1 – Einführung

 

In diesem Kapitel sollen die Bestandteile, Anwendungsgebiete und Vorgehensweisen der finiten Elemente Methode eingeführt werden.

Definition: Finite Elemente Methode (FEM)

Die Finite Elemente Methode ist ein Verfahren zur näherungsweisen Lösung von Anfangsrandwertproblemen (ARWP) oder Randwertproblemen (RWP).

Bestandteile eines Anfangsrandwertproblems:

  • Transientes (zeitabhängiges) Differentialgleichungssystem
  • Randbedingungen (RB)
  • Anfangsbedingungen (AB)

Bestandteile eines Randwertproblems:

  • Stationäres Differentialgleichungssystem
  • Randbedingungen

Anwendungsgebiete der FEM:

  • Bauingenieurwesen
  • Luft- und Raumfahrttechnik
  • Automobil- und Maschinenbau
  • Elektrotechnik
  • Biomechanik und Medizintechnik
  • Werkstoffmechanik

Typen von Differentialgleichungen:

  • Impulsbilanz der Elastizitätstheorie
  • Wärmeleitungsgleichung
  • Navier-Stokes-Gleichungen (Strömungsberechnung)
  • Diffusionsgleichung (Schadstoffausbreitung)

1.1 FEM aus Sicht des Programmanwenders

Der Anwender hat im Wesentlichen drei Aufgaben. Diese wollen wir hier am Beispiel der Impulsbilanz der Elastizitätstheorie besprechen.

Schritt 1: Preprocessing

Hier erfolgt die Eingabe des zu berechnenden Systems. Dieses besteht aus Material, natürlichen Randbedingungen (Dirichlet-RB, z.B. Verschiebungen oder Lager), statischen Randbedingungen (Neumann-RB, z.B. Lasten), Volumenlasten, Typ der verwendeten finiten Elemente und dem Netz.

Schritt 2: Processing

Hier erfolgt die numerische Umsetzung des Problems. Diese besteht aus der Berechnung von Elementsteifigkeitsmatrizen und Elementlastvektoren, der Ensemblierung zum Gesamtsystem und der Lösung des entstandenen linearen Gleichungssystems.

Schritt 3: Postprocessing

Unter Postprocessing versteht man die Ausgabe, Interpretation und Kontrolle der Ergebnisse. Die Ausgabe erfolgt dabei oft als Visualisierung.

1.2 FEM aus Sicht des Programmentwicklers

Wir unterscheiden drei phänomenologische Entwicklungsebenen.

finite-elemente-phanomenologische-entwicklungsebenen

1.3 Vorgehensweise bei der finite Elemente Methode

Modellbildung: Euler-DGL, Kinematik und Materialgesetz des Stabes, Neumann-RB des Stabes

Schwache Formulierung: Prinzip der virtuellen Verschiebungen des Stabes

Gebietszerlegung: Zerlegung des Raumfachwerks in finite Stabelemente, Anwendung der schwachen Form auf die Elemente

Diskretisierung: Approximation der Verschiebung {u_1} mit den Ansatzfunktionen N\left( {{\xi _1}} \right) und den Knotenverschiebungen {\vec u^e}, Berechnung von Elementmatrizen {\underline k ^e},{\underline m ^e} und Elementlastvektoren {\vec r^e}

Ensemblierung: Transformation von lokalen auf globale Koordinaten, Ensemblierung zu \underline{K} und \vec r, es ergibt sich die diskrete schwache Form.

Fundamentallemma der Variationsrechnung: Algebraische Gleichung der Statik \underline{K} \vec u = \vec r , es ergibt sich das semidiskretes ARWP der Strukturdynamik (semidiskret, da der Ort aber nicht die Zeit diskretisiert ist).

Nachlaufrechnung abhängiger Größen: Berechnung lokaler approximativer Größen {\tilde u_1}\left( {{\xi _1}} \right), {\tilde \varepsilon _{11}}\left( {{\xi _1}} \right), {\tilde \sigma _{11}}\left( {{\xi _1}} \right), {\tilde N_1}\left( {{\xi _1}} \right)

1.4 Literatur zur Vertiefung

[1] Bathe, Finite Elemente Methoden, Springer Verlag, Berlin 2002
[2] Hughes, The Finite Element Method, Dover Publications, New York 2000
[3] Knothe, Finite Elemente, Einführung für Ingenieure, Springer Verlag, Berlin 1999
[4] Zienkievicz; Taylor, The Finite Element Method Vol. 1, Butterworth-Heinemann, Oxford 2000
[5] Kuhl, Grundlagen der Finiten Elemente Methode, Universität Kassel 2007 (pdf)

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