Elastizitätstheorie

 

Dehnung

Längsdehnung (unter Zug positiv):

\varepsilon_n = \frac{\Delta l}{l_0} = \alpha \cdot \Delta T

Querdehnung (unter Zug negativ):

\varepsilon_s = \frac{\Delta b}{b_0} = \alpha \cdot \Delta T

Spannung:

\sigma = E\cdot \varepsilon

Scherung

Scherung für kleine Winkel:

\frac{\omega}{l_0} = tan(\gamma) \approx \gamma

Spannung:

\tau = G\cdot\gamma

Kompression

Volumenänderung bei allseitigem Druck:

-\frac{\Delta V}{V} = \frac{\sigma}{K}

Spannug:

\sigma = -K\cdot \frac{\Delta V}{V}

Bestimmung der elastischen Konstanten

Bestimmung der elastischen Konstanten bei der Drillung eines Hohlzylinders:

\tau = G\gamma \quad ; \quad \gamma = \frac{\varphi r}{l} \quad ; \quad \tau = \frac{dF}{dA}\quad ; \quad dF = \frac{dT}{r} \quad ; \quad dA = r\cdot dr\cdot d\theta

Alles zusammen ergibt:

G = \frac{\tau}{\gamma} = \frac{\tau l}{r\varphi} = \frac{l\cdot dF}{r\cdot\varphi\cdot dA} \quad \quad \Rightarrow \quad \quad dF = \frac{G \cdot r\cdot \varphi\cdot dA}{l}

\Rightarrow \quad dT = r\cdot \frac{G \cdot r\cdot \varphi}{l}\cdot r\cdot dr\cdot d\theta

\Rightarrow T = \frac{G\cdot r^4 \cdot \varphi \cdot 2\pi}{4l} \quad\Rightarrow\quad G = \frac{2 \cdot l\cdot T}{\pi\cdot r^4\cdot \varphi}