Aufgabe 3.1 – Entwurf einer Zustandsrückführung

 

Gegeben ist das zeitkontinuierliche Zustandsraummodell einer Regelstrecke:

\dot {\vec x} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1 \\ 0&0 \end{array}} \right)\vec x+\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 1 \end{array}} \right)u

y = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0 \end{array}} \right)\vec x

  1. Bestimmen Sie das zugehörige Abtastsystem für eine allgemeine Abtastzeit T.
  2. Entwerfen Sie eine Zustandsrückführung {h^T} so, dass die Regelgröße den vorgegebenen Wert \bar r = 0 der Führungsgröße in endlicher Zeit annimmt. Wohin wird dabei der Anfangszustand {\vec x_0} überführt?

Lösung 3.1

a)

{A_d} = {e^{AT}} = I+AT+\underbrace {\frac{{{{\left( {AT} \right)}^2}}}{{2!}}+ \ldots }_{ = 0} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&T \\ 0&1 \end{array}} \right)

{{\vec b}_d} = \left( {\int_0^T {{e^{A\tau }}d\tau } } \right)\vec b = \int_0^T {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&\tau \\ 0&1 \end{array}} \right)d\tau } \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 1 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\int_0^T {\tau d\tau } } \\ {\int_0^T {1d\tau } } \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{T^2}}}{2}} \\ T \end{array}} \right)

\vec c_d^T = {{\vec c}^T} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0 \end{array}} \right)

{d_d} = d = 0

b)

{u_k} = 0-{\vec h^T}{\vec x_k} = -{\vec h^T}{\vec x_k}

Bei solchen Aufgaben können entweder Wunscheigenwerte (Polstellen) vorgegeben werden, oder es ist wie in diesem Fall gefordert, dass die Ausgangsgröße nach endlich vielen Schritten einen stationären Wert annimmt.

Da hier die Dimension der Systemmatrix n = 2 ist, brauchen wir nur zwei Abtastschritte. Die Zustandsrückführung berechnen wir mit der Ackermannformel:

{\vec h^T} = {\vec q^T}A_d^n = {\vec q^T}A_d^2

Steuerbarkeitsmatrix:

{S_S} = \left( {{{\vec b}_d}|{A_d}{{\vec b}_d}} \right)

\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&T \\ 0&1 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{T^2}}}{2}} \\ T \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{3}{2}{T^2}} \\ T \end{array}} \right)

{S_S} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{T^2}}}{2}}&{\frac{3}{2}{T^2}} \\ T&T \end{array}} \right)

S_S^{-1} = \frac{{{\text{adj}}\left( S \right)}}{{\det \left( S \right)}} = \frac{1}{{\frac{{{T^3}}}{2}-\frac{3}{2}{T^3}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} T&{-\frac{3}{2}{T^2}} \\ {-T}&{\frac{{{T^2}}}{2}} \end{array}} \right)

\Rightarrow \quad {{\vec q}^T} = \frac{{-1}}{{{T^3}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{-T}&{\frac{{{T^2}}}{2}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{{{T^2}}}}&{-\frac{1}{{2T}}} \end{array}} \right)

\Rightarrow \quad {{\vec h}^T} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{{{T^2}}}}&{-\frac{1}{{2T}}} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{2T} \\ 0&1 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{{{T^2}}}}&{\frac{2}{T}-\frac{1}{{2T}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{{{T^2}}}}&{\frac{3}{{2T}}} \end{array}} \right)

\Rightarrow \quad {u_k} = -\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{{{T^2}}}}&{\frac{3}{{2T}}} \end{array}} \right){{\vec x}_k}+\underbrace {V\underbrace {{r_k}}_{ = 0}}_{ = 0}

Bei kleinerer Abtastzeit wird zwar die Zeit kürzer, nach der die Regelgröße erreicht wird. Allerdings wird auch die Stellgröße größer (sogar quadratisch).