3.1 – Einführung in Fourier-Reihen

 

Für viele Probleme ist es praktisch, periodische Funktionen (oder Funktionen, die sich periodisch fortsetzen lassen), in einer Fourier-Reihe zu entwickeln. Haben wir eine solche Reihe, müssen wir uns nur noch mit den Fourier-Koeffizienten beschäftigen und erhalten leicht endlich-dimensionale Unterräume von Funktionenräumen, indem wir die Reihe nur bis zu einem bestimmten n \in \mathbb{N} betrachten.

Definition: Sei f eine komplexwertige periodische Funktion mit Periode 1. Dann ist

\sum\limits_{k = -\infty }^\infty {\hat f\left( k \right){e^{2\pi ikx}}} ,\quad \quad \hat f\left( k \right) = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){e^{-2\pi ikx}}dx}

die Fourier-Reihe für f. Die Werte \hat f\left( k \right) für k \in \mathbb{Z} nennen wir Fourier-Koeffizienten. Ein trigonometrisches Polynom ist eine abgeschnittene Fourier-Reihe, also

{t_N}\left( x \right) = \sum\limits_{\left| k \right| \leq N} {{\alpha _k}{e^{2\pi ikx}}} ,\quad N \in \mathbb{N}.

Sei T der Raum aller dieser trigonometrischen Polynome. Endlich-dimensionale Unterräume dieses Raums sind zum Beispiel

{T_N}: = \left\{ {\sum\limits_{k = -N}^N {{\alpha _k}{e^{2\pi ikx}}} :\quad {\alpha _{-N}}, \ldots ,{\alpha _N} \in \mathbb{C}} \right\} \subset T.

Die Dimension von {T_N} ist \dim {T_N} = 2N+1, da wir so viele Basisfunktionen {w_k}\left( x \right) = {e^{2\pi ikx}} haben. Die Basisfunktionen sind orthonormal in {L^2}\left[ {0,1} \right]:

\int\limits_0^1 {{w_k}\left( x \right){{\bar w}_l}\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {{e^{i\left( {k-l} \right)2\pi x}}dx} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0,}&{k \ne l} \\ {1,}&{k = l} \end{array}} \right.

Eigenschaften von Fourier-Reihen

  1. Parsevalsche Gleichung (Abgeschlossenheitsrelation, allgemeine Form des Satzes des Pythagoras für Innenprodukträume):

    \left\| f \right\|_{{L^2}\left( {0,1} \right)}^2 = \int\limits_0^1 {{{\left| {f\left( x \right)} \right|}^2}dx} = \sum\limits_{k \in \mathbb{Z}} {{{\left| {\hat f\left( k \right)} \right|}^2}} = \left\| {{{\left\{ {\hat f\left( k \right)} \right\}}_k}} \right\|_{{l^2}\left( \mathbb{Z} \right)}^2

  2. Differentiation entspricht Multiplikation mit 2\pi ik: {f^\prime }\left( x \right) = \sum\limits_{k \in \mathbb{Z}} {2\pi ik\:\hat f\left( k \right){e^{2\pi ikx}}}