0.1 – Vorwort: Dynamische Systeme und Systemmodelle

 

Es folgen in diesem und den anderen 0.x Kapiteln ein paar Definitionen und Erläuterungen, die in den restlichen Kapiteln als bekannt vorausgesetzt werden.

0.1.1 Der Systembegriff

Ein System ist ein Teil der Realität, der sinnvollerweise als separate Einheit betrachtet werden kann. Seine wichtigsten Zustandsgrößen sind in der Regel zeitlich veränderlich und werden deshalb als Funktionen der Zeit dargestellt. Die Kopplungen zwischen dem System und seiner Systemumgebung lassen sich unterteilen in Eingangs- und Ausgangsgrößen:

system-aufbau-eingang-ausgang-signal

Die Eingangsgrößen {u_i}\left( t \right) wirken auf das System ein und verursachen die zeitlichen Veränderungen innerhalb des Systems. Die Ausgangsgrößen {y_i}\left( t \right) werden vom System generiert und beeinflussen ihrerseits die Systemumgebung. Ihre zeitliche Änderung beschreibt das Verhalten des Systems als Reaktion auf die Eingangsgrößen.

0.1.2 Statische und dynamische Systeme, Zustand eines Systems

Systeme, deren Ausgangsgrößen zu jedem Zeitpunkt lediglich vom Augenblickwert der Eingangsgrößen abhängen, heißen statische Systeme. Systeme, deren Ausgangsgrößen auch von den früheren Werten der Eingangsgrößen abhängen, heißen dynamische Systeme.

Allgemein heißen Größen {x_1}, \ldots ,{x_n} Zustandsgrößen eines dynamischen Systems, wenn ihre Werte {x_1}\left( {{t_0}} \right), \ldots ,{x_n}\left( {{t_0}} \right) zum Zeitpunkt {t_0} zusammen mit dem Verlauf der Eingangsgrößen {u_1}\left( \tau \right), \ldots ,{u_p}\left( \tau \right) für das Zeitintervall {t_0} \leq \tau \leq t die Ausgangsgrößen {y_1}\left( t \right), \ldots ,{y_q}\left( t \right) eindeutig festlegen. Häufig fasst man die Zustandsgrößen zu einem Vektor \vec x zusammen und spricht dann vom Zustandsvektor oder kurz Zustand des Systems.

0.1.3 Beispiel Reihenschwingkreis

Bei folgendem elektrischen Kreis soll als Eingangsgröße die Spannung der Spannungsquelle und als Ausgangsgröße die Spannung am Widerstand angesehen werden:

schwingkreis-spule-widerstand-kondensator-induktivitat-kapazitat

Bauelementegleichungen für {t_0} = 0 (Ohmsches Gesetz, selbstinduzierte Spannung):

{U_R}\left( t \right) = R{I_R}\left( t \right)

{U_L}\left( t \right) = L{\dot I_L}\left( t \right)

{U_C}\left( t \right) = {U_C}\left( {{t_0}} \right)+\frac{1}{C}\int_0^t {{I_C}\left( \tau \right)d\tau }

Kopplungsgleichungen (Knoten- und Maschenregel):

{I_L}\left( t \right) = {I_R}\left( t \right) = {I_C}\left( t \right) \equiv I\left( t \right)

U\left( t \right) = {U_L}\left( t \right)+{U_R}\left( t \right)+{U_C}\left( t \right)

Da es zwei Speicher im System gibt (Spule und Kondensator), brauchen wir zwei Zustandsgrößen, um das System vollständig zu beschreiben. Diese Zahl nennt man die Ordnung des Systems. Wir wählen den Strom {I_L}\left( t \right) durch die Spule und die Spannung {U_C}\left( t \right) am Kondensator. Die Gleichungen für die zeitliche Änderung der Zustandsgrößen lauten:

{{\dot U}_C}\left( t \right) = \frac{1}{C}I\left( t \right)

\dot I\left( t \right) = \frac{1}{L}{U_L}\left( t \right) = -\frac{1}{L}{U_C}\left( t \right)-\frac{R}{L}I\left( t \right)+\frac{1}{L}U\left( t \right)

Wir fassen die Zustandsgrößen als Zustandsvektor zusammen

\vec x\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{U_C}\left( t \right)} \\{I\left( t \right)} \\ \end{array} } \right)

und können nun die beiden Differentialgleichungen übersichtlich in Matrixschreibweise darstellen:

\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\dot U}_C}\left( t \right)} \\{\dot I\left( t \right)} \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 & {\frac{1}{C}} \\{-\frac{1}{L}} & {-\frac{R}{L}} \\ \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{U_C}\left( t \right)} \\{I\left( t \right)} \\ \end{array} } \right)+\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\{\frac{1}{L}} \\ \end{array} } \right)U\left( t \right)

Die sogenannte Ausgangsgleichung, die es erlaubt, aus den Zustandsgrößen die (in diesem Fall skalare) Ausgangsgröße y\left( t \right) = {U_R}\left( t \right) zu berechnen, lautet:

y\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 & R \\ \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{U_C}\left( t \right)} \\{I\left( t \right)} \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 & R \\\end{array} } \right) \cdot \vec x\left( t \right)

Die Zustandsdifferentialgleichung zusammen mit der Ausgabegleichung ergibt die Zustandsraumdarstellung des dynamischen Systems.