U03.2 – Empirische Verteilungsfunktion

 

Für alle n \in \mathbb{N} sei \left( {X_1 , \ldots ,X_n } \right) eine (einfache) Bernoulli-Stichprobe vom Umfang n mit
Parameter p = 0.8 und für alle x \in \mathbb{R}\quad F_n \left( x \right) die empirische Verteilungsfunktion dieser
Stichprobe an der Stelle x.
Gegen welchen Wert konvergiert (fast sicher) Fn(0.8) bzw. Fn(0.2) für n \to \infty?

Lösung

\forall n:F_n \left( x \right) = \frac{1} {n} \cdot  \sum\limits_{i = 1}^n {\mathbb{I}_{\left\{ {X_i  \leq x} \right\}} }

\forall x \in \mathbb{R}:F_n \left( x \right)\xrightarrow[{n \to \infty }]{{f.s.}}F\left( x \right), wobei F die Verteilungsfunktion von Xi ist.

Da es sich hier um einen Beroulliversuch handelt, gibt es nur zwei mögliche Ausgänge: Erfolg (1) und Misserfolg (0)

F_n \left( x \right) = P\left( {X_i  \leq {\text{x}}} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}    0 & {x < 0}  \\    {0.2} & {0 \leq x < 1}  \\    1 & {x \geq 1}  \\   \end{array} } \right.

In Worten:
Die Wahrscheinlichkeit dafür, weniger als das Ereignis “Misserfolg” zu haben ist 0
Die Wahrscheinlichkeit dafür, mindestens einen Misserfolg und keinen Erfolg zu haben ist 0.2
Die Wahrscheinlichkeit dafür, mindestens das Ereignis “Erfolg” (also inkl. Misserfolg) zu haben ist 1.

Grafik

Daher gilt:

F_n \left( {0.2} \right) \to F\left( {0.2} \right) = 0.2

F_n \left( {0.8} \right) \to F\left( {0.8} \right) = 0.2

\mathcal{J}\mathcal{K}

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