.08.1 – Eigenfrequenzen und Eigenformen beim Balken

Berechnen Sie die ersten drei Eigenfrequenzen und die dazugehörenden Eigenformen des transversal schwingenden, einseitig eingespannten Balkens mit kreisförmigem Querschnitt.

schwingender Balken Aufgabenstellung

Gegeben:

$ E = 206000\frac{N} {{mm^2 }} $

$ \rho = 7850\frac{{kg}} {{m^3 }} $

r = 20mm

L = 1m

Lösung

Die einzelnen Schritte zum Herleiten der DGL sind in diesem Artikel genau erläutert. Hier nur eine kurze Zusammenfassung:

Schritt 1: Freischneiden am differentiellen Element

Schritt 2: Schwerpunktsatz in z-Richtung aufstellen und linearisieren, Größen zweiter Ordnung vernachlässigen

Schritt 3: Drallsatz in negativer y-Richtung aufstellen und vereinfachen (ds = dx), Größen zweiter Ordnung vernachlässigen

Schritt 4: resultierende allgemeine DGL der Balkenschwingung aufstellen

Ergebnis:

$ \underbrace {- \left( {EI_y w^{^{\prime\prime}} } \right)^{^{\prime\prime}} }_{\left( 1 \right)}+\underbrace {\left( {\rho I_y \ddot w ^{\prime}} \right) ^{\prime}}_{\left( 2 \right)}+\underbrace {\left( {Nw ^{\prime}} \right) ^{\prime}}_{\left( 3 \right)}+\underbrace {q_z }_{\left( 4 \right)} = \rho A\ddot w $

Bedeutung der Elemente:
1: Biegung, elastische Eigenschaften
2: rotatorische Trägheit
3. Normalkraft
4. eingeprägte Querkraft

Schritt 5: vereinfachende Behandlung der Balkenschwingung:

a) N = 0, frei von Normalkräften
b) rotatorische Trägheit vernachlässigen

Es ergibt sich:

$ -\left( {EI_y w^{^{\prime\prime}} } \right)^{^{\prime\prime}} +q_z = \rho A\ddot w $

Bei einer freien Schwingung ist q_z = 0 und EI_y = const, daraus ergibt sich:

$ -EI_y w^{^{\prime\prime\prime\prime}} = \rho A\ddot w $

Lösung der Differentialgleichung

Um die Differentialgleichung zu lösen, nutzt man den Produktansatz von Bernoulli:

$ w\left( {x,t} \right) = \hat w\left( x \right)T\left( t \right) $

$ w^{^{\prime\prime\prime\prime}} = \hat w^{^{\prime\prime\prime\prime}} T $

$ \ddot w = \hat w\ddot T $

Separation der Variablen:

$ -\frac{{EI_y }} {{\rho A}}\frac{{\hat w^{^{\prime\prime\prime\prime}} }} {{\hat w}} = \frac{{\ddot T}} {T} = const = -\omega _j^2 $

Schlussweise von Bernoulli:

Differentialgleichung vierter Ordnung nach dem Ort:

$ \hat w^{^{\prime\prime\prime\prime}} +\left( {\frac{{\lambda _j }} {L}} \right)^4 \hat w = 0,\quad \quad \quad \lambda _j^4 = \frac{{\rho A}} {{EI_y }}\omega _j^2 L^4 $

Differentialgleichung zweiter Ordnung nach der Zeit:

$ \ddot T+\omega _j^2 T = 0 $

Lösungsansatz:

$ \hat w\left( x \right) = c \cdot e^{\beta x} $

In die DGL einsetzen ergibt:

$ \beta ^4 -\left( {\frac{{\lambda _j }} {L}} \right)^4 = 0 $

Daraus folgt nach der Eulerformel:

$ \hat w\left( {x,t} \right) = C_{1j} \cos \left( {\lambda _j \frac{x} {L}} \right)+C_{2j} \sin \left( {\lambda _j \frac{x} {L}} \right)+C_{3j} \cosh \left( {\lambda _j \frac{x} {L}} \right)+C_{4j} \sinh \left( {\lambda _j \frac{x} {L}} \right) $

In die Formel für die Gesamtauslenkung eingesetzt ergibt sich damit:

$ w\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty {\left[ {C_{1j} \cos \left( {\lambda _j \frac{x} {L}} \right)+C_{2j} \sin \left( {\lambda _j \frac{x} {L}} \right)+C_{3j} \cosh \left( {\lambda _j \frac{x} {L}} \right)+C_{4j} \sinh \left( {\lambda _j \frac{x} {L}} \right)} \right]\left[ {A_j \cos \left( {\omega _j t} \right)+B_j \sin \left( {\omega _j t} \right)} \right]} $

Die Eigenformen ergeben sich aus den Randbedingungen:

$ w\left( {0,t} \right) = 0 $

$ \alpha = w ^{\prime}\left( {0,t} \right) = 0 $

$ M\left( {L,t} \right) = -EI_y w^{^{\prime\prime}} \left( {L,t} \right) = 0 $

$ Q\left( {L,t} \right) = -EI_y w^{^{\prime\prime\prime}} \left( {L,t} \right) = 0 $

Die benötigten Ableitungen:

$ \hat w ^{\prime}\left( {x,t} \right) = \left( {\frac{{\lambda _j }} {L}} \right)\left[ {-C_{1j} \sin \left( {\lambda _j \frac{x} {L}} \right)+C_{2j} \cos \left( {\lambda _j \frac{x} {L}} \right)+C_{3j} \sinh \left( {\lambda _j \frac{x} {L}} \right)+C_{4j} \cosh \left( {\lambda _j \frac{x} {L}} \right)} \right] $

$ \hat w^{^{\prime\prime}} \left( {x,t} \right) = \left( {\frac{{\lambda _j }} {L}} \right)^2 \left[ {-C_{1j} \cos \left( {\lambda _j \frac{x} {L}} \right)-C_{2j} \sin \left( {\lambda _j \frac{x} {L}} \right)+C_{3j} \cosh \left( {\lambda _j \frac{x} {L}} \right)+C_{4j} \sinh \left( {\lambda _j \frac{x} {L}} \right)} \right] $

$ \hat w^{^{\prime\prime\prime}} \left( {x,t} \right) = \left( {\frac{{\lambda _j }} {L}} \right)^3 \left[ {C_{1j} \sin \left( {\lambda _j \frac{x} {L}} \right)-C_{2j} \cos \left( {\lambda _j \frac{x} {L}} \right)+C_{3j} \sinh \left( {\lambda _j \frac{x} {L}} \right)+C_{4j} \cosh \left( {\lambda _j \frac{x} {L}} \right)} \right] $

Aus den Randbedingungen folgt:

$ w\left( {0,t} \right) = 0 = \sum\limits_{j = 1}^\infty {T_j \left[ {C_{2j} +C_{4j} } \right]} \quad \quad \Rightarrow \quad \quad C_{1j} = -C_{3j} $

$ w ^{\prime}\left( {0,t} \right) = 0 = \sum\limits_{j = 1}^\infty {T_j \left( {\frac{{\lambda _j }} {L}} \right)\left[ {C_{2j} +C_{4j} } \right]} \quad \quad \Rightarrow \quad \quad C_{2j} = -C_{4j} $

$ w^{^{\prime\prime}} \left( {L,t} \right) = 0 = \sum\limits_{j = 1}^\infty {T_j \left( {\frac{{\lambda _j }} {L}} \right)^2 \left[ {-C_{1j} \left( {\cosh \left( {\lambda _j } \right)+\cos \left( {\lambda _j } \right)} \right)-C_{2j} \left( {\sinh \left( {\lambda _j } \right)+\sin \left( {\lambda _j } \right)} \right)} \right]} $

$ w^{^{\prime\prime\prime}} \left( {L,t} \right) = 0 = \sum\limits_{j = 1}^\infty {T_j \left( {\frac{{\lambda _j }} {L}} \right)^3 \left[ {-C_{1j} \left( {-\sinh \left( {\lambda _j } \right)+\sin \left( {\lambda _j } \right)} \right)-C_{2j} \left( {\cosh \left( {\lambda _j } \right)+\cos \left( {\lambda _j } \right)} \right)} \right]} $

In Matrixschreibweise ergibt sich:

$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} -\left[ {\cosh \left( {\lambda _j } \right)+\cos \left( {\lambda _j } \right)} \right] & {-\left[ {\sinh \left( {\lambda _j } \right)+\sin \left( {\lambda _j } \right)} \right]} \\ {-\sinh \left( {\lambda _j } \right)+\sin \left( {\lambda _j } \right)} & {-\left[ {\cosh \left( {\lambda _j } \right)+\cos \left( {\lambda _j } \right)} \right]} \\ \end{array} } \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} C_{1j} \\ {C_{2j} } \\ \end{array} } \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 0 \\ \end{array} } \right\} $

triviale Lösung:

$ C_{1j} = C_{2j} = 0 $

nicht-triviale Lösung:

$ \left[ {\cosh \left( {\lambda _j } \right)+\cos \left( {\lambda _j } \right)} \right]^2 +\sin ^2 \left( {\lambda _j } \right)-\sinh ^2 \left( {\lambda _j } \right) = 0 $

$ \cos \left( {\lambda _j } \right)\cosh \left( {\lambda _j } \right)+1 = 0 $

Daraus folgen die Wellenzahlen:

$ \lambda _1 = 1,875 $

$ \lambda _2 = 4,694 $

$ \lambda _3 = 7,855 $

Daraus folgen die Eigenfrequenzen:

$ \omega _j^2 = \frac{{\lambda _j^4 }} {{L^4 }}\frac{{EI_y }} {{\rho A}} $

$ f_j = \frac{{\omega _j }} {{2\pi }} $

Die Eigenfrequenzen sind also:

f_1 = 28,7Hz

f_2 = 180Hz

f_3 = 503Hz

Die Eigenformen sind:

$ C_{2j} = C_{1j} \frac{{\sin \left( {\lambda _j } \right)-\sinh \left( {\lambda _j } \right)}} {{\cos \left( {\lambda _j } \right)+\cosh \left( {\lambda _j } \right)}} $

Für die Schwingungsgleichung ergibt sich:

$ w\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty {T_j \left( t \right)C_{1j} \left\{ {\cos \left( {\lambda _j \frac{x} {L}} \right)-\cosh \left( {\lambda _j \frac{x} {L}} \right)+\underbrace {\frac{{\sin \left( {\lambda _j } \right)-\sinh \left( {\lambda _j } \right)}} {{\cos \left( {\lambda _j } \right)+\cosh \left( {\lambda _j } \right)}}}_{\alpha _j }\left[ {\sin \left( {\lambda _j \frac{x} {L}} \right)-\sinh \left( {\lambda _j \frac{x} {L}} \right)} \right]} \right\}} $

$ w\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty {T_j^* \left\{ {\cos \left( {\lambda _j \frac{x} {L}} \right)-\cosh \left( {\lambda _j \frac{x} {L}} \right)+\alpha _j \left[ {\sin \left( {\lambda _j \frac{x} {L}} \right)-\sinh \left( {\lambda _j \frac{x} {L}} \right)} \right]} \right\}} $

Die ersten drei Werte für α_j sind:

$ \alpha _1 = -0,734 $

$ \alpha _2 = -1,018 $

$ \alpha _3 = -0,999 $

Eingesetzt ergeben sich die Eigenfunktionen:

$ \hat w_1 \left( x \right) = \cos \left( {\lambda _j \frac{x} {L}} \right)-\cosh \left( {\lambda _j \frac{x} {L}} \right)-0,734\left[ {\sin \left( {\lambda _j \frac{x} {L}} \right)-\sinh \left( {\lambda _j \frac{x} {L}} \right)} \right] $

$ \hat w_2 \left( x \right) = \cos \left( {\lambda _j \frac{x} {L}} \right)-\cosh \left( {\lambda _j \frac{x} {L}} \right)-1,018\left[ {\sin \left( {\lambda _j \frac{x} {L}} \right)-\sinh \left( {\lambda _j \frac{x} {L}} \right)} \right] $

$ \hat w_3 \left( x \right) = \cos \left( {\lambda _j \frac{x} {L}} \right)-\cosh \left( {\lambda _j \frac{x} {L}} \right)-0,999\left[ {\sin \left( {\lambda _j \frac{x} {L}} \right)-\sinh \left( {\lambda _j \frac{x} {L}} \right)} \right] $

Mathematical Engineering

.08.1 – Eigenfrequenzen und Eigenformen beim Balken

Lösung

Lösung der Differentialgleichung

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