0.4 – Eingangs-Ausgangs-Verhalten von LTI-Systemen

Bisher haben wir Systeme immer über die Zustandsraumdarstellung betrachtet. Oft ist aber eine reine Beschreibung des Übertragungsverhaltens des Systems ohne Einbeziehung / Kenntnis des Zustandes $\vec x$ gewünscht. Man will wissen: Mit welchem Verlauf der Ausgangsgröße reagiert das System auf einen beliebig vorgegebenen Verlauf der Eingangsgröße $\vec u$ ?

Wir beschränken uns auf SISO-Systeme, d.h. $u \in \mathbb{R},\quad y \in \mathbb{R}$ . Bisher haben wir nur die Möglichkeit, über die Gleichung

$\vec x\left( t \right) = \underbrace {\vec \phi \left( t \right){{\vec x}_0}}_{{{\vec x}_{frei}}\left( t \right)}+\underbrace {\int_0^t {\phi \left( {t-\tau } \right) \cdot b \cdot u\left( \tau \right)d\tau } }_{{{\vec x}_{erzw}}\left( t \right)}$

zunächst den Zustand und daraus die Ausgangsfunktion zu berechnen. Die Auswertung des Integrals erfordert allerdings einen großen Aufwand. Ein eleganterer Berechnungsweg ergibt sich, wenn wir beide Seiten der zu lösenden Zustandsgleichung einer Laplace-Transformation unterwerfen.

0.4.1 Laplace-Transformation

Die Laplace-Transformation ordnet einer Funktion $f\left( t \right)$ der Zeit $t$ mit $f\left( t \right) = 0\:\:\forall t < 0$ umkehrbar eindeutig eine komplexwertige Funktion $F\left( s \right)$ einer komplexen Variablen $s$ zu:

$F\left( s \right): = \mathcal{L}\left[ {f\left( t \right)} \right]: = \int_0^\infty {{e^{-st}}f\left( t \right)dt} ,\quad \quad f\left( t \right) = {\mathcal{L}^{-1}}\left[ {F\left( s \right)} \right]$

Für die gängigen Funktionen kann man die zusammengehörigen Funktionspaare aus Korrespondenztabellen entnehmen. Hier ein Ausschnitt daraus:

laplace-transformation-korrespondenz-tabelle

Die Laplace-Transformation ist linear:

${c_1}{f_1}\left( t \right)+{c_2}{f_2}\left( t \right)\:\:\: \circ - \bullet \:\:\:{c_1}{F_1}\left( s \right)+{c_2}{F_2}\left( s \right)$

Es gilt außerdem der Differentiationssatz:

${f^{\left( 1 \right)}}\left( t \right)\:\:\: \circ - \bullet \:\:\:sF\left( s \right)-f\left( {+0} \right),$

${f^{\left( n \right)}}\left( t \right)\:\:\: \circ - \bullet \:\:\:{s^n}F\left( s \right)-{s^{n-1}}f\left( {+0} \right)-{s^{n-2}}{f^{\left( 1 \right)}}\left( {+0} \right)- \ldots -{f^{\left( {n-1} \right)}}\left( {+0} \right)$

0.4.2 Übertragungsfunktion

Wir wenden nun die Laplace-Transformation auf das LTI-SISO-System

$\dot {\vec x} = A\vec x+\vec bu,\quad \vec x\left( 0 \right) = {{\vec x}_0}$

$y = {{\vec c}^T}\vec x+du$

an. Wir unterziehen also jeweils beide Gleichungsseiten der Laplace-Transformation und führen bei einer vektorwertigen Funktion die Transformation komponentenweise durch:

$s\vec X\left( s \right)-{{\vec x}_0} = A\vec X\left( s \right)+\vec bU\left( s \right)$

$Y\left( s \right) = {{\vec c}^T}\vec X\left( s \right)+dU\left( s \right)$

Ziel ist eine Beziehung zwischen der Ausgangsgröße $Y\left( s \right)$ und der Eingangsgröße $U\left( s \right)$ :

$\left( {s \cdot I-A} \right)\vec X\left( s \right) = {{\vec x}_0}+\vec bU\left( s \right)$

$\Rightarrow \quad \vec X\left( s \right) = {\left( {s \cdot I-A} \right)^{-1}}{{\vec x}_0}+{\left( {s \cdot I-A} \right)^{-1}}\vec bU\left( s \right)$

$Y\left( s \right) = {{\vec c}^T}\vec X\left( s \right)+dU\left( s \right) = \underbrace {{{\vec c}^T}{{\left( {s \cdot I-A} \right)}^{-1}}{{\vec x}_0}}_{Antwort\:auf\:{{\vec x}_0}}+\underbrace {\left\{ {{{\vec c}^T}{{\left( {s \cdot I-A} \right)}^{-1}}\vec b+d} \right\}U\left( s \right)}_{Antwort\:auf\:u\:bzw.\:U}$

Um das Eingangs-Ausgangs-Verhalten zu untersuchen, setzen wir nun ${\vec x_0} = 0$ . Unter dieser Voraussetzung ist das Verhältnis “Ausgangs- zu Eingangsgröße” im Bildbereich immer dasselbe:

$G\left( s \right): = {\left. {\frac{{Y\left( s \right)}}{{U\left( s \right)}}} \right|_{{{\vec x}_0} = 0}} = {\vec c^T}{\left( {s \cdot I-A} \right)^{-1}}\vec b+d$

Dieses Verhältnis nennt man die Übertragungsfunktion $G\left( s \right)$ des betrachteten LTI-Systems. Wir müssen also das Inverse einer Matrix berechnen. Dies tun wir mit der Formel

${M^{-1}} = \frac{{adj\left( M \right)}}{{\det \left( M \right)}}$ ,

wobei wir die Adjunkte nach dem ME-MTS-Verfahren berechnen. Wir erhalten damit für die Übertragungsfunktion:

$G\left( s \right): = {\left. {\frac{{Y\left( s \right)}}{{U\left( s \right)}}} \right|_{{{\vec x}_0} = 0}} = {\vec c^T}\frac{{adj\left( {s \cdot I-A} \right)\vec b+\det \left( {s \cdot I-A} \right)d}}{{\det \left( {s \cdot I-A} \right)}}$

Den Nenner erkennen wir als charakteristisches Polynom von $A$ wieder. Die Elemente von $adj\left( {s \cdot I-A} \right)$ sind $\left( {n-1} \right) \times \left( {n-1} \right)$ - Unterdeterminanten von $\left( {s \cdot I-A} \right)$ und damit Polynome von maximal $\left( {n-1} \right)$ -ter Ordnung in $s$ . Wir können $G\left( s \right)$ also schreiben als

$G\left( s \right) = \frac{{Z\left( s \right)}}{{N\left( s \right)}}$

mit dem Zählerpolynom $Z\left( s \right)$ und dem Nennerpolynom $N\left( s \right)$ . Nach dem Fundamentalsatz der Algebra lassen sich Zähler- und Nennerpolynom stets als Produkte von Linearfaktoren schreiben:

$Z\left( s \right) = \beta \cdot \prod\limits_{i = 1}^{Grad\left\{ {Z\left( s \right)} \right\}} {\left( {s-{s_{0i}}} \right)} ,\quad \quad N\left( s \right) = \alpha \cdot \prod\limits_{i = 1}^{Grad\left\{ {N\left( s \right)} \right\}} {\left( {s-{s_i}} \right)}$

Weil die Übertragungsfunktion für $s = {s_{0i}}$ gleich Null ist und für $s = {s_i}$ unendlich groß wird, heißen die ${s_{0i}}$ Nullstellen und die ${s_i}$ Polstellen der Übertragungsfunktion. Es ergibt sich die Pol-Nullstellen-Form der Übertragungsfunktion:

$G\left( s \right) = \frac{{Z\left( s \right)}}{{N\left( s \right)}} = \underbrace k_{\beta /\alpha } \cdot \frac{{\prod\limits_{i = 1}^{Grad\left\{ {Z\left( s \right)} \right\}} {\left( {s-{s_{0i}}} \right)} }}{{\prod\limits_{i = 1}^{Grad\left\{ {N\left( s \right)} \right\}} {\left( {s-{s_i}} \right)} }}$

$Grad\left\{ {Z\left( s \right)} \right\} \leq Grad\left\{ {N\left( s \right)} \right\} \leq n,\quad k = \frac{\beta }{\alpha }$

0.4.3 Berechnung der Systemantwort

Um die Systemantwort $y\left( t \right)$ für ein gegebenes Eingangssignal $u\left( t \right)$ bei bekannter Gewichtsfunktion $G\left( s \right)$ zu berechnen, gehen wir wie folgt vor:

Berechne die Laplace-Transformierte $U\left( s \right)$ des Eingangssignals
Berechne die Ausgangsgröße $Y\left( s \right) = G\left( s \right) \cdot U\left( s \right)$
Bestimme das Ausgangssignal durch Laplace-Rücktransformation $y\left( t \right) = {\mathcal{L}^{-1}}\left[ {Y\left( s \right)} \right]$

Die Rücktransformation ist das größte Problem, da die gebrochen rationale Funktion

$Y\left( s \right) = \frac{{{d_r}{s^r}+ \ldots +{d_1}s+{d_0}}}{{{c_m}{s^m}+ \ldots +{c_1}s+{c_0}}}$

sich nur in Ausnahmefällen in Korrespondenztabellen finden lässt. Wir gehen daher wie folgt vor:

1. Schritt

Bestimme die Pole von $Y\left( s \right)$ . Wegen $Y\left( s \right) = G\left( s \right) \cdot U\left( s \right)$ sind dies die Pole von $G\left( s \right)$ und die Pole von $U\left( s \right)$ , wenn sich keine Linearfaktoren durch Kürzung wegheben.

2. Schritt

Zerlege die gebrochen rationale Funktion $Y\left( s \right)$ gemäß folgendem Ansatz (jeder reelle Pol führt zu einem Partialbruch, jedes komplex konjugierte Polpaar zu einem Term mit quadratischem Nenner):

$Y\left( s \right) = {k_0}+ \ldots +\frac{{{k_j}}}{{s-{s_j}}}+ \ldots +\frac{{{A_i}s+{B_i}}}{{{{\left( {s-{\delta _i}} \right)}^2}+\omega _i^2}}+ \ldots$

Bestimmung von ${k_0}$ :

${k_0} = \mathop {\lim }\limits_{s \to \infty } Y\left( s \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0\quad \quad falls\:\:r < m} \\{\frac{{{d_r}}}{{{c_m}}}\quad \quad falls\:\:r = m} \\ \end{array} } \right.$

Bestimmung von ${k_j}$ für einfachen, reellen Pol ${s_j}$ :

${k_j} = \frac{{{d_r}s_j^r+ \ldots +{d_1}{s_1}+{d_0}}}{{{c_m} \cdot \prod\limits_{i = 1,\:i \ne j}^m {\left( {{s_j}-{s_i}} \right)} }}$

Bestimmung von ${A_i}$ und ${B_i}$ für konjugiert komplexe Pole ${s_i},\:{s_{i+1}}$ :

${A_i}{s_i}+{B_i} = \frac{{{d_r}s_i^r+ \ldots +{d_1}{s_1}+{d_0}}}{{{c_m} \cdot \prod\limits_{j = 1,\:j \ne i,\:j \ne i+1}^m {\left( {{s_i}-{s_j}} \right)} }}$

3. Schritt

Rücktransformation in den Zeitbereich gemäß Korrespondenztabelle:

partialbruchzerlegung-laplace-rucktransformation-system

0.4.4 Sprung- und Impulsantwort

Wir erregen nun das System durch ganz bestimmte Eingangssignale, nämlich den Delta-Impuls und die Sprungfunktion. Die zugehörigen Antwortsignale beschreiben als sog. Kennfunktionen das dynamische Übertragungsverhalten des Systems.

Impulsantwort

Die Impulsantwort oder Gewichtsfunktion gibt an, wie das System auf einen sehr kurzen Impuls am Systemeingang reagiert Die Laplace-Transformierte dieses Delta-Pulses ist konstant 1. Wegen

$u\left( t \right) = \delta \left( t \right)\quad \Rightarrow \quad U\left( s \right) = 1$

$\Rightarrow \quad {Y_\delta }\left( s \right) = G\left( s \right)U\left( s \right) = G\left( s \right)\quad \Rightarrow \quad {y_\delta }\left( t \right) = g\left( t \right)$

ist die Impulsantwort die Laplace-Rücktransformierte der Übertragungsfunktion $G\left( s \right)$ . Es gilt:

$g\left( t \right) = {\vec c^T}{c^{At}}\vec b+d\delta \left( t \right) = \underbrace {{{\vec c}^T}V}_{ = :{{\hat \vec c}^T}}\Lambda \underbrace {{V^{-1}}\vec b}_{ = :{{\hat \vec b}^T}}+d\delta \left( t \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {\underbrace {{{\hat c}_i}{{\hat b}_i}}_{ = :{g_i}}{e^{{\lambda _i}t}}} +d\delta \left( t \right)$

Dies ist die sogenannte Modenzerlegung der Gewichtsfunktion.

Sprungantwort

Die Sprungfunktion $\sigma \left( t \right)$ ist Null für $t < 0$ und 1 für $t \geq 0$ . Die Systemantwort ${y_\sigma }\left( t \right)$ auf die Sprungfunktion nennen wir Sprungantwort. Es gilt:

$h\left( t \right) = g\left( t \right) * \sigma \left( t \right) = \int_0^t {g\left( \tau \right)d\tau } = \int_0^t {{{\vec c}^T}{c^{A\tau }}\vec bd\tau } +\int_0^t {d\delta \left( \tau \right)d\tau }$

$= d-{\vec c^T}{A^{-1}}\vec b+{\vec c^T}{A^{-1}}{e^{At}}\vec b$

Zwei Fälle sind hier besonders wichtig:

$h\left( 0 \right) = d$ . Das bedeutet, dass das System nur für $d \ne 0$ bei $t = 0$ einen Sprung ausführt. Wir bezeichnen daher Systeme mit $d \ne 0$ als sprungfähige Systeme. Es ist äquivalent:
$d \ne 0\quad \Leftrightarrow \quad Grad\left\{ {Z\left( s \right)} \right\} = Grad\left\{ {N\left( s \right)} \right\}$
$h\left( \infty \right) = -{\vec c^T}{A^{-1}}\vec b+d = :{k_s}$ . Die Konstante ${k_s}$ nennen wir statische Verstärkung.

0.4.5 Frequenzgang

Wir wollen nun die Antwort eines Systems auf ein kosinusförmiges Eingangssignal bestimmen. Wiederum sei ${\vec x_0} = \vec 0$ vorausgesetzt. Wegen des Superpositionsprinzips gilt:

$u\left( t \right) = \cos \left( {\omega t} \right)\quad \mapsto \quad y\left( t \right) = {y_{\cos }},\quad u\left( t \right) = \sin \left( {\omega t} \right)\quad \mapsto \quad y\left( t \right) = {y_{\sin }}$

$\Rightarrow \quad {e^{j\omega t}} = \cos \left( {\omega t} \right)+j\sin \left( {\omega t} \right)\quad \Rightarrow \quad {y_{\exp }} = {y_{\cos }}+j{y_{\sin }}$

$\Rightarrow \quad {y_{\cos }} = \operatorname{Re} \left\{ {{y_{\exp }}} \right\}$

Wegen der Korrespondenz

${e^{j\omega t}}\:\:\: \circ - \bullet \:\:\:\frac{1}{{s-j\omega }}$

lautet die Systemantwort ${Y_{\exp }}$ im Bildbereich:

${Y_{\exp }}\left( s \right) = G\left( s \right)U\left( s \right) = G\left( s \right)\frac{1}{{s-j\omega }}$

Partialbruchzerlegung (siehe oben) liefert:

${Y_{\exp }}\left( s \right) = \frac{{{k_1}}}{{s-{s_1}}}+ \ldots +\frac{{{A_i}s+{B_i}}}{{{{\left( {s-{\delta _i}} \right)}^2}+\omega _i^2}}+ \ldots +\frac{C}{{s-j\omega }}$

Laplace-Rücktransformation:

${y_{\exp }}\left( t \right) = \underbrace {{k_1}{e^{{s_1}t}}+ \ldots +{A_i}{e^{{\delta _i}t}}\cos \left( {{\omega _i}t} \right)+{{\hat B}_i}{e^{{\delta _i}t}}\sin \left( {{\omega _i}t} \right)+ \ldots }_{\xrightarrow{{t \to \infty }}0}+C{e^{j\omega t}}$

Da die Eigenbewegungen gemäß der Annahme, das System sei stabil, alle abklingen, bleibt im Langzeitlimes (eingeschwungener Zustand) die erzwungene Schwingung als Systemantwort übrig:

$C = {\left[ {\left( {s-j\omega } \right)Y\left( s \right)} \right]_{s = j\omega }} = {\left[ {\left( {s-j\omega } \right)\frac{{G\left( s \right)}}{{s-j\omega }}} \right]_{s = j\omega }} = G\left( {j\omega } \right)$

${y_{\exp ,stat}}\left( t \right) = G\left( {j\omega } \right){e^{j\omega t}} = \left| {G\left( {j\omega } \right)} \right|{e^{j\phi \left( {j\omega } \right)}}{e^{j\omega t}}$

Die gesuchte Systemantwort $y\left( t \right)$ auf das Eingangssignal $u\left( t \right)$ lautet im stationären Fall:

${y_{\cos ,stat}}\left( t \right) = \operatorname{Re} \left\{ {G\left( {j\omega } \right){e^{j\omega t}}} \right\} = \operatorname{Re} \left\{ {\left| {G\left( {j\omega } \right)} \right|{e^{j\phi \left( {j\omega } \right)+j\omega t}}} \right\}$

$= \left| {G\left( {j\omega } \right)} \right|\cos \left( {\omega t+\phi \left( {j\omega } \right)} \right)$

Eine harmonische Anregung der Frequenz $\omega$ erzwingt also als Antwort eine harmonische Schwingung gleicher Frequenz. Die Übertragungsfunktion $G\left( s \right)$ , ausgewertet an der Stelle $s = j\omega$ , gibt in Form ihres Betrages $\left| {G\left( {j\omega } \right)} \right|$ den Verstärkungsfaktor und in Form ihres Arguments $\phi \left( {j\omega } \right)$ den Phasenwinkel an, um den die Ausgangsschwingung gegenüber der anregenden Schwingung versetzt ist.

Betrachtet man Eingangssignale mit unterschiedlicher Kreisfrequenz $\omega$ , so nehmen $\left| G \right|$ und $\phi$ i.d.R. verschiedene Werte an. Beide Größen können deshalb als Funktion der Kreisfrequenz aufgefasst werden. Man spricht dann vom Amplitudengang $\left| {G\left( {j\omega } \right)} \right|$ und vom Phasengang $\phi \left( {j\omega } \right)$ . Beide Funktionen zusammen stellen den Frequenzgang des Systems dar. Dieser kann entweder durch eine Ortskurve oder durch ein Bode-Diagramm dargestellt

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