16 – Durchsteckschrauben an einer Scheibenkupplung

Die Schraubenverbindung einer Scheibenkupplung ist zu bemessen. Es soll ein maximales Drehmoment $M_t=13000Nm$ mit einer Sicherheit gegen Rutschen $S_R=1,5$ kraftschlüssig übertragen werden. Beide Kupplungshälften bestehen aus Grauguss EN-GJL-200 und sind mit 12 Sechskantschrauben DIN EN 24014 M16×80 – 10.9 versehen. Als Haftreibungszahl der Werkstoffpaarung GG/GG wird $\mu_0=0,15$ angenommen. Die zulässige Flächenpressung unter dem Schraubenkopf darf $p_{zul}=750 \frac{N}{mm^2}$ nicht überschreiten.

Durchsteckschrauben an einer Scheibenkupplung

Gegeben:

Durchmesser der Kopfauflagefläche: $d_k=24mm$
Durchmesser der Schraubenbohrung: $d_b=17mm$

Es sind zu ermitteln:

Die maximale Umfangskraft je Schraube
Die erforderliche Klemmkraft je Schraube
Die Vorspannkraft bei 90%-iger Ausnutzung der Schraubenstreckgrenze (Reibungszahl im Gewinde: $\mu_G=0,13$ )
Das erforderliche Anzugsmoment je Schraube (Reibungszahl unter der Kopfauflage: $\mu_A=0,2$ )
Die Flächenpressung unter dem Schraubenkopf

Lösung

16.1 – Die maximale Umfangskraft (Querkraft) je Schraube

${F_Q} = \frac{{{M_t}}} {{\frac{D} {2}}}$

M_t: Dreh-/Torsionsmoment
D: Lochkreisdurchmesser

Damit folgt für die maximale Umfangskraft:

${F_Q} = \frac{{{M_t}}} {{\frac{D} {2}}} = \frac{{2 \cdot 13000 \cdot {{10}^3}Nmm}} {{258mm}} = 100755N = 100,8kN$

Und somit für die maximale Umfangskraft je Schraube:

${F_{QS}} = \frac{{{F_Q}}} {z} = \frac{{100,8kN}} {{12}} = 8,4kN$

16.2 – Die erforderliche Klemmkraft je Schraube

${F_{Kl}} = \frac{{{F_{QS}}}} {{{\mu _0}}}$

F_Kl: Klemmkraft je Schraube
F_QS: Querkraft je Schraube
µ₀: Haftreibungszahl

${F_{Kl}} = \frac{{{F_{QS}}}} {{{\mu _0}}} = \frac{{8,4kN}} {{0,15}} = 56kN\quad \Rightarrow \quad Reibschluss$

Für die Erforderliche Vorspannkraft gilt:

${F_{V,erf}} = {F_{Kl}} \cdot {S_R}$

F_V,erf: erforderliche Vorspannkraft
F_Kl: Klemmkraft je Schraube
S_R: Sicherheit gegen Rutschen

${F_{V,erf}} = {F_{Kl}} \cdot {S_R} = 56kN \cdot 1,5kN = 84kN$

16.3 – Die Vorspannkraft bei 90%-iger Ausnutzung der Schraubenstreckgrenze

Versagenskriterium: Gewaltbruch der Schraube beim Anziehen

Es handelt sich hierbei um einen 2-achsigen Spannungszustand, bestehend aus:
1. Zug $\Rightarrow$ Vorspannung
2. Torsion $\Rightarrow$ Gewindereibung

Aus der Gestaltänderungsenergiehypothese folgt für die Vergleichsspannung:

${\sigma _{V,GEH}} = \sqrt {{\sigma ^2}+3{\tau ^2}}$

Bei 90%-iger Ausnutzung der Schraubenstreckgrenze erhält man als zulässige Spannung:

${\sigma _{zul}} = 0,9 \cdot {R_e}$

Die Nennspannungen werden dabei auf den Spannungsquerschnitt bezogen!

Damit die Schrauben nicht überlastet werden muss nun gelten:

${\sigma _{V,GEH}} \leq {\sigma _{zul}}$

1. Zug: ${\sigma _z} = \frac{{{F_{V,zul}}}} {{{A_s}}} = \frac{{4 \cdot {F_{V,zul}}}} {{\pi \cdot d_s^2}}$

2. Torsion: ${\tau _t} = \frac{{{M_G}}} {{{W_{t\left( s \right)}}}} = \frac{{Torsionsmoment\:\left( {Gewinde} \right)}} {{Torsionswiderstandsmoment}}$ mit:
${M_G} = F \cdot \frac{{{d_2}}} {2} \cdot \tan \left( {\alpha +{\delta ^\prime }} \right)$
${W_{t\left( s \right)}} = \frac{{\pi \cdot {d_s}^3}} {{16}}$

${\tau _t} = \frac{{{M_G}}} {{{W_{t\left( s \right)}}}} = \frac{{8 \cdot {F_{V,zul}} \cdot {d_2} \cdot \tan \left( {\alpha +{\delta ^\prime }} \right)}} {{\pi \cdot {d_s}^3}}$

Eingesetzt folgt:

${\sigma _{V,GEH}} \leq {\sigma _{zul}}$

$\Rightarrow \quad \sqrt {{\sigma ^2}+3{\tau ^2}} \leq 0,9 \cdot {R_e}$

$\Rightarrow \quad \sqrt {{{\left( {\frac{{4 \cdot {F_{V,zul}}}} {{\pi \cdot d_s^2}}} \right)}^2}+3{{\left( {\frac{{8 \cdot {F_{V,zul}} \cdot {d_2} \cdot \tan \left( {\alpha +{\delta ^\prime }} \right)}} {{\pi \cdot {d_s}^3}}} \right)}^2}} \leq 0,9 \cdot {R_e}$

$\Rightarrow \quad \frac{{4 \cdot {F_{V,zul}}}} {{\pi \cdot d_s^2}} \cdot \sqrt {1+3{{\left( {\frac{{2 \cdot {d_2} \cdot \tan \left( {\alpha +{\delta ^\prime }} \right)}} {{{d_s}}}} \right)}^2}} \leq 0,9 \cdot {R_e}$

$\Rightarrow \quad {F_{V,zul}} = \frac{{0,9 \cdot {R_e} \cdot \pi \cdot d_s^2}} {4} \cdot {\left[ {1+3{{\left( {\frac{{2 \cdot {d_2} \cdot \tan \left( {\alpha +{\delta ^\prime }} \right)}} {{{d_s}}}} \right)}^2}} \right]^{-\frac{1} {2}}}$

Hier ist eine Tabelle mit Werten zu verschiedenen Schrauben:

Tabelle Schraubendaten

benötigte Daten der Schraube M16:

Flankendurchmesser: ${d_2} = 14,701mm$

Kerndurchmesser: ${d_3} = 13,546mm$

Spannungsdurchmesser: ${d_s} = \frac{{{d_2}+{d_3}}} {2} = 14,123mm$

Steigungswinkel: $\alpha = 2,48^\circ$

Effektiver Reibwinkel: ${\rho ^\prime } = \arctan \frac{{{\mu _G}}} {{\cos \left( {\frac{\beta } {2}} \right)}} = 8,54^\circ$

Flankenwinkel: $\beta = 60^\circ$

Streckgrenze: ${R_e} = 0,9 \cdot 10\frac{N} {{m{m^2}}} \cdot 100 = 900\frac{N} {{m{m^2}}}$

Die Streckgrenze folgt aus der Festigkeitsklasse 10,9 der Schraube. Die 10 steht für 1/100 der Mindestzugfestigkeit, die 9 für das 10-fache des Quotienten aus Streckgrenze und Mindestzugfestigkeit.

Es folgt:

${F_{V,zul}} = \frac{{0,9 \cdot 900\frac{N} {{m{m^2}}} \cdot \pi \cdot {{\left( {14,123mm} \right)}^2}}} {4} \cdot {\left[ {1+3{{\left( {2 \cdot \frac{{14,701}} {{14,123}}\tan \left( {2,48^\circ +8,54^\circ } \right)} \right)}^2}} \right]^{-\frac{1} {2}}}$

${F_{V,zul}} = 104kN > {F_{V,erf}}\quad \Rightarrow \quad i.O.$

16.4-Erforderliches Anzugsmoment

${M_A} = {M_G}+{M_{RA}}$

${M_A} = \frac{1} {2}{F_V}\left[ {{d_2}\tan \left( {\alpha +{\rho ^\prime }} \right)+{\mu _A}{d_A}} \right],\quad {d_A} \approx 1,4 \cdot {d_2} = 20,6mm$

${M_{A,erf}} = \frac{1} {2}{F_{V,erf}}\left[ {{d_2}\tan \left( {\alpha +{\rho ^\prime }} \right)+{\mu _A}{d_A}} \right] = 293Nm$

${M_{A,zul}} = \frac{1} {2}{F_{V,zul}}\left[ {{d_2}\tan \left( {\alpha +{\rho ^\prime }} \right)+{\mu _A}{d_A}} \right] = 363Nm$

16.5-Flächenpressung unter Schraubenkopf

$p = \frac{{{F_{V,zul}}}} {A},\quad A = \frac{\pi } {4}\left( {d_k^2-d_B^2} \right) = 225m{m^2}$

$p = \frac{{104kN}} {{225m{m^2}}} = 462\frac{N} {{m{m^2}}} < {p_{zul}}\quad \Rightarrow \quad i.O.$

10 Kommentare zu “16 – Durchsteckschrauben an einer Scheibenkupplung”

M.K.

30. 01. 10 at 12:54 am

Danke!!

Korrektur

02. 03. 10 at 9:36 pm

Effektiver Reibwinkel: nicht 8,54 sondern 9,83

Korrektur

02. 03. 10 at 9:39 pm

vorherigen Kommentar vergessen: zweiten Reibungswert zu spät gesehen, sorry

andreas

21. 03. 10 at 6:34 pm

woher hab ich die 10N/mm² aus dem kästchen?

ups

21. 03. 10 at 6:35 pm

oh bin ich dumm ^^ habs gecheckt

admin

21. 03. 10 at 8:42 pm

Wenn sich hier doch nur alle Fragen von selbst beantworten würden^^

“fleißige Lerner”

27. 03. 10 at 9:45 pm

Als Hinweis für die Anzugsdrehmomente: Den Durchmesser der Kopfauflagefläche mit d_k / d_A = 1.4*d_2 anzunähern ist Quatsch!
Die Kopfauflagefläche ist explizit in der Aufgabe mit d_k = 24 mm gegeben!!!
(und ich rechne doch nicht mit einem Richtwert, wenn ich den exakten kenne
=> M_A,erf = 322 Nm und M_A = 594 Nm

Grüße

“fleißige Lerner”

27. 03. 10 at 10:37 pm

öhm, vergesst was ich oben geschrieben hab… Ich glaube, dass ich das in einem Zustand der total Verwirrung geschrieben hab, in dem ich anscheinend dachte dass: “Durchmesser der Kopfauflagefläche” (siehe Bezeichnung Aufgabe) d_k = “Durchmesser der Kopfauflagefläche” (siehe Bezeichnung Formelsammlung Institut) d_A ist. Das macht näturlich keinen Sinn, insofern einfach vergessen…

Grüße

admin

27. 03. 10 at 10:47 pm

Ja das ist tatsächlich etwas verwirrend… zumal bei der Berechnung der Flächenpressung dann der echte Durchmesser der Kopfauflagefläche benutzt wurde… manche Dinge muss man wohl nicht verstehen.

Manipulation

23. 04. 11 at 7:49 am

Wirklich ein guter Kommentar. Ich werde me-lrt.de häufiger besuchen

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