U 03.1 – Ermittlung zu vermeidender Betriebsfrequenzen

 

Von einer Maschine wirken periodische Kräfte F\left( t \right) = {F_0}\sin \left( {\Omega t} \right). Welche Frequenzen müssen bei der Wahl der Betriebsfrequenzen vermieden werden?

Fall:

  1. {c_1} = c,\quad {c_2} = 2c
  2. {c_1} = {c_2} = c

Gegeben: l,\;a,\;c,\;m,\;{J_S} = \frac{1}{2}m{l^2}

feder-masse-schwinger

Anmerkung: Bewegungen sind nur in den Koordinatenrichtungen y und \varphi möglich.

Lösung 3.1

Bei den zu vermeidenden Betriebsfrequenzen handelt es sich um die Eigenfrequenzen des Systems. Diese wollen wir im Folgenden bestimmen.

Dazu schneiden wir als erstes das ausgelenkte System frei und stellen das Kräfte- und Momentengleichgewicht auf:

feder-masse-schwinger-freigeschnitten-ausgelenkt

m\ddot y+{F_1}+{F_2} = F\left( t \right)

\quad {F_1} = {c_1}y-{{\text{c}}_1}l\sin \varphi \approx {c_1}y-{{\text{c}}_1}l\varphi

\quad {F_2} = {c_2}y+{c_2}l\sin \varphi \approx {c_2}y+{c_2}l\varphi

\quad \Rightarrow \quad m\ddot y+{c_1}y-{{\text{c}}_1}l{\varphi _1}+{c_2}y+{c_2}l\varphi = F\left( t \right)

\quad \Rightarrow \quad m\ddot y+\left( {{c_1}+{c_2}} \right)y+\left( {{c_2}-{{\text{c}}_1}} \right)l\varphi = F\left( t \right)

{J_S}\ddot \varphi -{F_1}l\cos \varphi +{F_2}l\cos \varphi -aF\left( t \right) = 0\quad ;\quad \cos \varphi \approx 1

\quad \Rightarrow \quad {J_S}\ddot \varphi -{F_1}l+{F_2}l = aF\left( t \right)

\quad \Rightarrow \quad {J_S}\ddot \varphi -{c_1}ly+{{\text{c}}_1}{l^2}\varphi +{c_2}ly+{{\text{c}}_2}{l^2}\varphi = aF\left( t \right)

\quad \Rightarrow \quad {J_S}\ddot \varphi +\left( {{c_2}-{c_1}} \right)ly+\left( {{c_1}{\text{+}}{{\text{c}}_2}} \right){l^2}\varphi = aF\left( t \right)

In Matrizenform aufgeschrieben erhalten wir:

\left[ M \right]\left\{ {\ddot q} \right\}+\left[ C \right]\left\{ q \right\} = \left\{ F \right\}

\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  m&0 \\   0&{{J_S}}  \end{array}} \right]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\ddot y} \\   {\ddot \varphi }  \end{array}} \right\}+\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{c_1}+{c_2}}&{\left( {{c_2}-{c_1}} \right)l} \\   {\left( {{c_2}-{c_1}} \right)l}&{\left( {{c_1}+{c_2}} \right){l^2}}  \end{array}} \right]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  y \\   \varphi  \end{array}} \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {F\left( t \right)} \\   {aF\left( t \right)}  \end{array}} \right\}

Zur Bestimmung der Eigenfrequenzen betrachten wir nur den homogenen Anteil des Gleichungssystems und verwenden einen Trigonometrischen Ansatz:

\left[ M \right]\left\{ {\ddot q} \right\}+\left[ C \right]\left\{ q \right\} = \left\{ 0 \right\}\quad ;\quad \left\{ q \right\} = \left\{ {\hat q} \right\}\sin \left( {\omega t} \right)

\quad \Rightarrow \quad \left( {\left[ C \right]-{\omega ^2}\left[ M \right]} \right)\left\{ {\hat q} \right\} = 0

Um nun nicht-triviale Lösungen für diese Gleichung zu erhalten, müssen wir die Determinante der entstandenen Matrix gleich null setzen. Damit erhalten wir die charakteristische Gleichung zur Bestimmung der Eigenfrequenzen:

\det \left( {\left[ C \right]-{\omega ^2}\left[ M \right]} \right) = 0

\quad \Rightarrow \quad \left| {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{c_1}+{c_2}-m{\omega ^2}}&{\left( {{c_2}-{c_1}} \right)l} \\   {\left( {{c_2}-{c_1}} \right)l}&{\left( {{c_1}+{c_2}} \right){l^2}-{J_s}{\omega ^2}}  \end{array}} \right]} \right| = 0

Diese Gleichung lösen wir nun nach \omega auf.

Fall a

{c_1} = c,\quad {c_2} = 2c

\quad \Rightarrow \quad \left| {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {3c-m{\omega ^2}}&{cl} \\   {cl}&{3c{l^2}-{J_s}{\omega ^2}}  \end{array}} \right]} \right| = 0

\quad \Rightarrow \quad \left( {3c-m{\omega ^2}} \right) \cdot \left( {3c{l^2}-{J_s}{\omega ^2}} \right)-{c^2}{l^2} = 0

\quad \Rightarrow \quad 9{c^2}{l^2}-m{\omega ^2}3c{l^2}-3c{J_S}{\omega ^2}+m{J_S}{\omega ^4}-{c^2}{l^2} = 0

\quad \Rightarrow \quad {\omega ^4}m{J_S}+{\omega ^2}3c\left( {-m{l^2}-{J_S}} \right)+8{c^2}{l^2} = 0

\quad \Rightarrow \quad {\omega ^4}+{\omega ^2}\frac{{3c}}{{m{J_S}}}\left( {-m{l^2}-{J_S}} \right)+\frac{{8{c^2}{l^2}}}{{m{J_S}}} = 0

\quad \Rightarrow \quad {\omega ^2} = -\frac{{3c}}{{2m{J_S}}}\left( {-m{l^2}-{J_S}} \right) \pm \sqrt {{{\left( {\frac{{3c}}{{2m{J_S}}}\left( {-m{l^2}-{J_S}} \right)} \right)}^2}-\frac{{8{c^2}{l^2}}}{{m{J_S}}}}

\quad \Rightarrow \quad {\omega ^2} = \frac{{3c\frac{3}{2}m{l^2}}}{{2m\frac{1}{2}m{l^2}}} \pm \sqrt {{{\left( {-\frac{{3c\frac{3}{2}m{l^2}}}{{2m\frac{1}{2}m{l^2}}}} \right)}^2}-\frac{{8{c^2}{l^2}}}{{m\frac{1}{2}m{l^2}}}}

\quad \Rightarrow \quad {\omega ^2} = \frac{9}{2}\frac{c}{m} \pm \sqrt {{{\left( {-\frac{9}{2}\frac{c}{m}} \right)}^2}-\frac{{16{c^2}}}{{{m^2}}}} \quad ;\quad \omega _N^2 = \frac{c}{m}

\quad \Rightarrow \quad {\omega ^2} = \frac{9}{2}\omega _N^2 \pm \sqrt {\frac{{81}}{4}\omega _N^4-16\omega _N^4}

\quad \Rightarrow \quad {\omega _{1,2}} = \sqrt {\left( {\frac{9}{2} \pm \sqrt {\frac{{17}}{4}} } \right)} \cdot {\omega _N}

\quad \Rightarrow \quad {\omega _1} = \underline{\underline {1,56155 \cdot {\omega _N}}} \quad ;\quad {\omega _2} = \underline{\underline {2,56155 \cdot {\omega _N}}}

Fall b

In diesem Fall können wir direkt das ursprüngliche Gleichungssystem betrachten, welches durch die spezielle Wahl von {c_1} und {c_2} nur noch Diagonalmatrizen enthält. Dadurch erhalten wir ein entkoppeltes und somit einfach zu lösendes System:

\left[ M \right]\left\{ {\ddot q} \right\}+\left[ C \right]\left\{ q \right\} = \left\{ 0 \right\}

\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  m&0 \\   0&{{J_S}}  \end{array}} \right]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\ddot y} \\   {\ddot \varphi }  \end{array}} \right\}+\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{c_1}+{c_2}}&{\left( {{c_2}-{c_1}} \right)l} \\   {\left( {{c_2}-{c_1}} \right)l}&{\left( {{c_1}+{c_2}} \right){l^2}}  \end{array}} \right]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  y \\   \varphi  \end{array}} \right\} = \left\{ 0 \right\}

{c_1} = {c_2} = c\quad ;\quad \left\{ q \right\} = \left\{ {\hat q} \right\}\sin \left( {\omega t} \right)

\quad \Rightarrow \quad \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  m&0 \\   0&{{J_S}}  \end{array}} \right]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{\omega ^2}} \\   {{\omega ^2}}  \end{array}} \right\}+\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {2c}&0 \\   0&{2c{l^2}}  \end{array}} \right]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  1 \\   1  \end{array}} \right\} = \left\{ 0 \right\}

\quad \Rightarrow \quad \left( {III} \right):\quad m{\omega ^2}+2c = 0\quad \Rightarrow \quad \omega = \sqrt {2\frac{c}{m}} = \underline{\underline {\sqrt 2 \cdot {\omega _N}}}

\quad \Rightarrow \quad \left( {IV} \right):\quad {J_S}{\omega ^2}+2c{l^2} = 0

\quad \qquad \Rightarrow \quad \omega = \sqrt {\frac{{2c{l^2}}}{{{J_S}}}} = \sqrt {\frac{{2c{l^2}}}{{\frac{1}{2}m{l^2}}}} = \sqrt {4\frac{c}{m}} = \underline{\underline {2 \cdot {\omega _N}}}

\mathcal{J}\mathcal{K}