3.1 – Einleitung in elastische Kontinua anhand des Zug-Druck-Stabes

Bisher wurden bereits diskretisierte Kontinua untersucht. Die Ergebnisse waren exakt, da keine räumliche Diskretisierung durchgeführt wurde und exakte Kraft-Verschiebungs-Beziehungen verwendet wurden.

Nun wollen wir auf kontinuierliche Systeme übergehen. Die Kraft-Verschiebungs-Beziehungen werden hier aus dem Arbeitsprinzip abgeleitet.

3.1.1 Bewegungsgleichung

Wir wollen zunächst die Bewegungsgleichung für den Stab ableiten. Hier die Skizze für ein Stabelement:

zug-druck-stab-bewegungsgleichung-elastisches-kontinuum

Kinematik:

$\varepsilon \left( {x,t} \right) = \frac{{\partial u}}{{\partial x}} = {u^\prime }\left( {x,t} \right)$

Materialgleichung:

$N\left( {x,t} \right) = EA\varepsilon \left( {x,t} \right) = EA\frac{{\partial u}}{{\partial x}}$

Impulsbilanz:

$\Delta m\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {t^2}}} = N\left( {x+\Delta x,t} \right)-N\left( {x,t} \right)+{q_x}\left( {x,t} \right)\Delta x$

mit $\Delta m = \rho A\Delta x,\quad \Delta x \to 0$

Es ergibt sich:

$\rho A\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {t^2}}} = {N^\prime }\left( x \right)+{q_x}\left( {x,t} \right)$

Dies ist die strenge Form der Bewegungsgleichung, für die es immer eine eindeutige Lösung gibt.

3.1.2 Virtuelles Verschiebungsfeld

Wir kommen nun zum virtuellen Verschiebungsfeld $\delta u,\:\:\delta {u_k} = \delta u\left( {{x_k}} \right)$ und der Überführung in die schwache Form, bei der mehrere Lösungen möglich sind. Dazu multiplizieren wir mit der virtuellen Verschiebung $\delta u$ und integrieren dann über das Balkenelement:

$\int_{{x_1}}^{{x_2}} {\rho A\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {t^2}}}\delta udx} = \int_{{x_1}}^{{x_2}} {\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {EA\frac{{\partial u}}{{\partial x}}} \right)\delta udx} +\int_{{x_1}}^{{x_2}} {{q_x}\delta udx}$

Partielle Integration liefert:

$\int_{{x_1}}^{{x_2}} {\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {EA\frac{{\partial u}}{{\partial x}}} \right)\delta udx} = \left[ {\underbrace {EA\frac{{\partial u}}{{\partial x}}}_N\delta u} \right]_{{x_1}}^{{x_2}}-\int_{{x_1}}^{{x_2}} {\underbrace {EA\frac{{\partial u}}{{\partial x}}}_N\underbrace {\frac{{\partial \delta u}}{{\partial x}}}_{\delta \varepsilon }dx}$

Weiterhin folgt:

$\left[ {EA\frac{{\partial u}}{{\partial x}}\delta u} \right]_{{x_1}}^{{x_2}} = {\left. {EA\frac{{\partial u}}{{\partial x}}\delta u} \right|_{{x_2}}}-{\left. {EA\frac{{\partial u}}{{\partial x}}\delta u} \right|_{{x_1}}}$

$\quad = N\left( {{x_2},t} \right)\delta u\left( {{x_2}} \right)-N\left( {{x_1},t} \right)\delta u\left( {{x_1}} \right)$

Wir bezeichnen mit $F_1^*,F_2^*$ die in positiver x-Richtung wirkenden Knotenkräfte und mit $N\left( x \right)$ die Stabkraft. Es folgt aus dem Kräftegleichgewicht:

$\quad \Rightarrow \quad F_2^* = N\left( {{x_2},t} \right),\quad F_1^* = -N\left( {{x_1},t} \right)$

$\quad \Rightarrow \quad \left[ {EA\frac{{\partial u}}{{\partial x}}\delta u} \right]_{{x_1}}^{{x_2}} = N\left( {{x_2},t} \right)\delta u\left( {{x_2}} \right)-N\left( {{x_1},t} \right)\delta u\left( {{x_1}} \right) = F_1^*\delta {u_1}+F_2^*\delta {u_2}$

Es ergibt sich die schwache Form:

$\quad \Rightarrow \quad \int_{{x_1}}^{{x_2}} {\rho A\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {t^2}}}\delta udx} = F_1^*\delta {u_1}+F_2^*\delta {u_2}-\int_{{x_1}}^{{x_2}} {N\delta \varepsilon dx} +\int_{{x_1}}^{{x_2}} {{q_x}\delta udx}$

Beiträge

virtuelle Arbeit der inneren Kräfte an den virtuellen Verzerrungen: $\delta {W_\sigma } = \int_{{x_1}}^{{x_2}} {N\delta \varepsilon dx}$
virtuelle Arbeit der Trägheitskräfte: $\delta {W_T} = -\int_{{x_1}}^{{x_2}} {\rho A\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {t^2}}}\delta udx}$
virtuelle Arbeit der äußeren Kräfte: $\delta {W_a} = F_1^*\delta {u_1}+F_2^*\delta {u_2}+\int_{{x_1}}^{{x_2}} {{q_x}\delta udx}$

Also lässt sich schreiben:

$-\delta {W_T} = \delta {W_a}+\delta {W_\sigma }\quad \Rightarrow \quad \delta {W_\sigma } = \delta {W_a}+\delta {W_T}$

Dies ist das Prinzip von d’Alembert in der Lagrange’schen Fassung (vgl. HTM). Die Beziehung ist äquivalent zur Impulsbilanz bzw. zur lokalen Bewegungsgleichung.

3.1.3 Verschiebungsansatz

Nun kommen wir zum Verschiebungsansatz für das Element. Der lineare Ansatz (wir betrachten lineare Balkenelemente) für das Bewegungsfeld lautet

$u\left( {x,t} \right) = {\alpha _1}\left( t \right)x+{\alpha _2}\left( t \right)$

mit den Randbedingungen

$u\left( {{x_1},t} \right) = {u_1}\left( t \right),\quad u\left( {{x_2},t} \right) = {u_2}\left( t \right)$

$\quad \Rightarrow \quad {u_1} = {\alpha _1}{x_1}+{\alpha _2},\quad {u_2} = {\alpha _1}{x_2}+{\alpha _2}$

In Matrixschreibweise ergibt sich:

$\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}} \\ {{u_2}} \end{array}} \right\} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1}}&1 \\ {{x_2}}&1 \end{array}} \right]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{\alpha _1}} \\ {{\alpha _2}} \end{array}} \right\}$

$\quad \Rightarrow \quad \left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{\alpha _1}} \\ {{\alpha _2}} \end{array}} \right\} = \frac{1}{{{x_1}-{x_2}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{-1} \\ {-{x_2}}&{{x_1}} \end{array}} \right]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}} \\ {{u_2}} \end{array}} \right\}$

Für die unbekannten Parameter des linearen Ansatzes ergibt sich mit ${x_2}-{x_1} = l$ :

${\alpha _1} = \frac{1}{l}\left( {{u_2}-{u_1}} \right)$

${\alpha _2} = \frac{1}{l}\left( {{u_1}{x_2}-{u_2}{x_1}} \right)$

Also:

$u\left( {x,t} \right) = \frac{1}{l}\left( {{u_2}-{u_1}} \right)x+\frac{1}{l}\left( {{u_1}{x_2}-{u_2}{x_1}} \right) = {u_1}\left( {\frac{{{x_2}}}{l}-\frac{x}{l}} \right)+{u_2}\left( {\frac{x}{l}-\frac{{{x_1}}}{l}} \right)$

Wir führen nun ein lokales Elementkoordinatensystem ein. Als Randbedingungen nutzen wir die Definitionen ${x_1} = 0,\quad {x_2} = l$ .

$u\left( {x,t} \right) = \underbrace {\left( {1-\frac{x}{l}} \right)}_{ = :{H_1}\left( x \right)}{u_1}\left( t \right)+\underbrace {\frac{x}{l}}_{ = :{H_2}\left( x \right)}{u_2}\left( t \right)$

$\quad = {H_1}\left( x \right){u_1}\left( t \right)+{H_2}\left( x \right){u_2}\left( t \right)$

$\quad = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{H_1}\left( x \right)}&{{H_2}\left( x \right)} \end{array}} \right]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}\left( t \right)} \\ {{u_2}\left( t \right)} \end{array}} \right\}$

$\quad = \left[ {H\left( x \right)} \right]\left\{{\hat u\left( t \right)} \right\}$

Die Funktionen ${H_1}\left( x \right) = 1-\frac{x}{l}$ und ${H_2}\left( x \right) = \frac{x}{l}$ werden als Formfunktionen bezeichnet. $\left[ {H\left( x \right)} \right]$ ist die Matrix der Formfunktionen (Verschiebungsinterpolationsmatrix).

Dehnung im Stab:

$\varepsilon \left( {x,t} \right) = \frac{\partial }{{\partial x}}u\left( {x,t} \right) = \left[ {{H^\prime }\left( x \right)} \right]\left\{{\hat u\left( t \right)} \right\}$

$\quad = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{-\frac{1}{l}}&{\frac{1}{l}} \end{array}} \right]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}\left( t \right)} \\ {{u_2}\left( t \right)} \end{array}} \right\} = \frac{{{u_2}-{u_1}}}{l}$

Die Matrix $\left[ {{H^\prime }\left( x \right)} \right] = \left[ {B\left( x \right)} \right]$ wird auch als Verzerrungs-Verschiebungs-Matrix bezeichnet.

Es gilt:

$\varepsilon \left( {x,t} \right) = \left[ {B\left( x \right)} \right]\left\{{\hat u\left( t \right)} \right\}$

Normalkraft im Stab:

$N = EA\varepsilon = EA\left[ B \right]\left\{{\hat u} \right\}$

Beschleunigung im Stab:

$\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {t^2}}} = \ddot u = \frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {t^2}}}\left( {\left[ {H\left( x \right)} \right]\left\{{\hat u\left( t \right)} \right\}} \right) = \left[ {H\left( x \right)} \right]\left\{{\ddot {\hat u}\left( t \right)} \right\}$

3.1.4 Auswertung des Prinzips von d’Alembert

Wir können nun das Prinzip von d’Alembert in Lagrange’scher Fassung auswerten. Wichtige Annahme dabei ist, dass für die virtuellen Größen die gleichen Formfunktionen verwendet werden:

$\delta u\left( {x,t} \right) = \left[ {H\left( x \right)} \right]\left\{{\delta \hat u\left( t \right)} \right\}$

$\delta \varepsilon \left( {x,t} \right) = \left[ {{H^\prime }\left( x \right)} \right]\left\{{\delta \hat u\left( t \right)} \right\} = \left[ {B\left( x \right)} \right]\left\{{\delta \hat u\left( t \right)} \right\}$

Virtuelle Arbeit der inneren Kräfte

$\delta {W_\sigma } = \int_{{x_1} = 0}^{{x_2} = l} {\delta \varepsilon \left( {x,t} \right)N\left( {x,t} \right)dx}$

$\quad = \int_0^l {\left[ {{H^\prime }\left( x \right)} \right]\left\{{\delta \hat u\left( t \right)} \right\}EA\left[ {{H^\prime }\left( x \right)} \right]\left\{{\hat u\left( t \right)} \right\}dx}$

$\quad \mathop = \limits^{Ax = {x^T}{A^T}} {\left\{{\delta \hat u\left( t \right)} \right\}^T}\underbrace {\int_0^l {{{\left[ {{H^\prime }\left( x \right)} \right]}^T}EA\left[ {{H^\prime }\left( x \right)} \right]dx} }_{ = :\left[ {{k^e}} \right]}\left\{{\hat u\left( t \right)} \right\}$

$\quad \Rightarrow \quad \delta {W_\sigma } = {\left\{{\delta \hat u\left( t \right)} \right\}^T}\left[ {{k^e}} \right]\left\{{\hat u\left( t \right)} \right\}$

Dabei ist $\left[ {{k^e}} \right]$ die Elementsteifigkeitsmatrix des Stabes.

Virtuelle Arbeit der Trägheitskräfte

$\delta {W_T} = -\int_0^l {\delta u\left( {x,t} \right)\rho A\ddot u\left( {x,t} \right)dx}$

$\quad = -\left\{{\delta \hat u\left( t \right)} \right\}\underbrace {\int_0^l {{{\left[ {H\left( x \right)} \right]}^T}\rho A\left[ {H\left( x \right)} \right]dx} }_{ = :\left[ {{m^e}} \right]}\left\{{\ddot {\hat u}\left( t \right)} \right\}$

$\quad \Rightarrow \quad \delta {W_T} = -{\left\{{\delta \hat u\left( t \right)} \right\}^T}\left[ {{m^e}} \right]\left\{{\ddot {\hat u}\left( t \right)} \right\}$

Dabei ist $\left[ {{m^e}} \right]$ die Elementmassenmatrix des Stabes.

Virtuelle Arbeit der äußeren Kräfte

$\delta {W_a} = F_1^*\delta {u_1}+F_2^*\delta {u_2}+\int_0^l {\delta u\left( {x,t} \right){q_x}\left( {x,t} \right)dx}$

Approximation der Streckenlast ${q_x}$ über die Formfunktionen (Verschiebungsinterpolationsmatrix):

${q_x}\left( {x,t} \right) = \left[ {H\left( x \right)} \right]\left\{{\hat q\left( t \right)} \right\}$

Es ergibt sich:

$\delta {W_a} = {\left\{{\delta \hat u} \right\}^T}\left\{{{F^*}} \right\}+{\left\{{\delta \hat u} \right\}^T}\underbrace {\int_0^l {{{\left[ {H\left( x \right)} \right]}^T}\left[ {H\left( x \right)} \right]dx} }_{\left[ L \right]}\left\{{\hat q\left( t \right)} \right\}$

$\quad = {\left\{{\delta \hat u\left( t \right)} \right\}^T}\left( {\left\{{{F^*}} \right\}+\left[ L \right]\left\{{\hat q\left( t \right)} \right\}} \right)$

$\quad = {\left\{{\delta \hat u\left( t \right)} \right\}^T}\left\{ r \right\}$

Damit ergibt sich für $\delta {W_\sigma } = \delta {W_a}+\delta {W_T}$ :

${\left\{{\delta \hat u} \right\}^T}\left[ {{k^e}} \right]\left\{{\hat u} \right\} = {\left\{{\delta \hat u} \right\}^T}\left( {\left\{ r \right\}-\left[ {{m^e}} \right]\left\{{\ddot {\hat u}} \right\}} \right)$

$\quad \Rightarrow \quad {\left\{{\delta \hat u} \right\}^T}\left( {\left[ {{m^e}} \right]\left\{{\ddot {\hat u}} \right\}+\left[ {{k^e}} \right]\left\{{\hat u} \right\}-\left\{ r \right\}} \right) = 0$

Dieser Zusammenhang muss für beliebige virtuelle Knotenverschiebungen gelten, d.h.

$\left[ {{m^e}} \right]\left\{{\ddot {\hat u}} \right\}+\left[ {{k^e}} \right]\left\{{\hat u} \right\} = \left\{ r \right\}$

Dies ist die Bewegungsgleichung des Stabes im Rahmen der FEM-Diskretisierung für ein Stabelement.

Zusammensetzen der Elemente zum Gesamtsystem ergibt

$\left[ M \right]\left\{{\ddot {\hat U}} \right\}+\left[ K \right]\left\{{\hat U} \right\} = \left\{ R \right\}$

auf globaler Ebene.

3.1.5 Berechnung der Elementsteifigkeitsmatrizen

Wir wollen nun die Elementsteifigkeitsmatrizen für den Fall $E,A,\rho = \operatorname{const}$ berechnen. Wie bereits im vorherigen Abschnitt besprochen kann diese Matrix über die Verzerrungs-Verschiebungs-Matrix berechnet werden:

$\left[ {{k^e}} \right] = \int_0^l {{{\left[ {{H^\prime }\left( x \right)} \right]}^T}EA\left[ {{H^\prime }\left( x \right)} \right]dx}$

Sind E-Modul und Querschnittsfläche über die Länge konstant, können diese vor das Integral gezogen werden:

$\left[ {{k^e}} \right] = EA\int_0^l {{{\left[ {{H^\prime }\left( x \right)} \right]}^T}\left[ {{H^\prime }\left( x \right)} \right]dx} = EA\int_0^l {{{\left[ B \right]}^T}\left[ B \right]dx}$

$\left[ B \right] = \left[ {{H^\prime }\left( x \right)} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{-\frac{1}{l}}&{\frac{1}{l}} \end{array}} \right]$

${\left[ B \right]^T}\left[ B \right] = \frac{1}{{{l^2}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{-1} \\ 1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{-1}&1 \end{array}} \right] = \frac{1}{{{l^2}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{-1} \\ {-1}&1 \end{array}} \right]$

$\quad \Rightarrow \quad \left[ {{k^e}} \right] = \frac{{EA}}{l}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{-1} \\ {-1}&1 \end{array}} \right]$

Für die Elementmassenmatrix gilt:

$\left[ {{m^e}} \right] = \rho A\int_0^l {{{\left[ H \right]}^T}\left[ H \right]dx}$

${\left[ H \right]^T}\left[ H \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{1-\frac{x}{l}} \\ {\frac{x}{l}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{1-\frac{x}{l}}&{\frac{x}{l}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {1-\frac{x}{l}} \right)}^2}}&{\left( {1-\frac{x}{l}} \right)\frac{x}{l}} \\ {\left( {1-\frac{x}{l}} \right)\frac{x}{l}}&{{{\left( {1-\frac{x}{l}} \right)}^2}} \end{array}} \right]$

Benötigte Integrale:

$\int_0^l {{{\left( {1-\frac{x}{l}} \right)}^2}dx} = \left[ {-\frac{l}{3}{{\left( {1-\frac{x}{l}} \right)}^3}} \right]_0^l = \frac{l}{3}$

$\int_0^l {\left( {1-\frac{x}{l}} \right)\frac{x}{l}dx} = \left[ {\frac{1}{2}\frac{{{x^2}}}{l}-\frac{1}{3}\frac{{{x^3}}}{{{l^2}}}} \right]_0^l = \frac{l}{6}$

Wir erhalten also für die Elementmassenmatrix:

$\left[ {{m^e}} \right] = \rho Al\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{3}}&{\frac{1}{6}} \\ {\frac{1}{6}}&{\frac{1}{3}} \end{array}} \right] = \frac{{\rho Al}}{6}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1 \\ 1&2 \end{array}} \right]$

Nun fehlt noch der Vektor $\left\{ r \right\}$ . Für diesen gilt:

$\left\{ r \right\} = \left\{{{F^*}} \right\}+\int_0^l {{{\left[ H \right]}^T}\left[ H \right]dx} \left\{{\hat q} \right\}$

$\quad = \left\{{{F^*}} \right\}+\frac{l}{6}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1 \\ 1&2 \end{array}} \right]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{q_1}} \\ {{q_2}} \end{array}} \right\}$

$\quad \Rightarrow \quad \left\{ r \right\} = \left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{F_1^*} \\ {F_2^*} \end{array}} \right\}+\frac{l}{6}\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{2{q_1}+{q_2}} \\ {{q_1}+2{q_2}} \end{array}} \right\}$

Damit lauten die Bewegungsgleichungen:

$\left[ {{m^e}} \right]\left\{{\ddot {\hat u}} \right\}+\left[ {{k^e}} \right]\left\{{\hat u} \right\} = \left\{ r \right\}$

$\frac{{\rho Al}}{6}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1 \\ 1&2 \end{array}} \right]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{{\ddot u}_1}} \\ {{{\ddot u}_2}} \end{array}} \right\}+\frac{{EA}}{l}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{-1} \\ {-1}&1 \end{array}} \right]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}} \\ {{u_2}} \end{array}} \right\} = \left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{F_1^*+\frac{l}{6}\left( {2{q_1}+{q_2}} \right)} \\ {F_2^*+\frac{l}{6}\left( {{q_1}+2{q_2}} \right)} \end{array}} \right\}$

Dies sind zwei gekoppelte Differentialgleichungen für die beiden Knotenpunktverschiebungen. Die Bewegungsgleichung ist nur räumlich diskretisiert.

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