5.3 – Einlauf in Kanal mit Umlenkwinkel

 

Gas mit der Ma-Zahl M{a_1} und dem Druck {p_1} trifft auf den Einlauf (Umlenkwinkel \Theta) eines ebenen Kanals. Dort treten zwei schräge Verdichtungsstöße auf, die gleich stark sind. Sie kreuzen sich und werden beim Auftreffen auf die Umlenkung am Ende des konvergenten Teils des Einlaufs nicht reflektiert.

ebener-kanal-uberschall-stromung-einlauf-winkel-stos-verdichtung

Gegeben: \Theta = 10^\circ, M{a_1} = 3, {p_1} = 1bar, R = 287\frac{J}{{kgK}}, \kappa = 1,4.

  1. Wie groß sind der Stoßwinkel {\beta _1} der schwachen Stöße vor der Durchkreuzung und die Ma-Zahl M{a_1}?
  2. Berechnen Sie den Stoßwinkel {\beta _2} nach der Kreuzung und die Ma-Zahl M{a_3} hinter den Stößen.
  3. Bestimmen Sie den Druck {p_3}.
  4. Wie groß ist die Entropieerhöhung von 1 nach 3?
  5. Wie muss das Verhältnis L/H gewählt werden, um die Strömung zu realisieren?

Lösung

a)

Wir können im Stoßdiagramm ablesen:

\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{M{a_1} = 3} \\{\Theta = 10^\circ } \\ \end{array} } \right\}\quad \mathop \Rightarrow \limits^{Diagramm} \quad {\beta _1} = 28^\circ

\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{M{a_1} = 3} \\{\Theta = 10^\circ } \\ \end{array} } \right\}\quad \mathop \Rightarrow \limits^{Diagramm} \quad 1-\frac{1}{{M{a_2}}} = 0,6\quad \Rightarrow \quad M{a_2} = 2,5

oder rechnerisch bestimmen:

Ma_2^2{\sin ^2}\left( {{\beta _1}-\Theta } \right) = \frac{{1+\left( {\frac{{\kappa -1}}{2}} \right)Ma_1^2{{\sin }^2}{\beta _1}}}{{\kappa Ma_1^2{{\sin }^2}{\beta _1}-\left( {\frac{{\kappa -1}}{2}} \right)}}\quad \Rightarrow \quad M{a_2} = 2,5

b)

Wie in der ersten Teilaufgabe benutzen wir das Stoßdiagramm:

\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{M{a_2} = 2,5} \\{\Theta = 10^\circ } \\ \end{array} } \right\}\quad \mathop \Rightarrow \limits^{Diagramm} \quad {\beta _2} = 32^\circ

\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{M{a_2} = 2,5} \\{\Theta = 10^\circ } \\ \end{array} } \right\}\quad \mathop \Rightarrow \limits^{Diagramm} \quad 1-\frac{1}{{M{a_3}}} = 0,5\quad \Rightarrow \quad M{a_3} = 2,0

c)

Wir berechnen zunächst die Mach-Zahlen senkrecht zu den Stößen:

M{a_{1n}} = M{a_1}\sin {\beta _1} = 1,41

M{a_{2n}} = M{a_2}\sin {b_2} = 1,32

Die Tabellen für senkrechte Stöße bei M{a_{1n}} = 1,41 bzw. M{a_{2n}} = 1,32 liefern:

\frac{{{p_2}}}{{{p_1}}} = 2,153\quad \Rightarrow \quad {p_2} = 2,153bar

\frac{{{p_3}}}{{{p_2}}} = 1,866\quad \Rightarrow \quad {p_3} = 4,02bar

d)

M{a_{1n}} = 1,41\quad \Rightarrow \quad \frac{{{s_2}-{s_1}}}{{{c_V}}} = \ln \left[ {\left( {1+\frac{{2\kappa }}{{\kappa +1}}\left( {Ma_{1n}^2-1} \right)} \right){{\left( {1-\frac{2}{{\kappa +1}}\left( {1-\frac{1}{{Ma_{1n}^2}}} \right)} \right)}^\kappa }} \right]

\quad \mathop \Rightarrow \limits^{{c_V} = \frac{R}{{\kappa -1}}} \quad {s_2}-{s_1} = 13.01\frac{J}{{kgK}}

M{a_{2n}} = 1,32\quad \Rightarrow \quad \frac{{{s_3}-{s_2}}}{{{c_V}}} = \ln \left[ {\left( {1+\frac{{2\kappa }}{{\kappa +1}}\left( {Ma_{2n}^2-1} \right)} \right){{\left( {1-\frac{2}{{\kappa +1}}\left( {1-\frac{1}{{Ma_{2n}^2}}} \right)} \right)}^\kappa }} \right]

\quad \Rightarrow \quad {s_3}-{s_2} = 7,04\frac{J}{{kgK}}

\quad \Rightarrow \quad \Delta s = \left( {{s_2}-{s_1}} \right)+\left( {{s_3}-{s_2}} \right) = {s_3}-{s_1} = 20,05\frac{J}{{kgK}}

e)

uberschall-kanal-verhaltnis-lange-breite-einlauf-lippe-winkel

L = \frac{{H+L\tan \Theta }}{{\tan {\beta _1}}}+\frac{H}{{\tan \left( {{\beta _2}-\Theta } \right)}}

\quad \Rightarrow \quad L\left( {1-\frac{{\tan \Theta }}{{\tan {\beta _1}}}} \right) = H\left( {\frac{1}{{\tan {\beta _1}}}+\frac{1}{{\tan \left( {{\beta _2}-\Theta } \right)}}} \right)

\quad \Rightarrow \quad \frac{L}{H} = \frac{{\tan \left( {{\beta _2}-\Theta } \right)+\tan {\beta _1}}}{{\tan \left( {{\beta _2}-\Theta } \right)\left( {\tan {\beta _1}-\tan \Theta } \right)}} = 6,5