05.2 – Einschuss einer Raumsonde auf Parabelbahn

 

Eine Raumsonde soll in 600km Höhe über der Erde so eingeschossen werden, dass sie auf einer Parabelbahn die Erde verlässt.

a )

Bestimmen Sie die erforderliche Geschwindigkeit

b )

Welche Geschwindigkeit hat die Sonde in {10^6}km Entfernung von der Erde?

c )

Bestimmen Sie die wahren Anomalien des Einschussortes und bei {10^6}km Entfernung von der Erde, wenn das Perigäum der Bahn

  1. Mit dem Einschussort übereinstimmt
  2. 6000km beträgt
  3. 1000km beträgt
  4. 1km beträgt

Lösung

a )

Für eine Parabel gilt immer: e = 1,\:\:a = \infty

r = 600km+{R_E} = 6978km

v = \sqrt {\mu \left( {\frac{2}{r}-\underbrace {\frac{1}{a}}_{ = 0}} \right)} = \sqrt {\frac{{2\mu }}{r}} = 10700\frac{m}{s}

b )

v = \sqrt {\frac{{2\mu }}{r}} = 893\frac{m}{s}

c )

r = \frac{p}{{1+e\cos \left( \theta \right)}}\quad \Rightarrow \quad \theta = \arccos \left( {\frac{p}{{re}}-\frac{1}{e}} \right)\quad \quad mit\:\:p = {r_P}\left( {1+e} \right) = 2{r_P}

\theta = \arccos \left( {\frac{{2{r_P}}}{r}-1} \right)

Die Ergebnisse in Tabellenform:

\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{r_P}}}{{km}}} &\vline & {\theta \left( {r = 6,97km} \right)} & {\theta \left( {r = {{10}^6}km} \right)} \\ \hline{6978} &\vline & {0^\circ } & {170,4^\circ } \\ \hline{6000} &\vline & {44^\circ } & {171,1^\circ } \\ \hline{1000} &\vline & {135,5^\circ } & {176,4^\circ } \\ \hline  1 &\vline & {178,6^\circ } & {179,9^\circ } \\  \end{array}

rs-einschusspunkt-bahn-geschwindigkeit-winkel