5 – Entwurf digitaler Regler im Zustandsraum

5.1 Aufgabe und Struktur des zeitdiskreten Zustandsreglers

Gegeben ist ein zeitdiskretes Zustandsraummodell

${{\vec x}_{k+1}} = A{{\vec x}_k}+\vec b{u_k},\quad \quad {{\vec x}_0} \in {\mathbb{R}^n}\:\:{\text{bekannt}}$

${{\text{y}}_k} = {{\vec c}^T}{{\vec x}_k}+d{u_k}$

Anmerkung: Bei physikalischen Regelstrecken mit Tiefpassverhalten ist $d = 0$ .

Es soll nun ein digitaler Regler entworfen werden.

5.1.1 Spezifizieren des dynamischen und stationären Verhaltens des Regelkreises

Wünsche bezüglich der Dynamik führen zur Vorgabe von $n$ Zahlen $\overline {{\lambda _i}}$ im Einheitskreis der komplexen z-Ebene. Dabei ist $\overline {{\lambda _i}}$ der i-te Wunsch-Eigenwert des Abtastregelkreises.

Im stationären Zustand sei der Langzeitlimes der Ausgangsgröße gleich dem Langzeitlimes der Führungsgröße, also

$\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {y_k}\mathop = \limits^! \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {r_k}$ .

Dies entspricht der Forderung nach stationärer Genauigkeit.

sprungantwort-geschlossener-regelkreis-pid-stationare-genauigkeit

5.1.2 Festlegen der Regelkreisstruktur

Als Regelkreisstruktur wählen wir einen zeitdiskreten Zustandsregler mit Vorfilter:

zeitdiskreter-zustandsregler-vorfilter-ruckfuhrung

Dabei sind die Parameter $V$ und ${\vec h^T}$ frei wählbar, aber bekannt (Entwurfsgrößen). Die dargestellte Zustandsrückführung setzt voraus, dass alle $n$ Zustandsvariablen gemessen werden können.

Aus dem Zustandsdiagramm ist ablesbar:

${u_k} = -{\vec h^T}{\vec x_k}+V{r_k}$

Dies setzen wir nun in das Strecken-Zustandsmodell ein und erhalten die Zustandsbeschreibung des Abtastregelkreises:

${\vec x_{k+1}} = \underbrace {\left( {A-\vec b{{\vec h}^T}} \right)}_{ = :\bar A}{\vec x_k}+\vec bV{r_k},\quad \quad {y_k} = {\vec c^T}{\vec x_k}$

Dabei ist $\bar A$ die Systemmatrix des Regelkreises und $\vec bV$ der Vektor, der die Führungsgröße ${r_k}$ in die Zustandsdynamik einkoppelt.

Die Zustandsdynamik des Abtastregelkreises legt folgende Aufgabenteilung zwischen dem Vorfilter $V$ und dem Vektor $\vec h$ im Rückkoppelungszweig nahe:

Der vektorwertige Parameter $\vec h$ ist beim Entwurf so festzulegen, dass der Wunsch bezüglich der Dynamik erfüllt wird, d.h. dass die Eigenwerte der Regelkreis-Systemmatrix $\bar A:\left( {A-\vec b{{\vec h}^T}} \right)$ beliebig vorgegebene Werte $\overline {{\lambda _i}}$ annehmen.
Der skalare Parameter $V$ ist so einzustellen, dass der Regelkreis stationär genau ist.

Zunächst brauchen wir also Leitlinien für die sinnvolle Wahl von Regelkreis-Eigenwerten $\overline {{\lambda _i}}$ .

5.2 Dominierendes Eigenwertpaar und Regelkreisverhalten

Wir betrachten einen zeitkontinuierlichen Regelkreis. Falls der Regelkreis ein dominierendes Polpaar besitzt (d.h. ein konjugiert komplexes Polpaar, das im Pol-Nullstellen-Bild weit rechts von allen anderen Polen liegt), kann seine Führungsübertragungsfunktion näherungsweise als “PT₂-Verhalten mit Verstärkung 1″ beschrieben werden, d.h.

$T\left( s \right) = \frac{1}{{1+2d\frac{s}{{{\omega _0}}}+{{\left( {\frac{s}{{{\omega _0}}}} \right)}^2}}}$ ,

wobei die Parameter $d$ (Dämpfung) und ${\omega _0}$ über die Gleichung

${s_{1,2}} = \underbrace {-d{\omega _0}}_{\operatorname{Re} } \pm j \cdot \underbrace {{\omega _0}\sqrt {1-{d^2}} }_{\operatorname{Im} }$

mit der Lage des dominierenden Polpaars zusammenhängen:

regelkreis-eigenwerte-komplex-konjugiert-verhalten-winkel-betrag

Im Rahmen dieser PT₂-Näherung gilt für die Beruhigungszeit:

${T_{5\% }} \approx \frac{3}{{\operatorname{Re} \left\{ {{s_1}} \right\}}} = \frac{3}{{d{\omega _0}}}\quad \Rightarrow \quad d{\omega _0} = \frac{3}{{{T_{5\% }}}}$

Die Beruhigungszeit ist dabei die Zeit, ab der die Sprungantwort des Regelkreises einen Korridor der Breite $\pm 5\%$ um den Sollwert 1 nicht mehr verlässt. Beim Reglerentwurf ist eine Beruhigungszeit vorgegeben, die nicht überschritten werden soll:

$\Rightarrow \quad d{\omega _0}\mathop \geq \limits^! \frac{3}{{{T_{5\% ,\max }}}}$

Der Betrag des Überschwingens der Sprungantwort wird als Überschwingweite $\Delta h$ beschrieben. Es gilt:

$\Delta h = \exp \left\{ {-\pi \frac{d}{{\sqrt {1-{d^2}} }}} \right\} = \exp \left\{ {-\pi \cot {\phi _d}} \right\}$

Die Überschwingweite hängt also nur vom Winkel ${\phi _d}$ ab. Für kleine Winkel gibt es nur eine kleine Überschwingweite, also eine starke Dämpfung, z.B.

${\phi _d} = 45^\circ \quad \Rightarrow \quad \Delta h \approx 5\%$

${\phi _d} = 53^\circ \quad \Rightarrow \quad \Delta h \approx 10\%$

Wenn ein kontinuierlicher Regelkreis mit der Abtastzeit $T$ abgetastet wird, folgt für das dominierende Polpaar des zugehörigen zeitdiskreten Regelkreises (also des zugehörigen Abtastsystems):

${z_{1,2}} = {e^{{s_{1,2}}T}} = {e^{\operatorname{Re} \left\{ {{s_1}} \right\}T}}{e^{ \pm j\operatorname{Im} \left\{ {{s_1}} \right\}T}}$

Anmerkung: Dies gilt allerdings nicht, wenn das dominierende Eigenwertpaar nicht steuer- oder beobachtbar ist.

Damit eine vorgegebene Beruhigungszeit ${T_{5\% }}$ des zeitdiskreten Regelkreises nicht überschritten wird, müssen die Wunsch-Eigenwerte $\overline {{\lambda _i}}$ der Regelkreis-Systemmatrix also in einem Kreis mit dem Radius

$r = \exp \left\{ {-\frac{3}{{{T_{5\% }}}}T} \right\}$

liegen. Die Forderung nach einer vorgegebenen Mindestdämpfung (bzw. maximaler Überschwingweite) des zeitdiskreten Regelkreises führt dazu, dass die Wunsch-Eigenwerte des Abtastsystems im “herzförmigen Gebiet” in der z-Ebene liegen.

Vergleich von s-Ebene und z-Ebene:

mindestdampfung-uberschwingweite-ebene-herzformiges-gebiet

5.3 Eigenwertvorgabe nach Ackermann

Nach der Festlegung der Wunsch-Eigenwerte $\overline {{\lambda _i}} ,\:\:i = 1, \ldots ,n$ des Abtastregelkreises müssen wir nun ${\vec h^T} = \left( {{h_1},{h_2}, \ldots ,{h_n}} \right)$ so festlegen (entwerfen), dass die Regelkreis-Systemmatrix $\bar A: = \left( {A-\vec b{{\vec h}^T}} \right)$ auch tatsächlich diese Eigenwerte besitzt.

Mathematisch gesehen ist diese Aufgabe identisch zur Eigenwertvorgabe mittels Zustandsrückführung bei zeitkontinuierlichen Systemen. Wir stellen nun die Verfahrensschritte vor.

5.3.1 Berechnung der diskreten Steuerbarkeitsmatrix

Für die Steuerbarkeitsmatrix ${S_S}$ gilt

${S_S} = \left( {\vec b|A\vec b| \ldots |{A^{n-1}}\vec b} \right)$ .

Falls der Rang dieser Matrix gleich $n$ ist, also wenn $\det \left\{ {{S_S}} \right\} \ne 0$ , so können durch geeignete Wahl von ${\vec h^T}$ beliebige Wunsch-Eigenwerte $\overline {{\lambda _i}}$ realisiert werden, d.h. dann ist die Aufgabe der Eigenwertvorgabe lösbar.

5.3.2 Invertieren der Steuerbarkeitsmatrix

Wir brauchen die letzte Zeile der invertierten Steuerbarkeitsmatrix, also

${\vec q^T} = \left( {0,\: \ldots ,0,\:1} \right)S_S^{-1}$

Für die numerische Bestimmung von ${\vec q^T}$ bei großer Systemordnung sollte man nicht die ganze Systemmatrix invertieren, da dies sehr aufwendig ist.

Stattdessen transponieren wir die Gleichung:

$\vec q = {\left( {S_S^{-1}} \right)^T}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ \end{array} } \right)$

Nun multiplizieren wir von links mit $S_S^T$ :

$S_S^T\vec q = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ \end{array} } \right)$

Der gesuchte Vektor $\vec q$ kann also als Lösung dieses linearen Gleichungssystems bestimmt werden.

5.3.3 Charakteristisches Wunschpolynom

Das charakteristische Polynom des Abtastregelkreises soll die Werte $\overline {{\lambda _i}}$ als Nullstellen besitzen, also von der Form

$W\left( \lambda \right) = \prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\lambda -\overline {{\lambda _i}} } \right)}$

sein. Dies ist das charakteristische Wunschpolynom. Ausmultiplizieren liefert:

$W\left( \lambda \right) = {\lambda ^n}+{w_{n-1}}{\lambda ^{n-1}}+ \ldots +{w_1}\lambda +{w_0}$

5.3.4 Ersetzen der skalaren Variable durch die Systemmatrix

Wir ersetzen im charakteristischen Wunschpolynom die skalare Variable $\lambda$ durch die diskrete Systemmatrix $A$ :

$W\left( A \right) = {A^n}+{w_{n-1}}{A^{n-1}}+ \ldots +{w_1}A+{w_0}I$

5.3.5 Berechnung der Zustandsrückführung

Die gesuchte Zustandsrückführung ${\vec h_T}$ , die dafür sorgt, dass der Abtastregelkreis die Wunsch-Eigenwerte besitzt, lautet:

${\vec h^T} = {\vec q^T} \cdot W\left( A \right)$

Dies ist die Ackermann-Formel.

5.4 Stationäres Verhalten, Berechnung des Vorfilters

Ziel: Für eine Führungsfolge (Referenzfolge) ${r_k}$ , die gegen einen Grenzwert ${r_\infty } = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {r_k}$ strebt, soll gelten:

${y_\infty } = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {y_k}\mathop = \limits^! {r_\infty }$ .

Um dies zu erreichen, muss der Zustandsvektor ${\vec x_k}$ einen konstanten Wert ${\vec x_\infty } = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {\vec x_k}$ anstreben. Dieser Zustand wird stationärer Zustand genannt.

Einsetzen von ${\vec x_\infty }$ in die Zustandsgleichung des Regelkreises ergibt die Forderung

${\vec x_\infty } = \left( {A-\vec b{{\vec h}^T}} \right){\vec x_\infty }+\vec bV{r_\infty }\quad \Rightarrow \quad \underbrace {\left[ {I-\left( {A-\vec b{{\vec h}^T}} \right)} \right]}_{\hat A}{\vec x_\infty } = \vec bV{r_\infty }$ .

Wenn die Matrix $\hat A$ nicht invertierbar wäre, würde gelten:

$\det \left\{ {I-\left( {A-\vec b{{\vec h}^T}} \right)} \right\} = 0$

Dann hätte das charakteristische Polynom

$\det \left\{ {\lambda I-\left( {A-\vec b{{\vec h}^T}} \right)} \right\}$

des Regelkreises eine Nullstelle bei $\lambda = 1$ und der Regelkreis hätte einen Eigenwert bei $\lambda = 1$ , was im Widerspruch zur geforderten und per Eigenwertvorgabe erzwungenen asymptotischen Stabilität des Regelkreises stünde. Daraus folgt, dass die Matrix $\hat A$ invertierbar (regulär) ist. Der stationäre Zustand ergibt sich somit als

${\vec x_\infty } = {\left[ {I-\left( {A-\vec b{{\vec h}^T}} \right)} \right]^{-1}}\vec bV{r_\infty }$

mit dem zugehörigen stationären Ausgangswert:

${y_\infty } = {\vec c^T}{\vec x_\infty } = {\vec c^T}{\left[ {I-\left( {A-\vec b{{\vec h}^T}} \right)} \right]^{-1}}\vec bV{r_\infty }\mathop = \limits^! {r_\infty }$

Damit diese Forderung erfüllt ist, muss gelten:

${\vec c^T}{\left[ {I-\left( {A-\vec b{{\vec h}^T}} \right)} \right]^{-1}}\vec bV = 1\quad \Rightarrow \quad V = \frac{1}{{{{\vec c}^T}{{\left[ {I-\left( {A-\vec b{{\vec h}^T}} \right)} \right]}^{-1}}\vec b}}$

Somit haben wir den Wert für den Vorfilter (Verstärkungsfaktor) $V$ .

Beachte:

Obige Berechnung von $V$ setzt voraus, dass ${\vec c^T}{\left[ {I-\left( {A-\vec b{{\vec h}^T}} \right)} \right]^{-1}}\vec b \ne 0$ gilt, da es ansonsten zu einer Division durch 0 kommt. Diese Forderung ist dann erfüllt, wenn die z-Führungsübertragungsfunktion des Regelkreises

${G_{R \to Y}}\left( z \right) = T\left( z \right) = {\vec c^T}{\left[ {zI-\left( {A-\vec b{{\vec h}^T}} \right)} \right]^{-1}}\vec bV$

keine Nullstelle bei $z = 1$ hat.

Nun gilt aber analog zur zeitkontinuierlichen Zustandsrückführung mit Vorfilter, dass die Nullstellen der z-Führungsübertragungsfunktion mit den Nullstellen der z-Streckenübertragungsfunktion

$G\left( z \right) = {\vec c^T}{\left[ {zI-A} \right]^{-1}}\vec b$

übereinstimmen. Die statische Genauigkeit ist also durch obigen Vorfilter-Entwurf genau dann erzielbar, wenn die z-Streckenübertragungsfunktion keine Nullstelle bei $z = 1$ hat, d.h. wenn gilt:

$G\left( {z = 1} \right) = {\vec c^T}{\left( {I-A} \right)^{-1}}\vec b \ne 0$ .

5.5 Regler mit endlicher Einstellzeit (Dead-Beat Controller)

Anforderung an die Regelgüte:

Es wird angenommen, dass die Führungsgröße ${r_k}$ über einen längeren Zeitraum konstant ist und somit als ${r_k} = F$ modelliert werden kann, und es wird gefordert, dass die Regelgröße (Ausgangsgröße) ${y_k}$ den geforderten Wert nach $n$ Abtastschritten annimmt:

${y_k} = \bar r,\quad k \geq n$

dead-beat-controller-endliche-einstellzeit-steuerbarkeit

Dabei ist $n$ die Anzahl der Zustandskomponenten. Die kontinuierliche Ausgangsgröße $y\left( t \right)$ der Strecke soll dabei ab dem Zeitpunkt $nT$ auch zwischen den Abtastzeitpunkten den Wert $\bar r$ der Führungsgröße annehmen.

Ein Regler, der das leistet, bringt die Regelgröße in endlicher Zeit auf den geforderten Wert, daher der Name “Regler mit endlicher Einstellzeit”. Die internationale Bezeichnung lautet “Dead-Beat Controller” (Regelabweichung wird “totgeschlagen”).

5.5.1 Entwurfsweg

Eine Zustandsrückführung mit Vorfilter soll als Dead-Beat Controller ausgelegt werden. Betrachte zunächst den Spezialfall $\bar r = 0$ :

${y_n} = {\vec c^T}{\vec x_n}\mathop = \limits^! 0$

Dies ist erfüllt, wenn

${\vec x_n} = {\underbrace {\left( {A-\vec b{{\vec h}^T}} \right)}_{ = :\bar A}^n}{\vec x_0}+\vec 0\mathop = \limits^! 0$

Es bleibt also nur die freie Bewegung des Regelkreises, da wegen ${r_k} = \bar r = 0$ auch die erzwungene Bewegung der Nullvektor ist. Die Bedingung soll für beliebige Anfangszustände ${\vec x_0}$ erfüllt sein, daher muss gelten:

${\bar A^n}\mathop = \limits^! 0$ (Nullmatrix)

Dies wird erreicht durch folgende Eigenwertvorgabe für Dead-Beat-Controller:

${\bar \lambda _1} = {\bar \lambda _2} = \ldots = {\bar \lambda _n} = 0$

5.5.2 Begründung

Das charakteristische Wunschpolynom des Regelkreises lautet dann:

${P_{\bar A}}\left( \lambda \right) = W\left( \lambda \right) = \prod\limits_{i = 1}^n {\left( {\lambda -{{\bar \lambda }_i}} \right)} = {\lambda ^n}$

Das Cayley-Hamilton Theorem besagt, dass sich die Nullmatrix ergibt, wenn wir im charakteristischen Polynom ${P_{\bar A}}\left( \lambda \right)$ einer Matrix $\bar A$ die Variable $\lambda$ durch die Matrix $\bar A$ selber ersetzen, also hier:

${P_{\bar A}}\left( \lambda \right) = {\lambda ^n}\quad \Rightarrow \quad {P_{\bar A}}\left( {\bar A} \right) = {\bar A^n}\mathop = \limits^{Cayley-Hamilton} 0$ .

Bestimmen der Zustandsrückführung ${\vec h^T}$ aus der Ackermannformel:

$W\left( \lambda \right) = {\lambda ^n}\quad \Rightarrow \quad W\left( A \right) = {A^n}$

$\Rightarrow \quad {{\vec h}^T} = {{\vec q}^T}W\left( A \right) = {{\vec q}^T}{A^n}$

Dabei ist ${\vec q^T}$ wieder die letzte Zeile der invertierten Steuerbarkeitsmatrix $S_S^{-1}$ .

Dieser Entwurf für den Spezialfall $\bar r = 0$ ist auch korrekt für $\bar r \ne 0$ . Die Verstärkung $V$ des Vorfilters muss dann für stationäre Genauigkeit sorgen, d.h. gewählt werden als

$V = \frac{1}{{{{\vec c}^T}{{\left[ {I-\left( {A-\vec b{{\vec h}^T}} \right)} \right]}^{-1}}\vec b}}$ .

Zusammenfassung:

Ein Dead-Beat Regelkreis folgt einer sprungförmigen Änderung der Führungsgröße nach (höchstens) $n$ Abtastzeitpunkten
Die freie Bewegung des Regelkreises ist nach $n$ Abtastzeitpunkten vollständig abgeklungen
Impulsförmige Störungen werden innerhalb von $n$ Abtastzeitpunkten abgebaut

5.5.3 Bemerkungen

a)

Eine endliche Einstellzeit kann nur durch eine zeitdiskrete Regelung (wesentlich: $\vec x$ wird nur zu diskreten Zeitpunkten rückgeführt!) erreicht werden. Dagegen können wir mit zeitkontinuierlichen (Zustands-)Reglern nur asymptotisch stabile Regelkreise entwerfen, bei denen $\vec x\left( t \right)$ für $t \to \infty$ nach $\vec 0$ strebt.

b)

Die endliche Einstellzeit beruht darauf, dass für die Systemmatrix des Regelkreises $\bar A = \left( {A-\vec b{{\vec h}^T}} \right)$ des Regelkreises gilt: ${\bar A^n} = 0$ . Wenn sich die tatsächlichen Parameter der Regelstrecke von den beim Entwurf verwendeten Modellparametern $A$ und $\vec b$ unterscheiden, ist diese Eigenschaft nicht mehr gegeben. Regler mit endlicher Einstellzeit sind also empfindlich im Bezug auf Parameteränderungen! Auch verschlechtern Störungen beim Messen der Zustandskomponenten (Messrauschen) das Regelergebnis erheblich.

c)

Regler mit endlicher Einstellzeit erzeugen Stellsignale großer Amplitude, insbesondere bei kurzen Abtastzeiten. Dies kann in der Praxis zu einer Überschreitung der Stellgrößenbeschränkung führen, wodurch das Funktionsprinzip des Reglers außer Kraft gesetzt wird. Besonders groß wird der Wert der Stellgröße unmittelbar nach einem Sprung der Führungsgröße. Daher kann ein Vorfilter in Form eines PT₁-Gliedes (statt des reinen Verstärkungsfaktors $V$ ), das sprungförmige Führungsgrößen in kontinuierliche Veränderungen überführt, eine gewisse Abhilfe schaffen.

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