Beispiel: Empirische Verteilungsfunktion

 

Empirie bezeichnet in der Wissenschaft eine durchgeführte Sammlung von Informationen, die auf gezielten Beobachtungen beruhen. Ergebnissen solcher Beobachtungen nennt man empirische Daten.

Bei der Empirischen Verteilungsfunktion stellt man die Verteilungsfunktion auf Grundlage einer Stichprobe auf.

Beispiel

Sei \left( {1,-1,3,-2,4,-2} \right) die Realisierung einer Stichprobe vom Umfang n = 6

Damit ergibt sich folgende empirische Verteilungsfunktion:

F_n \left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}    0 & {x < -2}  \\     {\frac{2} {6}} & {-2 \leq x < -1}  \\     {\frac{3} {6}} & {-1 \leq x < 1}  \\     {\frac{4} {6}} & {1 \leq x < 3}  \\     {\frac{5} {6}} & {3 \leq x < 4}  \\     {\frac{6} {6}} & {x \geq 4}  \\   \end{array} } \right.

Grafik

Je größer nun der Umfang der Stichprobe gewählt wird, desto genauer nähert sich die empirische Verteilungsfunktion der tatsächlichen Verteilungsfunktion an.
Das heißt, die empirische Verteilungsfunktion konvergiert (außerhalb einer P-Nullmenge) gleichmäßig gegen die „wahre“ Verteilungsfunktion.

Also:

F_n \left( x \right)\xrightarrow[{n \to \lambda }]{}F\left( x \right)\quad f.s. und

P\left( {X_i  \leq x} \right) = F\left( x \right)

(λ ist das Lebesguemaß der Gesamtmenge)

Bemerkung

\forall x \in \mathbb{R}:F_n \left( x \right) = \frac{1} {n} \cdot  \sum\limits_{i = 1}^n {\mathbb{I}_{\left\{ {X_i  \leq x} \right\}} }

\mathbb{I} ist hier eine Indikatorfunktion.

In unserem Beispiel gilt:

\begin{array}{*{20}c}    i &\vline &  1 &\vline &  2 &\vline &  3 &\vline &  4 &\vline &  5 &\vline &  6  \\ \hline    {X_i } &\vline &  1 &\vline &  {-1} &\vline &  3 &\vline &  {-2} &\vline &  4 &\vline &  {-2}  \\   \end{array}

F_n \left( 2 \right) = \frac{1} {6} \cdot  \sum\limits_{i = 1}^n {\mathbb{I}_{\left\{ {X_i  \leq 2} \right\}} }  = \frac{1} {6} \cdot  \left( {\mathbb{I}_{\left\{ {X_1  \leq 2} \right\}} +\mathbb{I}_{\left\{ {X_2  \leq 2} \right\}} +\mathbb{I}_{\left\{ {X_3  \leq 2} \right\}} +\mathbb{I}_{\left\{ {X_4  \leq 2} \right\}} +\mathbb{I}_{\left\{ {X_5  \leq 2} \right\}} +\mathbb{I}_{\left\{ {X_6  \leq 2} \right\}} } \right)

= \frac{1} {6} \cdot  \left( {\underbrace {\mathbb{I}_{\left\{ {1 \leq 2} \right\}} }_1+\underbrace {\mathbb{I}_{\left\{ {-1 \leq 2} \right\}} }_1+\underbrace {\mathbb{I}_{\left\{ {3 \leq 2} \right\}} }_0+\underbrace {\mathbb{I}_{\left\{ {-2 \leq 2} \right\}} }_1+\underbrace {\mathbb{I}_{\left\{ {4 \leq 2} \right\}} }_0+\underbrace {\mathbb{I}_{\left\{ {-2 \leq 2} \right\}} }_1} \right)

= \frac{1} {6} \cdot  \left( {1+1+0+1+0+1} \right) = \frac{4} {6} = \frac{2} {3}

\mathcal{J}\mathcal{K}