:

Δs_T: warum Ergebnis in μm? -> laut Gleichung mm

Einschnürung des Außenrings: Warum wird nicht der Bohrungsdurchmesser Gehäuse verwendet (80mm)?
-> damit wäre das Spiel 14, statt 12 (auch wenn es am Ergebnis nichts ändert)

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