04.3 – elliptische Satellitenbahn um die Erde

 

Für eine Satellitenbahn um die Erde sei gegeben: große Halbachse a = 23000km, Exzentrizität e = 0,7

a )

Bestimmen Sie Perigäums- und Apogäumshöhe der Bahn!

b )

Wie groß sind spezifischer Drehimpuls h und spezifische Energie \varepsilon?

c )

Wie groß sind Abstand r, Geschwindigkeit v sowie radiale und transversale Geschwindigkeitskomponenten {v_r},\:{v_\theta } für die wahren Anomalien (Perigäumswinkel) \theta = 0^\circ ,\:45^\circ ,\:90^\circ ,\:135^\circ ,\:180^\circ?

d )

Bestätigen Sie durch Rechnung die Gültigkeit des so genannten „Hebelgesetzes“ {r_p}{v_p} = {r_A}{v_A}

e )

Berechnen Sie die erste und zweite kosmische Geschwindigkeit!

Lösung

Im Gegensatz zu vorherigen Aufgaben handelt es sich nun nicht mehr um eine Kreisbahn, sondern um eine Ellipse mit der Exzentrizität \varepsilon = 0,7 und der großen Halbachse a = 23 \cdot {10^6}m.

a )

Der kleinste und der größte Abstand von der Erde berechnet sich wie folgt:

{r_{peri}} = a\left( {1-e} \right) = 6900km

{r_{apo}} = a\left( {1+e} \right) = 39100km

rs-ellipsenbahn-parameter

b )

e = \sqrt {1-\frac{{{h^2}}}{{a\gamma M}}} \quad \Rightarrow \quad h = \sqrt {\left( {1-{e^2}} \right)a{\mu _E}}

h = \sqrt {\left( {1-{{0,7}^2}} \right) \cdot 23 \cdot {{10}^6}m \cdot 3,986 \cdot {{10}^{14}}\frac{{{m^3}}}{{{s^2}}}} = 6,85 \cdot {10^{10}}\frac{{{m^2}}}{s}

Aus der Vis-Viva Gleichung erhalten wir nun für die massenspezifische Energie:

\frac{{{v^2}}}{2}-\frac{\mu }{r} = \varepsilon = -\frac{\mu }{{2a}} = -8,7 \cdot {10^6}\frac{J}{{kg}}

c )

r = \frac{p}{{1+e\cos \left( \theta \right)}} = \frac{{a\left( {1-{e^2}} \right)}}{{1+e\cos \left( \theta \right)}},\quad \quad p = \frac{{{h^2}}}{{\gamma M}} = a\left( {1-{e^2}} \right)

{v^2} = {\mu _E}\left( {\frac{2}{r}-\frac{1}{a}} \right)\quad \Rightarrow \quad v = \sqrt {{\mu _E}\left( {\frac{2}{r}-\frac{1}{a}} \right)}

{v_r} = \dot r = \frac{{dr}}{{dt}} = \frac{{p\:e\:\dot \theta \sin \left( \theta \right)}}{{{{\left( {1+e\cos \left( \theta \right)} \right)}^2}}} = \frac{{p\:\dot \theta e\sin \left( \theta \right)}}{{\frac{{{p^2}}}{{{r^2}}}}} = \frac{{{r^2}\dot \theta e\sin \left( \theta \right)}}{p}\mathop = \limits^{{r^2}\dot \theta = h} \frac{{h\:e\sin \left( \theta \right)}}{p}

\mathop = \limits^{p = \frac{{{h^2}}}{\mu }} \frac{{e\sqrt {\mu p} \sin \left( \theta \right)}}{p} = e\sqrt {\frac{\mu }{p}} \sin \left( \theta \right) = e\sqrt {\frac{\mu }{{a\left( {1-{e^2}} \right)}}} \sin \left( \theta \right)

Es ergeben sich die Werte:

\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{\theta }{^\circ }} &\vline & 0 & {45} & {90} & {135} & {180} \\ \hline{\frac{r}{{km}}} &\vline & {6900} & {7846} & {11730} & {23227} & {39100} \\ \hline{\frac{v}{{\frac{{km}}{s}}}} &\vline & {9,91} & {9,18} & {7,12} & {4,12} & {1,749} \\ \hline{\frac{{{v_r}}}{{\frac{{km}}{s}}}} &\vline & 0 & {2,885} & {4,081} & {2,885} & 0 \\ \hline{\frac{{{v_\theta }}}{{\frac{{km}}{s}}}} &\vline & {9,91} & {8,715} & {5,829} & {2,944} & {1,749} \\  \end{array}

d )

Zu zeigen:

{r_P}{v_P} = {r_A}{v_A}

Im Perigäum und Apogäum verschwindet die Radialgeschwindigkeit: {v_r} = 0

Es ist also:

{v_P} = {v_\theta } = \frac{{\sqrt {p\mu } }}{r} = \frac{{\sqrt {{r_P}\left( {1+e\cos \left( {{\theta _P}} \right)} \right)\mu } }}{{{r_P}}} = \sqrt {\frac{{\left( {1+e} \right)\mu }}{{{r_P}}}}

{v_A} = {v_\theta } = \frac{{\sqrt {p\mu } }}{r} = \frac{{\sqrt {{r_A}\left( {1+e\cos \left( {{\theta _A}} \right)} \right)\mu } }}{{{r_A}}} = \sqrt {\frac{{\left( {1-e} \right)\mu }}{{{r_A}}}}

Durch Einsetzen erhalten wir die gesuchte Gleichung:

{r_P}{v_P} = \sqrt {{r_P}\left( {1+e} \right)\mu } \mathop = \limits^{{r_A} = \left( {1+e} \right)a} \sqrt {{r_P}\frac{{{r_A}}}{a}\mu }

= \sqrt {a\left( {1-e} \right)\frac{{{r_A}}}{a}\mu } = {r_A}\sqrt {\frac{{\left( {1-e} \right)\mu }}{{{r_A}}}} = {r_A}{v_A}

e )

Berechnung der 1. kosmischen Geschwindigkeit aus der Vis-Viva Gleichung:

\frac{{{v^2}}}{2}-\frac{\mu }{r} = -\frac{\mu }{{2a}}

Bei einer Kreisbahn mit Erdradius ergibt sich:

{v_1} = \sqrt {\frac{\mu }{r}} = \sqrt {\frac{\mu }{{{R_E}}}} = 7,91\frac{{km}}{s}

Für die zweite kosmische Geschwindigkeit (Fluchtgeschwindigkeit von der Erde) gilt:

\frac{{{v^2}}}{2}-\frac{\mu }{r} = -\frac{\mu }{{2a}}\mathop = \limits^{a \to \infty } 0

{v_2} = \sqrt {\frac{{2\mu }}{r}} = \sqrt {\frac{{2\mu }}{{{R_E}}}} = 11,2\frac{{km}}{s} = \sqrt 2 {v_1}