v02 – Entdimensionalisierung und klassische Lösung

 

In den meisten der in der Einführung aufgeführten Modellgleichungen sind die Koeffizienten auf 1 normalisiert. Im Allgemeinen treten in den Gleichungen noch Zahlen (konstante Koeffizienten) oder Funktionen (variable Koeffizienten) auf.
Die unbekannte Funktion u sowie die unabhängigen Variablen x (Ort) und t (Zeit) haben im Allgemeinen eine physikalische Einheit. Die Koeffizienten werden deshalb benötigt, damit die Einheiten passen:

\frac{{\partial u}} {{\partial t}}-a\frac{{\partial u}} {{\partial x}} = 0

Hier ist der Koeffizient a eine Geschwindigkeit.

Für die mathematische Betrachtung ist es oft sinnvoll, die auftretenden Größen dimensionslos zu machen. ist zum Beispiel x \in \left] {0,L} \right[ und t \in \left] {0,T} \right[, dann sind die neuen Variablen \tilde x: = \frac{x} {L} und \tilde t: = \frac{t} {T} dimensionslos und variieren im Intervall \left] {0,1} \right[.

Schreibt man die Differentialgleichung in dimensionslose Variablen um, dann entstehen dimensionslose Koeffizienten, die von L,T, \ldots abhängen. Bekannte Beispiele sind die Machzahl und die Reynolds-Zahl.

Spezielle Schwierigkeiten treten meist auf, wenn diese Koeffizienten besonders groß oder besonders klein werden. Wir wollen hier darauf aber nicht eingehen und stets von moderater Größenordnung ausgehen. Deshalb setzt man sehr oft der Einfachkeit halber gleich 1.

Schwierigkeit von Differentialgleichungen

Als Merkregel gilt:

  • Lineare DGLs sind einfacher zu behandeln als nicht-lineare. Je höher die Nichtlinearität, desto schwieriger ist die Gleichung zu lösen.
  • Je höher die Ordnung der DGL, desto schwieriger
  • Systeme von DGLs sind schwieriger als skalare Gleichungen.
  • Je mehr unabhängige Variablen, desto schwieriger.

Bei jeder Aussage gibt es aber Ausnahmen!

Lösung einer DGL

Definition:

Eine k-mal stetig differenzierbare Funktion heißt klassische Lösung der Differentialgleichung Lu=f von der Ordnung k, wenn Lu-f die Nullfunktion ist.

Beispiel 1

Man überprüfe, für welche \lambda \in \mathbb{R} die Funktion

u\left( {x,t;\lambda } \right) = {e^{-{\lambda ^2}t}}\sin \left( {\lambda x} \right)

Lösung der Partiellen Differentialgleichung

{\partial _t}u-{\partial _{xx}}u = 0

ist. Konstruieren Sie weitere Lösungen.

Lösung

Ableitung nach der Zeit:

{\partial _t}u = -{\lambda ^2}{e^{-{\lambda ^2}t}}\sin \left( {\lambda x} \right)

Ableitungen nach dem Ort:

{\partial _x}u = \lambda {e^{-{\lambda ^2}t}}\cos \left( {\lambda x} \right)

{\partial _{xx}}u = -{\lambda ^2}{e^{-{\lambda ^2}t}}\sin \left( {\lambda x} \right)

Wir sehen: {\partial _t}u-{\partial _{xx}}u = 0\quad \forall \lambda \in \mathbb{R}

Weitere Lösungen sind (unter anderem):

u = {e^{-{\lambda ^2}t}}\cos \left( {\lambda x} \right)

u = {e^{{\lambda ^2}t}}{e^{\lambda x}}

u = {\alpha _1}{e^{-\lambda _1^2t}}\sin \left( {{\lambda _1}x} \right)+{\alpha _2}{e^{-\lambda _2^2t}}\sin \left( {{\lambda _2}x} \right)

\sum\limits_{i = 1}^\infty {{\alpha _i}{e^{-\lambda _i^2t}}\sin \left( {{\lambda _i}x} \right)}

\int_{{\lambda _1}}^{{\lambda _2}} {\alpha \left( \lambda \right){e^{-{\lambda ^2}t}}\sin \left( {\lambda x} \right)d\lambda }

Beispiel 2

Man finde Lösungen u\left( {x,y} \right) der PDGL {\partial _{xy}} = 0

Lösung

Integrieren nach x:

{\partial _y}u = f\left( y \right)

Integrieren nach y:

u\left( {x,y} \right) = F\left( y \right)+G\left( x \right),\quad F^{\prime} = f

Beispiel 3

Man überprüfe, dass

u\left( {x,y} \right) = \ln \left( {{x^2}+{y^2}} \right)

und

u\left( {x,y,z} \right) = \sqrt {{x^2}+{y^2}+{z^2}}

die Laplace-Gleichung \Delta u = 0 erfüllt.

Lösung in kartesischen Koordinaten

Ableitungen nach x:

{\partial _x}u = \frac{{2x}} {{{x^2}+{y^2}}}

{\partial _{xx}}u = \frac{{2\left( {{x^2}+{y^2}} \right)-2x2x}} {{{{\left( {{x^2}+{y^2}} \right)}^2}}} = \frac{{2\left( {{x^2}-{y^2}} \right)}} {{{{\left( {{x^2}+{y^2}} \right)}^2}}}

Ableitungen nach y:

{\partial _{yy}}u = \frac{{2\left( {{y^2}-{x^2}} \right)}} {{{{\left( {{x^2}+{y^2}} \right)}^2}}}

Also ist die Laplacegleichung erfüllt.

Schockwellen und wohlgestellte Probleme

In der Fluiddynamik kommt es oft zu Schockwellen, d.h. es treten unstetige Funktionen auf, die Lösung von PDGLs (den Erhaltungsgleichungen) sein sollen. Nach unserer Definition können das aber keine klassischen Lösungen sein.
Zu diesem Zweck müssen Verallgemeinerungen definiert werden.

Definition:

Nach Hadamard ist ein Problem wohlgestellt (engl. “well posed”), wenn

  • es eine Lösung besitzt
  • diese eindeutig ist
  • die Lösung stetig von den Daten abhängt