04 – Epsilonumgebung und Stetigkeit

 

In der Topologie ist eine Umgebung anschaulich ausgedrückt der Bereich um einen Punkt (sei es auf einer Ebene oder im Raum). Handelt es sich um einen Vektorraum wie zum Beispiel einen Funktionenraum, so muss der Begriff abstrahiert werden.

Epsilonumgebung

Das kleine Epsilon (\varepsilon) wird in der Mathematik häufig verwendet als eine sehr kleine reelle Zahl. Eine Epsilonumgebung ist daher der Bereich im Raum, der unmittelbar an den betrachteten Punkt angrenzt. Formal ist die Epsilonumgebung definiert als:

{U_\varepsilon }\left( {{x_0}} \right) = \left\{ {x \in E|\left\| {x-{x_0}} \right\| < \varepsilon } \right\}

Zwei Punke x1 und x2 im Raum mit verschiedenen Koordinaten x1 ≠ x2 können durch Umgebungen getrennt werden:

disjunkte Umgebungen von zwei Punkten

Egal wie nah die Punkte beieinander liegen, man kann immer eine Epsilonumgebung um den einen Punkt finden, in der der andere Punkt nicht enthalten ist. Dazu wählt man z.B. \varepsilon  = \frac{1} {2}\left\| {{x_1}-{x_2}} \right\|

Stetigkeit

Satz:
In einem normierten Raum sind die Abbildung Addition E \times E \to E und skalare Multiplikation S \times E \to E stetig.

Zum Beweis der Stetigkeit bezüglich skalarer Multiplikation:

g:S \times E \to E

mit

g\left( {\alpha ,x} \right) = \alpha x \in E

Sei \left( {{\alpha _0},{x_0}} \right) fest. Zu jedem \varepsilon  > 0 ist zu finden ein \delta  = \delta \left( {\varepsilon ,{\alpha _0},{x_0}} \right) > 0 so dass \left\| {g\left( {x,\alpha } \right)-g\left( {{x_0},{\alpha _0}} \right)} \right\| < \varepsilon sofern nur \left| {\alpha -{\alpha _0}} \right| < \delta und \left\| {x-{x_0}} \right\| < \delta

Wählen wir nämlich

\delta  = \frac{\varepsilon } {{3M}}

mit

M: = \max \left\{ {\left| {{a_0}} \right|,\left\| {{x_0}} \right\|,\sqrt \varepsilon  } \right\}

So ist

\left\| {g\left( {x,\alpha } \right)-g\left( {{x_0},{\alpha _0}} \right)} \right\| = \left\| {\alpha x-{\alpha _0}{x_0}} \right\|

= \left\| {\left( {\alpha -{\alpha _0}} \right)\left( {x-{x_0}} \right)+\left( {\alpha -{\alpha _0}} \right){x_0}+{\alpha _0}\left( {x-{x_0}} \right)} \right\|

\leq \left| {\alpha -{\alpha _0}} \right|\left\| {x-{x_0}} \right\|+\left| {\alpha -{\alpha _0}} \right|\left\| {{x_0}} \right\|+\left| {{\alpha _0}} \right|\left\| {x-{x_0}} \right\|

< \frac{\varepsilon } {{3M}} \cdot \frac{\varepsilon } {{3M}}+\frac{\varepsilon } {{3M}}M \cdot \frac{\varepsilon } {{3M}}M

= \frac{{{\varepsilon ^2}}} {{9{M^2}}}+\frac{{2\varepsilon }} {3}

Wir setzen

\varepsilon  \leq {M^2}

in die Ungleichung ein:

\frac{{{\varepsilon ^2}}} {{9{M^2}}}+\frac{{2\varepsilon }} {3} \leq \frac{1} {9}\varepsilon +\frac{6} {9}\varepsilon  = \frac{7} {9}\varepsilon  < \varepsilon

Satz:

Die Norm ist eine stetige Abbildung von E in {\mathbb{R}_+}

Beweis mit Hilfe der Parallelogrammregel:

\left| {\left\| x \right\|-\left\| y \right\|} \right| \leq \left\| {x-y} \right\|

denn

\left\| x \right\| = \left\| {x-y+y} \right\| \leq \left\| {x-y} \right\|+\left\| y \right\|\quad  \Leftrightarrow \quad \left\| x \right\|-\left\| y \right\| \leq \left\| {x-y} \right\|

\left\| y \right\| = \left\| {y-x+x} \right\| \leq \left\| {y-x} \right\|+\left\| x \right\|\quad  \Leftrightarrow \quad \left\| y \right\|-\left\| x \right\| \leq \left\| {y-x} \right\|