14 – Eis auf Kupferplatte

 

Eine horizontal angeordnete, gekühlte Kupferplatte hat eine Oberflächentemperatur {T_K}, die um \Delta T = 10K unter der Gefriertemperatur von Wasser ({T_G} = 0^\circ C) liegt. Zum Ausgefrieren von Eis strömt Wasser über die Platte (Koordinate x). Es bildet sich dabei in Richtung der Normalen zur Plattenoberfläche (Koordinate y) eine allmählich wachsende Eisschicht, die zu jedem Zeitpunkt über die gesamte Plattenlänge gleich dick ist.

  1. Skizzieren Sie diese Anordnung – bestehend aus den Systemen Wasser, Eis und Kupferplatte – für den Vorgang der Eisbildung. Tragen Sie den Temperaturverlauf für den Fall ein, dass die Temperatur der Kupferplatte {T_K} zeitlich und räumlich konstant bleibt und die Wassertemperatur {T_W} > 0^\circ C ist.
  2. Stellen Sie die Differentialgleichung für das Wachstum der Eisschicht normal zur Plattenoberfläche y = y\left( t \right) mit Hilfe einer Energiebilanz auf.
  3. Wie dick ist die Eisschicht für {T_W} = 0^\circ C nach einer Stunde Betriebszeit, wenn die Schichtdicke zu Beginn gleich null ist (y\left( {t = 0} \right) = 0) ?
  4. Wann stellen Sie den Betrieb der Anordnung ein, wenn als Entscheidungskriterium das Absinken der Wachstumsgeschwindigkeit der Eisschicht unter 10\frac{{mm}}{h} zugrunde gelegt wird?

Die Stoffdaten von Eis enthält die folgende Tabelle:

\begin{array}{*{20}{c}}{W\ddot armeleitf\ddot ahigkeit\:\:k} &\vline & {20\frac{W}{{m \cdot K}}} \\ \hline{Dichte\:\:{\rho _E}} &\vline & {920\frac{{kg}}{{{m^3}}}} \\ \hline{Erstarrungsw\ddot arme\:\:{r_E}} &\vline & {333\frac{{kJ}}{{kg}}} \\ \hline{W\ddot armekapazit\ddot at\:\:{c_{p,E}}} &\vline & {1,93\frac{{kJ}}{{kgK}}} \\   \end{array}

Lösung

a )

Die folgende Skizze zeigt die vom Wasser überströmte Eisschicht auf der Kupferplatte:

wasserstrom-eis-kupferplatte

Der eingezeichnete Temperaturverlauf gilt für das Wasser, das wärmer als 0°C ist. Hierauf wird im Verlauf der Aufgabe noch einmal eingegangen.

b )

Die Grenzfläche zwischen Wasser und Eis ist das untersuchte System. Da es sich um eine Plattenanordnung handelt und die Eisschicht an jeder Stelle der Platte gleich dick ist, können die Wärmeströme flächenspezifisch geschrieben werden. Zur Lösung der Aufgabe wird angenommen, dass die kinetische Energie des Wassers vernachlässigbar gegenüber den Wärmeströmen ist und dass die Wärmeleitung innerhalb des Eises einen geringeren Wärmewiderstand hervorruft als der konvektive Wärmeübergang zwischen Wasser und Eis, d.h. die Biotzahl ist viel kleiner als 1. Die Temperatur des Eises an der Phasengrenze ist immer 0°C, die Temperatur an der Kupferplatte ist immer um \Delta Tgeringer, aber die Schichtdicke erhöht sich mit der Zeit. Daher wird der Temperaturgradient im Eis mit der Zeit flacher. Die geringe Biotzahl sagt nun aus, dass eine Änderung an der Phasengrenze so schnell innerhalb des Eises durch Wärmeleitung ausgeglichen wird, dass der Temperaturverlauf linear bleibt.
Die Temperatur an der Phasengrenze ist konstant, die innere Energie dieser infinitesimal dünnen Schicht – das System wandert mit der Zeit entsprechend dem Wachstum – ändert sich daher nicht. Die Bilanz für dieses System lautet damit:

{\dot q_{Ph}}+{\dot q_K}-{\dot q_L} = 0

Die drei spezifischen Wärmeströme werden nun näher erläutert.

Der spezifische Wärmestrom durch Wärmeleitung im Eis {q_L} wird unter der oben beschriebenen Annahme einer kleinen Biotzahl nach dem Fourierschen Gesetz berechnet (Minuszeichen in der Klammer) und entgegen der y-Koordinate gerichtet ist (Minuszeichen vor der Klammer):

{{\dot q}_L} = -\left( {-k\frac{{\partial T}}{{\partial y}}} \right)

= -\left( {-k\frac{{T\left( {y\left( t \right)} \right)-T\left( {y = 0} \right)}}{{y-0}}} \right)

= k\frac{{\Delta T}}{y}

Der spezifische Wärmestrom durch erzwungene Konvektion {\dot q_K}, der vom Wasser an das Eis abgegeben wird, wenn das Wasser wärmer als 0°C ist, muss von der Kühlanlage unter der Kupferplatte zusätzlich abgeführt werden. Er berechnet sich mit dem hier nicht explizit angegebenen Wärmeübergangskoeffizienten h über

{\dot q_K} = h\left[ {{T_W}-T\left( {y\left( t \right)} \right)} \right]

Der Phasenwechsel selbst führt zu einem spezifischen Wärmestrom, der sich aus der Erstarrungswärme des Eises und dem flächenbezogenen Massenstrom des Wasseranteils, der den Aggregatzustand ändert, zusammensetzt (Achtung, dies ist nicht der gesamte Massenstrom des Wassers!)

{\dot q_{Ph}} = \frac{1}{A} \cdot {\dot m_{Ph}} \cdot {r_E}

Dabei ist {r_E} die Erstarrungswärme des Eises. Wir formen um:

{{\dot q}_{Ph}} = \frac{1}{A} \cdot \frac{{\partial {m_{Ph}}}}{{\partial t}} \cdot {r_E}

= \frac{1}{A} \cdot A \cdot {\rho _E} \cdot \frac{{\partial y}}{{\partial t}} \cdot {r_E}

= {r_E} \cdot {\rho _E} \cdot \frac{{\partial y}}{{\partial t}}

Wir setzen nun die drei Wärmeströme in die Ursprungsgleichung ein:

{{\dot q}_{Ph}}+{{\dot q}_K}-{{\dot q}_L} = 0

{r_E} \cdot {\rho _E} \cdot \frac{{\partial y}}{{\partial t}}+h\left[ {{T_W}-T\left( {y\left( t \right)} \right)} \right]-k\frac{{\Delta T}}{y} = 0

\frac{{\partial y}}{{\partial t}} = \frac{k}{{{r_E} \cdot {\rho _E}}}\frac{{\Delta T}}{y}-\frac{h}{{{r_E} \cdot {\rho _E}}}\left[ {{T_W}-T\left( {y\left( t \right)} \right)} \right]

Wir definieren nun noch zwei Hilfsgrößen:

a: = \frac{{k \cdot \Delta T}}{{{r_E} \cdot {\rho _E}}},\quad \quad b: = \frac{h}{{{r_E} \cdot {\rho _E}}}\left[ {{T_W}-T\left( {y\left( t \right)} \right)} \right]

Damit vereinfacht sich die Differentialgleichung zu

\frac{{\partial y}}{{\partial t}} = \frac{a}{y}-b

c )

Die Temperatur des Wassers ist in der Aufgabenstellung gegeben:

{T_W} = 0^\circ C

Die Temperatur an der Grenzschicht ist genau die Gefriertemperatur von Wasser, also

T\left( {y\left( t \right)} \right) = 0^\circ C

Daraus ergibt sich für die zweite Konstante:

b = \frac{h}{{{r_E} \cdot {\rho _E}}}\left[ {{T_W}-T\left( {y\left( t \right)} \right)} \right] = \frac{h}{{{r_E} \cdot {\rho _E}}} \cdot 0 = 0

Die DGL vereinfacht sich und kann umgestellt werden:

\frac{{dy}}{{dt}} = \frac{a}{{y\left( t \right)}}\quad \Rightarrow \quad y\left( t \right) \cdot dy = a \cdot dt

Integration liefert:

\frac{{{y^2}}}{2} = a \cdot t+C

Die Anfangsbedingung ist eine zum Zeitpunkt null noch nicht vorhandene Eisschicht:

y\left( {t = 0} \right) = 0\quad \Rightarrow \quad C = 0

Daher ist

y\left( t \right) = \sqrt {2 \cdot a \cdot t}

y\left( {t = 1h} \right) = \sqrt {\frac{{2 \cdot {k_E} \cdot \Delta T}}{{{r_E} \cdot {\rho _E}}} \cdot t} = 0,0686m = 68,6mm

d )

Die Anlage soll solange arbeiten, bis die Wachstumsgeschwindigkeit der Eisschicht unter 10mm pro Stunde gefallen ist, d.h. die Abschaltung erfolgt bei

y\left( t \right) = \sqrt {2 \cdot a \cdot t} = \sqrt {2 \cdot a} \cdot {t^{\frac{1}{2}}}

\quad \Rightarrow \quad \frac{{dy}}{{dt}} = \sqrt {2 \cdot a} \cdot \frac{1}{2} \cdot {t^{-\frac{1}{2}}}

\quad \Rightarrow \quad \frac{{dy}}{{dt}} \cdot \frac{2}{{\sqrt {2a} }} = {t^{-\frac{1}{2}}}

\quad \Rightarrow \quad t = {\left( {\frac{{dy}}{{dt}} \cdot \frac{2}{{\sqrt {2a} }}} \right)^{-2}} = 42303s = 11,75h

In der Prüfung kommt keine sich verschiebende Phasengrenze dran!

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1 Kommentar zu “14 – Eis auf Kupferplatte”

Müsste der konvektive Wärmestrom in der Skizze nicht ebenfalls in das betrachtetes System führen (von warm nach kalt)?
Außerdem stimmt die Bilanz nicht mit den eingezeichneten Pfeilen überein.
Gruß

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