7.5 – Ermittlung der Elementmatrizen

 

Auszug aus dem Skript der Vorlesung Finite Elemente bei Dr.-Ing Philipp Höfer an der UniBw München.

Verzerrungen im Element:

\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{\varepsilon _{xx}}} \\ {{\varepsilon _{yy}}} \\ {{\gamma _{xy}}} \end{array}} \right\} = \underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{\partial }{{\partial x}}}&0 \\ 0&{\frac{\partial }{{\partial y}}} \\ {\frac{\partial }{{\partial y}}}&{\frac{\partial }{{\partial x}}} \end{array}} \right]}_{\left[ D \right]}\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{u_x}} \\ {{u_y}} \end{array}} \right\}

Einsetzen des Verschiebungsansatzes:

\left\{ \varepsilon \right\} = \left[ D \right]\left\{ u \right\} = \left[ D \right]\left[ H \right]\left\{{\hat u} \right\} = \left[ B \right]\left\{{\hat u} \right\}

Spannungen:

\left\{ \sigma \right\} = \left[ E \right]\left\{ \varepsilon \right\}+{\alpha _\theta }\Delta \theta \left\{{{E_\theta }} \right\} = \left[ E \right]\left[ B \right]\left\{{\hat u} \right\}+{\alpha _\theta }\Delta \theta \left\{{{E_\theta }} \right\}

Virtuelle Größen:

\left\{{\delta u} \right\} = \left[ H \right]\left\{{\delta \hat u} \right\},\quad \quad \left\{{\delta \varepsilon } \right\} = \left[ B \right]\left\{{\delta \hat u} \right\}

Beschleunigungen:

\left\{{\ddot u} \right\} = \left[ H \right]\left\{{\hat {\ddot u}} \right\}

Prinzip von d’Alembert in der Lagrange’schen Fassung

\left\{{\delta \hat u} \right\}\left( {\int\limits_A {{{\left[ B \right]}^T}\left[ E \right]\left[ B \right]dA} \left\{{\hat u} \right\}} \right)

+\left\{{\delta \hat u} \right\}\left( {\int\limits_A {{{\left[ B \right]}^T}{\alpha _\theta }\Delta \theta \left\{{{E_\theta }} \right\}dA-\int\limits_A {\rho {{\left[ H \right]}^T}\left\{ k \right\}dA} +\int\limits_A {\rho {{\left[ H \right]}^T}\left[ H \right]dA} \left\{{\hat {\ddot u}} \right\}} } \right) = 0

mit der Elementsteifigkeitsmatrix

\left[ k \right] = \int\limits_A {{{\left[ B \right]}^T}\left[ E \right]\left[ B \right]dA},

dem Vektor der Temperaturkräfte

\left\{ t \right\} = \int\limits_A {{\alpha _\theta }\Delta \theta {{\left[ B \right]}^T}\left\{{{E_\theta }} \right\}dA},

dem Vektor der Volumenkräfte

\left\{{{r_B}} \right\} = \int\limits_A {\rho {{\left[ H \right]}^T}\left\{ k \right\}dA}

und der Elementmassenmatrix

\left[ m \right] = \int\limits_A {\rho {{\left[ H \right]}^T}\left[ H \right]dA}.

Mit \left\{{\delta \hat u} \right\} \ne \left\{ 0 \right\} und beliebig ergibt sich die Grundgleichung der Finiten Elemente Methode:

\left[ m \right]\left\{{\hat {\ddot u}} \right\}+\left[ k \right]\left\{{\hat u} \right\} = \left\{{{r_B}} \right\}-\left\{ t \right\}.

Berechnung der Elementmassenmatrix

Verzerrungs-Verschiebungsmatrix:

\left[ B \right] = \left[ D \right]\left[ H \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{\partial }{{\partial x}}}&0 \\ 0&{\frac{\partial }{{\partial y}}} \\ {\frac{\partial }{{\partial y}}}&{\frac{\partial }{{\partial x}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{H_1}}&0&{{H_2}}&0&{{H_3}}&0 \\ 0&{{H_1}}&0&{{H_2}}&0&{{H_3}} \end{array}} \right]

= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\partial {H_1}}}{{\partial x}}}&0&{\frac{{\partial {H_2}}}{{\partial x}}}&0&{\frac{{\partial {H_3}}}{{\partial x}}}&0 \\ 0&{\frac{{\partial {H_1}}}{{\partial y}}}&0&{\frac{{\partial {H_2}}}{{\partial y}}}&0&{\frac{{\partial {H_3}}}{{\partial y}}} \\ {\frac{{\partial {H_1}}}{{\partial y}}}&{\frac{{\partial {H_1}}}{{\partial x}}}&{\frac{{\partial {H_2}}}{{\partial y}}}&{\frac{{\partial {H_2}}}{{\partial x}}}&{\frac{{\partial {H_3}}}{{\partial y}}}&{\frac{{\partial {H_3}}}{{\partial x}}} \end{array}} \right]

= \frac{1}{{2A}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{b_1}}&0&{{b_2}}&0&{{b_3}}&0 \\ 0&{{c_1}}&0&{{c_2}}&0&{{c_3}} \\ {{c_1}}&{{b_1}}&{{c_2}}&{{b_2}}&{{c_3}}&{{b_3}} \end{array}} \right]

Damit zeigt sich auch, dass die Spannungen innerhalb eines Elements konstant sein müssen.

\left\{ \sigma \right\} = \left[ E \right]\left[ B \right]\left\{{\hat u} \right\}+{\alpha _\theta }\Delta \theta \left\{{{E_\theta }} \right\}

= \left[ S \right]\left\{{\hat u} \right\}+{\alpha _\theta }\Delta \theta \left\{{{E_\theta }} \right\},\quad \quad \left[ S \right] = \left[ E \right]\left[ B \right] = \operatorname{const}

Für den ebenen Spannungszustand gilt:

\left[ S \right] = \frac{E}{{2A\left( {1-{\nu ^2}} \right)}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{b_1}}&{\nu {c_1}}&{{b_2}}&{\nu {c_2}}&{{b_3}}&{{c_3}} \\ {\nu {b_1}}&{{c_1}}&{\nu {b_2}}&{{c_2}}&{\nu {b_3}}&{{c_3}} \\ {\frac{{1-\nu }}{2}{c_1}}&{\frac{{1-\nu }}{2}{b_1}}&{\frac{{1-\nu }}{2}{c_2}}&{\frac{{1-\nu }}{2}{b_2}}&{\frac{{1-\nu }}{2}{c_3}}&{\frac{{1-\nu }}{2}{b_3}} \end{array}} \right]

Elementsteifigkeitsmatrix:

\left[ k \right] = \int\limits_A {{{\left[ B \right]}^T}\left[ E \right]\left[ B \right]dA} = {\left[ B \right]^T}\left[ E \right]\left[ B \right]\int\limits_A {dA}

= A{\left[ B \right]^T}\left[ S \right]

Einsetzen und Auswerten ergibt für den ebenen Spannungszustand:

matrix-ebener-spannungszustand

Für den ebenen Verzerrungszustand ergibt sich:

matrix-ebener-verzerrungszustand

Nun wollen wir die Elementmassenmatrix bestimmen. Zur leichteren Integration transformieren wir auf das Einheitsdreieck:

transformation-einheitsdreieck-finite-elemente

Transformationsbeziehung:

x\left( {r,s} \right) = \sum\limits_{j = 1}^3 {{h_j}\left( {r,s} \right){x_j}}

y\left( {r,s} \right) = \sum\limits_{j = 1}^3 {{h_j}\left( {r,s} \right){y_j}}

Randbedingungen:

\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{x\left( {0,0} \right) = {x_1}} \\ {x\left( {1,0} \right) = {x_2}} \\ {x\left( {0,1} \right) = {x_3}} \end{array}} \right\}\quad \Rightarrow \quad \begin{array}{*{20}{c}}{{h_1}\left( {r,s} \right) = 1-r-s} \\ {{h_2}\left( {r,s} \right) = r} \\ {{h_3}\left( {r,s} \right) = s} \end{array}

Somit ergibt sich für die transformierten Koordinaten:

x\left( {r,s} \right) = \left( {1-r-s} \right){x_1}+r{x_2}+s{x_3}

y\left( {r,s} \right) = \left( {1-r-s} \right){y_1}+r{y_2}+s{y_3}

Einsetzen der transformierten Koordinaten in den Verschiebungsansatz führt auf den gleichen Ansatz für die Verschiebungen:

{u_x} = \left( {1-r-s} \right){u_1}+r{u_2}+s{u_3}

{u_y} = \left( {1-r-s} \right){v_1}+r{v_2}+s{v_3}

bzw.

\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{u_x}} \\ {{u_y}} \end{array}} \right\} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{H_1}\left( {r,s} \right)}&0&{{H_2}\left( {r,s} \right)}&0&{{H_3}\left( {r,s} \right)}&0 \\ 0&{{H_1}\left( {r,s} \right)}&0&{{H_2}\left( {r,s} \right)}&0&{{H_3}\left( {r,s} \right)} \end{array}} \right]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}} \\ {{v_1}} \\ {{u_2}} \\ {{v_2}} \\ {{u_3}} \\ {{v_3}} \end{array}} \right\}

bzw.

\left\{ u \right\} = \left[ {H\left( {r,s} \right)} \right]\left\{{\hat u} \right\}

Transformation des Flächenelements: dA = dxdy = Jdrds

mit der Jacobi-Determinante

J = \frac{{\partial \left( {x,y} \right)}}{{\partial \left( {r,s} \right)}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\partial x}}{{\partial r}}}&{\frac{{\partial x}}{{\partial s}}} \\ {\frac{{\partial y}}{{\partial r}}}&{\frac{{\partial y}}{{\partial s}}} \end{array}} \right| = \frac{{\partial x}}{{\partial r}}\frac{{\partial y}}{{\partial s}}-\frac{{\partial x}}{{\partial s}}\frac{{\partial y}}{{\partial r}}.

Für den hier betrachteten Fall ergibt sich

J = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_2}-{x_1}}&{{x_3}-{x_1}} \\ {{y_2}-{y_1}}&{{y_3}-{y_1}} \end{array}} \right| = 2A

\Rightarrow \quad dA = 2Adrds

Somit ergibt sich für die Elementsteifigkeitsmatrix:

\left[ m \right] = \int\limits_A {\rho {{\left[ {H\left( {x,y} \right)} \right]}^T}\left[ {H\left( {x,y} \right)} \right]dA}

= 2\rho A\int\limits_{{A^\prime }} {{{\left[ {H\left( {r,s} \right)} \right]}^T}\left[ {H\left( {x,y} \right)} \right]drds}

Integrationsbereich:

integrationsbereich-einheitsdreieck-finite-elemente-methode

\Rightarrow \quad \int\limits_A {dxdy} = \int_0^1 {ds} \int_0^{1-s} {dr}

\Rightarrow \quad \left[ m \right] = 2\rho A\int_0^1 {\int_0^{1-s} {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{h_1}{h_1}}&0&{{h_1}{h_2}}&0&{{h_1}{h_3}}&0 \\ 0&{{h_1}{h_1}}&0&{{h_1}{h_2}}&0&{{h_1}{h_3}} \\ {{h_2}{h_1}}&0&{{h_2}{h_2}}&0&{{h_2}{h_3}}&0 \\ 0&{{h_2}{h_1}}&0&{{h_2}{h_2}}&0&{{h_2}{h_3}} \\ {{h_3}{h_1}}&0&{{h_3}{h_2}}&0&{{h_3}{h_3}}&0 \\ 0&{{h_3}{h_1}}&0&{{h_3}{h_2}}&0&{{h_3}{h_3}} \end{array}} \right]dr} ds}

Auswerten der einzelnen Integrale führt schließlich auf

\left[ m \right] = \frac{{\rho A}}{{12}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&0&1&0&1&0 \\ 0&2&0&1&0&1 \\ 1&0&2&0&1&0 \\ 0&1&0&2&0&1 \\ 1&0&1&0&2&0 \\ 0&1&0&1&0&2 \end{array}} \right].

Vektor der Temperaturkräfte:

\left\{ t \right\} = \int\limits_A {{\alpha _\theta }\Delta \theta {{\left[ B \right]}^T}\left\{{{E_\theta }} \right\}dA} = {\alpha _\theta }\Delta \theta A{\left[ B \right]^T}\left\{{{E_\theta }} \right\}

Einsetzen der bekannten Größen ergibt:

\left\{ t \right\} = -{\alpha _\theta }\Delta \theta \frac{E}{{2\left( {1-\nu } \right)}}\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{b_1}} \\ {{c_1}} \\ {{b_2}} \\ {{c_2}} \\ {{b_3}} \\ {{c_3}} \end{array}} \right\} = -\frac{{{\alpha _\theta }\Delta \theta E}}{{2\left( {1-\nu } \right)}}\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{y_2}-{y_3}} \\ {-{x_2}+{x_3}} \\ {{y_3}-{y_1}} \\ {-{x_3}+{x_1}} \\ {{y_1}-{y_2}} \\ {-{x_1}+{x_2}} \end{array}} \right\}.

Vektor der Volumenkräfte:

\left\{{{r_B}} \right\} = \int\limits_A {\rho {{\left[ H \right]}^T}\left\{ k \right\}dA} = 2A\rho \int_0^1 {\int_0^{1-s} {\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{H_1}{k_x}} \\ {{H_1}{k_y}} \\ {{H_2}{k_x}} \\ {{H_2}{k_y}} \\ {{H_3}{k_x}} \\ {{H_3}{k_y}} \end{array}} \right\}dr} ds}

Für konstante Volumenkräfte ergibt sich:

{\left\{{{r_B}} \right\}^T} = \frac{{\rho A}}{3}\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{k_x}}&{{k_y}}&{{k_x}}&{{k_y}}&{{k_x}}&{{k_y}} \end{array}} \right\}