U03.2 – Empirische Verteilungsfunktion

Für alle $n \in \mathbb{N}$ sei $\left( {X_1 , \ldots ,X_n } \right)$ eine (einfache) Bernoulli-Stichprobe vom Umfang n mit
Parameter p = 0.8 und für alle $x \in \mathbb{R}\quad F_n \left( x \right)$ die empirische Verteilungsfunktion dieser
Stichprobe an der Stelle x.
Gegen welchen Wert konvergiert (fast sicher) F_n(0.8) bzw. F_n(0.2) für $n \to \infty$ ?

Lösung

$\forall n:F_n \left( x \right) = \frac{1} {n} \cdot \sum\limits_{i = 1}^n {\mathbb{I}_{\left\{ {X_i \leq x} \right\}} }$

$\forall x \in \mathbb{R}:F_n \left( x \right)\xrightarrow[{n \to \infty }]{{f.s.}}F\left( x \right)$ , wobei F die Verteilungsfunktion von X_i ist.

Da es sich hier um einen Beroulliversuch handelt, gibt es nur zwei mögliche Ausgänge: Erfolg (1) und Misserfolg (0)

$F_n \left( x \right) = P\left( {X_i \leq {\text{x}}} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} 0 & {x < 0} \\ {0.2} & {0 \leq x < 1} \\ 1 & {x \geq 1} \\ \end{array} } \right.$

In Worten:
Die Wahrscheinlichkeit dafür, weniger als das Ereignis “Misserfolg” zu haben ist 0
Die Wahrscheinlichkeit dafür, mindestens einen Misserfolg und keinen Erfolg zu haben ist 0.2
Die Wahrscheinlichkeit dafür, mindestens das Ereignis “Erfolg” (also inkl. Misserfolg) zu haben ist 1.

Grafik