1 – Einführung

 

1.1 Brachistochrone-Problem

Die Variationsrechnung gehört zum Gebiet der mathematischen Optimierung. Es werden jedoch nicht Minima oder Maxima von Funktionen im {\mathbb{R}^n} gesucht, sondern Extrema von Funktionen, deren Argumente selbst wieder Funktionen sind. Solche Extrema können zum Beispiel kürzeste (schnellste) Wege oder Flächen minimalen Inhalts sein.

Als “Geburtsjahr” der Variationsrechnung wird 1696 angesehen, als Johann Bernoulli zur Lösung des folgenden Problems aufrief, das heute als Brachistochrone-Problem (griechisch \beta \rho \alpha \chi \iota \sigma \tau o\sigma = am kürzesten, \chi \rho o\nu o\sigma= Zeit) bekannt ist:

A,B \in {\mathbb{R}^2} seien gegeben. Gesucht ist eine Kurve C von A nach B, so dass ein reibungsfrei auf C gleitender Körper M unter Einfluss der Schwerkraft g in minimaler Zeit von A nach B gelangt.

brachistochrone-problem-bahn-schwerkraft-geschwindigkeit

Zur mathematischen Formulierung des Problems setzen wir der Einfachheit halber wie in der obigen Abbildung voraus, dass A = \left( {0,0} \right) und B = \left( {a,b} \right) mit a,b > 0 ist und dass die gesuchte Kurve C Graph einer stetig differenzierbaren Funktion y = y\left( x \right),\:\:0 \leq x \leq a ist. M startet zum Zeitpunkt t = 0 in A und kommt zu einem Zeitpunkt t = T in B an. Die benötigte Zeit hängt von y ab, also T = f\left( y \right). Hier ist f eine Funktion, die von einer anderen Funktion, nämlich y, abhängt und gesucht ist jene Funktion y, die T = f\left( y \right) minimiert.

Frage: Wie lange braucht ein Körper auf einer gegebenen Bahn y\left( x \right) von A nach B?

Um dies zu beantworten, bedienen wir uns des Energieerhaltungssatzes. Bei t = 0,\:\:x = 0 haben wir nur potentielle Energie:

{E_{ges}} = {E_{pot}} = mgh.

Bei x > 0 haben wir potentielle Energie und kinetische Energie:

{E_{ges}} = {E_{pot}}+{E_{kin}}

{E_{pot}} = mg\left( {h-y\left( x \right)} \right)

{E_{kin}} = \frac{1}{2}m{v^2}

Energieerhaltung:

{E_{pot}}+{E_{kin}} = \operatorname{const}

\Rightarrow \quad mg\left( {h-y\left( x \right)} \right)+\frac{1}{2}m{v^2} = mgh

\Rightarrow \quad \frac{1}{2}m{v^2} = mgy\left( x \right)

\Rightarrow \quad v = \sqrt {2gy\left( x \right)}

Hier kommt die Zeit noch nicht explizit vor. Die Geschwindigkeit ist aber die Ableitung der Bogenlänge nach der Zeit:

v = \frac{{ds}}{{dt}}

x = x\left( t \right) ist die zur Zeit t erreichte x-Position, t = t\left( x \right) die bis zum Erreichen von x vergangene Zeit. x und t sind also voneinander abhängig. Dies muss beim Ableiten beachtet werden:

v = \frac{{ds}}{{dt}} = \frac{{ds\left( {x\left( t \right)} \right)}}{{dt}} = \frac{{ds}}{{dx}}\frac{{dx}}{{dt}}

Wir brauchen also zunächst eine Funktion der Bogenlänge in Abhängigkeit von x. Dazu betrachten wir folgende Skizze:

funktion-bogenlange-abhangigkeit-zeit

Länge der Tangente zwischen den Stützpunkten:

l = \sqrt {{{\left( {\Delta x} \right)}^2}+{{\left( {{y^\prime }\left( {{x_i}} \right)\Delta x} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {\Delta x} \right)}^2}+{y^\prime }{{\left( {{x_i}} \right)}^2}{{\left( {\Delta x} \right)}^2}} = \sqrt {1+{y^\prime }{{\left( {{x_i}} \right)}^2}} \Delta x

Dies entspricht in erster Näherung der Länge des tatsächlichen Streckenabschnitts. Wir erhalten:

s\left( x \right) = \int_0^x {\sqrt {1+{y^\prime }{{\left( \xi \right)}^2}} d\xi }

Damit können wir die Ableitung nach x ausrechnen:

\frac{{ds}}{{dx}} = \sqrt {1+{y^\prime }{{\left( x \right)}^2}}

Wir setzen in die Gleichung der Energieerhaltung ein:

\sqrt {2gy\left( x \right)} = v = \sqrt {1+{y^\prime }{{\left( x \right)}^2}} \frac{{dx}}{{dt}}

\frac{{dx}}{{dt}} = \sqrt {\frac{{2gy\left( x \right)}}{{1+{y^\prime }{{\left( x \right)}^2}}}} \quad \Rightarrow \quad \frac{{dt}}{{dx}} = \sqrt {\frac{{1+{y^\prime }{{\left( x \right)}^2}}}{{2gy\left( x \right)}}}

Wir können die Ableitung einfach umdrehen, da die Ableitungsformel für die Umkehrfunktion gilt:

t = t\left( x \right) = t\left( {x\left( t \right)} \right)

1 = \frac{{dt}}{{dx}}\frac{{dx}}{{dt}}

t = f\left( {{f^{-1}}\left( t \right)} \right)\quad |\frac{d}{{dt}}

\Rightarrow \quad 1 = \frac{{df\left( {{f^{-1}}\left( t \right)} \right)}}{{dt}}\frac{{d{f^{-1}}\left( t \right)}}{{dt}}\quad \Rightarrow \quad {\left( {{f^{-1}}} \right)^\prime }\left( t \right) = \frac{1}{{{f^\prime }\left( {{f^{-1}}\left( t \right)} \right)}}

Durch Integration über die gesamte horizontale Wegstrecke ergibt sich die Zeit, bis B erreicht ist:

T = f\left( y \right) = \int_0^a {\frac{{dt}}{{dx}}dx = } \int_0^a {\sqrt {\frac{{1+{{\left( {{y^\prime }} \right)}^2}\left( x \right)}}{{2gy\left( x \right)}}} dx}

Nun muss nur noch die optimale Funktion y\left( x \right) gefunden werden. Dies ist typisch für die Variationsrechnung. Es wird nicht ein skalares oder vektorielles Minimum einer Funktion gesucht, sondern das Minimum ist auch wieder eine Funktion.

Das Integral ist nicht unproblematisch, da es eine Singularität aufweist: Der Nenner wird für x=0 zu 0.

1.2 Weitere Probleme der Variationsrechnung

Es gibt viele klassische mathematische Probleme, die sich in der gleichen Weise beschreiben lassen als Minimierung oder Maximierung auf Funktionenräumen.

Beispiel 1.1: Isoperimetrische Probleme, etwa das Problem der Dido

Unter allen geschlossenen Kurven der Länge 1 finde man diejenige, die die größte Fläche umschließt. Die Kurven seien etwa stetig und stückweise stetig differenzierbar.

Beispiel 1.2: Geodätische Kurven

In der Differentialgeometrie sucht man Kurven kürzester Länge, die in einer (gekrümmten) Fläche verlaufen und zwei Punkte A und B verbinden.

Beispiel 1.3: Minimalflächen (Plateausches Problem)

Spannt man in einen (nicht ebenen) Drahtring eine Seifenhaut ein, dann werden die inneren Spannungskräfte häufig dazu führen, dass der Flächeninhalt minimal wird. Beim Plateauschen Problem geht es entsprechend darum, eine Fläche minimalen Inhalts im {\mathbb{R}^3} zu finden, deren Randkurve mit einer gegebenen Kurve übereinstimmt.

Die Prinzipien der Variationsrechnung spielen auch in der Physik eine große Rolle.

Beispiel 1.4: Das Fermat-Prinzip

Ein Lichtstrahl nimmt auf dem Weg durch ein Medium den Weg ein, den er in kürzester Zeit zurücklegen kann (und nicht etwa den kürzesten Weg). Der Weg des Lichtstrahls kann also als Funktion der Zeit durch ein Extremalprinzip bestimmt werden.

Beispiel 1.5: Das Hamilton-Prinzip

Zustände (d.h. zeitabhängige Koordinaten) in konservativen mechanischen Systemen verändern sich so, dass eine minimale Wirkung erzielt wird. Diese beiden Prinzipien werden wir später noch genauer formulieren. Es gibt auch viele Probleme aus den Ingenieurwissenschaften, die in den Bereich der Variationsrechnung fallen.

Beispiel 1.6: Optimaler Nyquist-Entzerrer

Ein durch Interferenzen und additives Rauschen gestörtes Signal s\left( t \right) soll durch einen linearen Filter g\left( t \right) entzerrt werden. Die Funktion g\left( t \right) soll so gewählt werden, dass die Rauschleistung von \left( {s * g} \right)\left( t \right) nach der Abtastung minimal wird.

Beispiel 1.7: Re-Entry-Problem

Die Flugbahn eines Raumschiffs wird durch ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen beschrieben, in die Steuerparameter eingehen. Steuerparameter sind Funktionen der Zeit. Beim Re-Entry-Problem geht es darum, die Steuerparameter optimal zu wählen in dem Sinn, dass beim Eintritt des Raumschiffs in die Erdatmosphäre eine minimale Erhitzung stattfindet und gleichzeitig eine bestimmte Landeposition erreicht wird. Das Optimierungsproblem bezieht sich hier auf die Steuerparameter als Funktion der Zeit.

Probleme der letzten Art werden als Probleme der Steuerungstheorie (calculus of optimal control) bezeichnet.

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