2.2 – Einfach- und Doppelschichtpotential

 

Wir wollen uns nun mit Integraloperatoren für die Randelementmethode beschäftigen. Die Randelementmethode (BEM) ist neben der Finite Differenzen Methode (FDM), der Finite Volumen Methode (FVM) und der Finite Elemente Methode (FEM) ein beliebtes Diskretisierungsverfahren für partielle Differentialgleichungen.

Während bei FDM, FVM und FEM das ganze zu betrachtende Gebiet diskretisiert wird, wird bei der BEM nur der Rand betrachtet. Je nach Komplexität des Gebietes kann dies zu erheblichen Zeitersparnissen führen, da dadurch die Verwaltung des Netzes einfacher wird. Ein entscheidender Vorteil der BEM ist auch, dass auch Außenraumprobleme (z.B. Schallausbreitung außerhalb eines Flugzeuges), bei denen partielle Differentialgleichungen in unbeschränkten Gebieten behandelt werden, behandelt werden können.

Ein Nachteil der BEM ist unter anderem, dass von einem Problem die Fundamentallösung bekannt sein muss.

Wie schon in Kapitel 2.1 ergibt sich, dass die Lösung des Laplace-Problems eindeutig durch die Cauchy-Daten (u,{\partial _n}u) auf dem Rand dargestellt werden kann:

u\left( y \right) = -\frac{1}{{2\pi }}\int\limits_\Gamma {{\partial _n}u\left( x \right)\log \left| {x-y} \right|-u\left( x \right){\partial _n}\log \left| {x-y} \right|\:dS\left( x \right)}

Diese Darstellung setzt sich aus zwei Teilen zusammen. Für diese Teile definieren wir nun jeweils einen Integraloperator.

Sei \Gamma \in {C^\infty } und \varphi \in C\left( \Gamma \right). Dann definieren wir für x \notin \Gamma

  1. das Einfachschichtpotential mit Dichte \varphi durch

    \left( {S\varphi } \right)\left( x \right): = -\frac{1}{{2\pi }}\int\limits_\Gamma {\varphi \left( y \right)\log \left| {x-y} \right|dS\left( y \right)} ,\quad x \ne \Gamma,

  2. das Doppelschichtpotential mit dichte \varphi durch

    \left( {D\varphi } \right)\left( x \right): = -\frac{1}{{2\pi }}\int\limits_\Gamma {\varphi \left( y \right){\partial _n}\log \left| {x-y} \right|dS\left( y \right)} ,\quad x \ne \Gamma

Korollar: Zusammengesetzte Darstellungsformel

  1. Sei \Omega beschränkt, \Gamma \in Lip, u \in {C^2}\left( {\bar \Omega } \right) und \Delta u = 0 in \Omega. Mit {\gamma _0}u: = \left. {u\left( x \right)} \right|\Gamma und {\gamma _1}u: = \left. {{\partial _n}u\left( x \right)} \right|\Gamma haben wir eine Darstellungsformel für u in \Omega : = {\Omega ^-} in der Form

    u = -D{\gamma _0}u+S{\gamma _1}u\quad in\:\:\Omega = {\Omega ^-}

  2. Sei \Gamma \in Lip und u \in C_0^2\left( {{\mathbb{R}^2}\backslash \bar \Gamma } \right). Mit {u^{+/-}}: = \left. {u\left( x \right)} \right|{\Omega ^{+/-}} definieren wir

    \left[ {{\gamma _0}u} \right]: = {\gamma _0}{u^+}-{\gamma _0}{u^-} = {\left[ {{u^+}-{u^-}} \right]_\Gamma }

    \left[ {{\gamma _1}u} \right]: = {\gamma _1}{u^+}-{\gamma _1}{u^-} = {\left[ {{\partial _n}{u^+}-{\partial _n}{u^-}} \right]_\Gamma }

    Daraus folgt mit \Delta u = f die Darstellungsformel

    u = Gf+D\left[ {{\gamma _0}u} \right]-S\left[ {{\gamma _1}u} \right]\quad in\:\:{\mathbb{R}^2}\backslash \bar \Gamma.

Anmerkung: Der Begriff „Potential“ ist angemessen, da für \varphi \in C\left( \Gamma \right) die Identität {\Delta _x}\ln \left| {x-y} \right| = 0 für x \ne y in {\mathbb{R}^2}\backslash \Gamma auf \Delta S\varphi = 0 = \Delta D\varphi führt.

2.2.1 Distributionen

Wir wollen nun einige Definitionen und Eigenschaften von Distributionen einführen, um die klassischen Theoreme der Randintegralgleichungen herzuleiten. Hierzu brauchen wir zunächst eine Testfunktion, d.h. eine Funktion \varphi \in C_0^\infty \left( {{\mathbb{R}^2}} \right) wie z.B.

\varphi \left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\exp \left\{ {\frac{1}{{{{\left| x \right|}^2}-{R^2}}}} \right\}}&{x < R} \\ 0&{x \geq R} \end{array}} \right.

Weiteres Beispiel: Sei A \subset O eine geschlossene, beschränkte (daher kompakte) Teilmenge der offenen Menge O. Dann können wir eine Funktion \varphi \in {C^\infty } definieren durch

\varphi \left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{x \in A} \\ 0&{x \notin A} \end{array}} \right..

Jede Funktion f \in C\left( {{\mathbb{R}^2}} \right) ist eindeutig bestimmt durch ihre Auswirkung auf die Testfunktion \varphi \in C_0^\infty \left( {{\mathbb{R}^2}} \right):

\varphi \mapsto \left\langle {f,\varphi } \right\rangle : = \int\limits_{{\mathbb{R}^2}} {f\left( x \right)\varphi \left( x \right)dx}

Ebenso ist die Ableitung {\partial _j}f der Funktion f eindeutig bestimmt durch

\varphi \mapsto \left\langle {{\partial _j}f,\varphi } \right\rangle : = -\int\limits_{{\mathbb{R}^2}} {f\left( x \right){\partial _j}\varphi \left( x \right)dx}.

Definition: Distribution

Sei t:C_0^\infty \to \mathbb{R} ein stetiges lineares Funktional definiert durch \varphi \mapsto t\left( \varphi \right): = \left\langle {t,\varphi } \right\rangle. Dann nennen wir {D^\prime }\left( \Omega \right) den Raum der Distributionen auf \Omega, also die Menge stetiger linearer Funktionale auf D\left( \Omega \right): = C_0^\infty, ausgestattet mit der Folge von Seminormen

\mathop \sup \limits_{x \in K \subset \subset \Omega } \left| {{D^\alpha }\varphi \left( x \right)} \right| < \infty ,\quad \forall \alpha \in {\mathbb{N}^2}.

Die Dirac-Distribution ist z.B. definiert durch \left\langle {{\delta _0},\varphi } \right\rangle = \varphi \left( 0 \right). Für eine offene Menge O und {t_1},{t_2} \in {D^\prime }\left( O \right) definieren wir

{t_1} = {t_2}\quad \Leftrightarrow \quad \left\langle {{t_1},\varphi } \right\rangle = \left\langle {{t_2},\varphi } \right\rangle \quad \forall \varphi \in C_0^\infty \left( O \right).

Die \delta-Funktion hat daher den Träger \operatorname{supp} \left( {{\delta _0}} \right) = \left\{ 0 \right\}.

Definition: Ableitung von Distributionen

Sei t \in {D^\prime }\left( {{\mathbb{R}^2}} \right). Dann definieren wir die partielle Ableitung {\partial _j}t durch

\left\langle {{\partial _j}t,\varphi } \right\rangle : = -\left\langle {t,{\partial _j}\varphi } \right\rangle ,\quad \forall \varphi \in C_0^\infty \left( {{\mathbb{R}^2}} \right).

Wir wollen nun den Operator Gf\left( x \right) = \int\limits_{{\mathbb{R}^2}} {G\left( {x,y} \right)f\left( y \right)dy} für Distributionen mit kompaktem Träger definieren: Sei f \in {C_0}\left( {{\mathbb{R}^2}} \right) und \varphi \in C_0^\infty \left( {{\mathbb{R}^2}} \right). Dann definieren wir mit der Abschneidefunktion \chi:

\left\langle {Gf,\varphi } \right\rangle = \int\limits_{{\mathbb{R}^2}} {\int\limits_{{\mathbb{R}^2}} {G\left( {x,y} \right)f\left( y \right)dy} \:\varphi \left( x \right)dx}

= \int\limits_{{\mathbb{R}^2}} {f\left( y \right)\int\limits_{{\mathbb{R}^2}} {G\left( {x,y} \right)\varphi \left( x \right)dx} \:dy} = \left\langle {f,{G^*}\varphi } \right\rangle = \left\langle {f,\chi {G^*}\varphi } \right\rangle

Dabei ist {G^*}\left( {x,y} \right): = G\left( {y,x} \right).

Definition: Integraloperator G für Distributionen

Für t \in {D^\prime }\left( {{\mathbb{R}^2}} \right) mit \operatorname{supp} \left( t \right) \subset \left\{ {\chi = 1} \right\} und \varphi \in C_0^\infty definieren wir \left\langle {Gt,\varphi } \right\rangle : = \left\langle {t,\chi {G^*}\varphi } \right\rangle.

Anwendungen

Anwendung 1

Wir können zeigen, dass G\delta regulär ist:

\left\langle {G\delta ,\varphi } \right\rangle = \left\langle {\delta ,\chi {G^*}\varphi } \right\rangle = \left( {\chi {G^*}\varphi } \right)\left( 0 \right)

= \chi \left( 0 \right)\left( {{G^*}\varphi } \right)\left( 0 \right) = \int\limits_{{\mathbb{R}^2}} {G\left( {0,y} \right)\varphi \left( y \right)dy} = \left\langle {G\left( {0, \cdot } \right),\varphi } \right\rangle

\Rightarrow \quad \left( {G\delta } \right)\left( y \right) = G\left( {0,y} \right) = \frac{1}{{2\pi }}\ln \left| y \right|

Anwendung 2

Sei \left\langle {\gamma _0^*\psi ,\varphi } \right\rangle : = \int\limits_\Gamma {\psi \varphi dS} und \left\langle {\gamma _1^*\psi ,\varphi } \right\rangle : = \int\limits_\Gamma {\psi {\partial _n}\varphi dS}.Wir betrachten \left\langle {G\gamma _0^*\psi ,\varphi } \right\rangle. Durch Umformen erhalten wir

\left\langle {G\gamma _0^*\psi ,\varphi } \right\rangle = \left\langle {\gamma _0^*\psi ,\chi {G^*}\varphi } \right\rangle = \ldots = \int\limits_{{R^2}} {\varphi \left( y \right)\left( {-S\psi } \right)\left( y \right)dy}

\Rightarrow \quad G\gamma _0^*\psi = -S\psi

Lemma: Sei \psi \in {D^\prime }\left( {{\mathbb{R}^2}} \right) eine Distribution mit kompaktem Träger, dann gilt \Delta G\psi = G\Delta \psi = \psi.

Beweis: Wir formen mit den bisher kennen gelernten Regeln um:

\left\langle {\Delta G\psi ,\varphi } \right\rangle \mathop = \limits^{\left\langle {{\partial _j}t,\varphi } \right\rangle = -\left\langle {t,{\partial _j}\varphi } \right\rangle } \left\langle {G\psi ,\Delta \varphi } \right\rangle \mathop = \limits^{\left\langle {Gt,\varphi } \right\rangle = \left\langle {t,\chi {G^*}\varphi } \right\rangle } \left\langle {\psi ,{G^*}\Delta \varphi } \right\rangle \mathop = \limits^{G = {G^*}} \left\langle {\psi ,G\Delta \varphi } \right\rangle = \left\langle {\psi ,\varphi } \right\rangle

\left\langle {G\Delta \psi ,\varphi } \right\rangle = \left\langle {\Delta \psi ,{G^*}\varphi } \right\rangle = \left\langle {\psi ,\Delta G\varphi } \right\rangle = \left\langle {\psi ,\varphi } \right\rangle ,\quad \forall \varphi \in C_0^\infty

Beispiel: Darstellungsformel für den Laplace-Operator mit u \in C_0^2\left( {{{\bar \Omega }^-} \cup {{\bar \Omega }^+}} \right)

Unter Benutzung der zweiten Greenschen Formel formen wir um:

\left\langle {\Delta u,\varphi } \right\rangle = \left\langle {u,\Delta \varphi } \right\rangle = \int\limits_{{\mathbb{R}^2}} {u\Delta \varphi dx}

= \int\limits_{{\Omega ^-}} {{u^-}\Delta \varphi dx} +\int\limits_{{\Omega ^+}} {{u^+}\Delta \varphi dx}

= \int\limits_{{\Omega ^-}} {\Delta {u^-}\varphi dx} +\int\limits_{{\Omega ^+}} {\Delta {u^+}\varphi dx} +\int\limits_\Gamma {{u^-}{\partial _n}\varphi -{\partial _n}{u^-}\varphi -{u^+}{\partial _n}\varphi +{\partial _n}{u^+}\varphi \:dS}

\mathop = \limits^{f: = \Delta {u^-}+\Delta {u^+}} \left\langle {f,\varphi } \right\rangle +\int\limits_\Gamma {\left[ {{\partial _n}u} \right]\varphi dS} -\int\limits_\Gamma {\left[ u \right]{\partial _n}\varphi dS}

= \left\langle {f,\varphi } \right\rangle +\left\langle {\gamma _0^*\left[ {{\partial _n}u} \right],\varphi } \right\rangle -\left\langle {\gamma _1^*\left[ u \right],\varphi } \right\rangle

Wir erhalten also:

\Delta u = f+\gamma _0^*\left[ {{\gamma _1}u} \right]-\gamma _1^*\left[ {{\gamma _0}u} \right].

Demnach gilt:

u = G\Delta u = Gf+G\gamma _0^*\left[ {{\partial _n}u} \right]-\gamma _1^*\left[ {{\gamma _0}u} \right]

Daraus erhalten wir eine neue Darstellung für Einfach- und Doppelschichtpotential:

S\psi = -G\gamma _0^*\psi

D\psi = -G\gamma _1^*\psi

2.2.2 Sprungrelationen

Wir haben bereits die Einzel- und Doppelschichtpotentiale für x \notin \Gamma definiert. Nun brauchen wir die Werte der Potentiale direkt auf dem Rand. Dafür führen wir neue Integraloperatoren ein.

Definitionen

Sei x \in \Gamma, dann definieren wir:

Einzelschichtpotential: V\varphi \left( x \right): = -\frac{1}{{2\pi }}\int\limits_\Gamma {\varphi \left( y \right)\ln \left| {x-y} \right|dS\left( y \right)}

Doppelschichtpotential: K\varphi \left( x \right): = -\frac{1}{{2\pi }}\int\limits_\Gamma {\varphi \left( y \right){\partial _{ny}}\ln \left| {x-y} \right|dS\left( y \right)}

adjungiertes Doppelschichtpotential: {K^\prime }\varphi \left( x \right): = -\frac{1}{{2\pi }}\int\limits_\Gamma {\varphi \left( y \right){\partial _{nx}}\ln \left| {x-y} \right|dS\left( y \right)}hypersingulärer Operator: W\varphi \left( x \right): = -{\partial _{nx}}K\varphi \left( x \right)

Lemma: Sprungrelationen

Sei \Gamma = \partial \Omega \in {C^3} und \psi \in {C^2}\left( \Gamma \right), S\psi ,D\psi \in {C^2}\left( {{{\bar \Omega }^+} \cup {{\bar \Omega }^-}} \right). Dann gilt:

  1. \left[ {{\gamma _0}\left( {S\psi } \right)} \right] = 0,\quad \quad \left[ {{\gamma _1}\left( {S\psi } \right)} \right] = -\psi
  2. \left[ {{\gamma _0}\left( {D\psi } \right)} \right] = \psi ,\quad \quad \left[ {{\gamma _1}\left( {D\psi } \right)} \right] = 0

Beweis: Es ist \Delta \left( {S\psi } \right) = -\gamma _0^*\psi und \Delta \left( {D\psi } \right) = -\gamma _1^*\psi. Ein Koeffizientenvergleich von dieser Gleichung und \Delta u = f+\gamma _0^*\left[ {{\gamma _1}u} \right]-\gamma _1^*\left[ {{\gamma _0}u} \right] mit u = S\psi und u = D\psi ergibt die Relationen.

Lemma: Es gilt

  1. {\gamma _1}{\left( {S\psi } \right)^+} = {K^\prime }\psi -\frac{1}{2}\psi ,\quad \quad {\gamma _1}{\left( {S\psi } \right)^-} = {K^\prime }\psi +\frac{1}{2}\psi
  2. {\gamma _0}{\left( {D\psi } \right)^+} = K\psi +\frac{1}{2}\psi ,\quad \quad {\gamma _0}{\left( {D\psi } \right)^-} = K\psi -\frac{1}{2}\psi

Beweis: Das Lemma lässt sich beweisen, indem wir auf \Delta u die Funktion \psi \in C_0^\infty \left( {{\mathbb{R}^2}} \right) multiplizieren, partiell integrieren, u = S\psi setzen, eine Kugel {B_\varepsilon } auf dem Rand einführen, mit dem Satz von Fubini die Integrationsreihenfolge vertauschen, die zweite Greensche Formel anwenden, Polarkoordinaten einführen und schließlich \varepsilon gegen 0 gehen lassen.

Randintegralgleichung für homogenes Laplace-Problem

Wir wenden uns nun noch ein Mal dem homogenen Laplace-Problem zu. Es gilt die Darstellungsformel für x \in \Omega:

u\left( x \right) = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_\Gamma {u\left( y \right){\partial _{ny}}\log \left| {x-y} \right|d{S_y}} -\frac{1}{{2\pi }}\int\limits_\Gamma {{\partial _n}u\left( y \right)\log \left| {x-y} \right|dS\left( y \right)},

wobei der erste Summand ein Doppelschichtpotential mit Dichte u ist und der zweite ein Einzelschichtpotential mit Dichte {\partial _n}u. Wir benutzen die Sprungrelationen und erhalten für x \in \Gamma:

u\left( x \right) = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_\Gamma {u\left( y \right){\partial _{ny}}\log \left| {x-y} \right|d{S_y}} +\frac{{u\left( x \right)}}{2}-\frac{1}{{2\pi }}\int\limits_\Gamma {{\partial _n}u\left( y \right)\log \left| {x-y} \right|dS\left( y \right)}.

Mit u\left( x \right) = g\left( x \right) auf \Gamma folgt:

\underbrace {g\left( x \right)-\frac{1}{\pi }\int\limits_\Gamma {g\left( y \right){\partial _{ny}}\log \left| {x-y} \right|dS\left( y \right)} }_{ = :f\left( x \right)} = -\frac{1}{\pi }\int\limits_\Gamma {{\partial _n}u\left( y \right)\log \left| {x-y} \right|dS\left( y \right)}.

Wir haben also das homogene Dirichlet-Problem auf die Randintegralgleichung

2V\left( {\frac{{\partial u}}{{\partial n}}} \right)\left( x \right) = f\left( x \right),\quad \quad x \in \Gamma

zurückgeführt, die schließlich gelöst werden kann.