19 – Erzwungene Schwingungen mit zwei Freiheitsgraden

Hier eine kurze Zusammenfassung über die Herleitung der Bewegungs-Differentialgleichung:

1. Auslenken (rücktreibende und bremsende Kräfte wecken)

2. Freischneiden, SPS, Kräfteüberschuss dient der Beschleunigung

3. ggf statische Ruhelage berechnen: $\ddot y_{1,2} = 0$

4. Schwingung ausgehend von der statischen Ruhelage beschreiben durch ein Gleichungssystem

$m_1 \ddot x_1+\left( c_1+c_2 \right) x_1-c_2 x_2 = F_1 \left( t \right)$

$m_2 \ddot x_2- c_2 x_1-c_2 x_2 = F_2 \left( t \right)$

Die Bewegung der einen Masse wird also immer von der anderen Masse beeinflusst. Eine Bewegung alleine kann nicht berechnet werden, es muss das ganze Gleichungssystem gelöst werden.

5. Freie Schwingungen:

$F_{1,2} \left( t \right) = 0$

Ansätze:

$x_1 = \hat x_1 e^{i \omega t}$

und

$x_2 = \hat x_2 e^{i \omega t}$

ableiten, einsetzen und umsortieren.

$\left( c_1+c_2-\omega^2 m_1 \right) \hat x_1-c_2 \hat x_2 = 0$

$- c_2 \hat x_1+\left( c_2-\omega^2 m_2 \right) \hat x_2 = 0$

6. Koeffizientendeterminante gleich 0 setzen und charakteristische Gleichung aufstellen (man erhält zwei Eigenkreisfrequenzen)
Es ist eine Voraussetzung für nicht-triviale Lösungen, dass die Determinante 0 ist.

7. Gesamtlösung des homogenen Systems

$x_1 = \hat x_{1a} e^{i \omega t}+\hat x_{1b} e^{i \omega t}$

$x_2 = \hat x_{2a} e^{i \omega t}+\hat x_{2b} e^{i \omega t}$

8. ω₁ und ω₂ in das Gleichungssystem einsetzen:

$\frac{\hat x_{2a}}{\hat x_{1a}} = \mu_1$

$\frac{\hat x_{2b}}{\hat x_{1b}} = \mu_2$

μ₁ ist immer größer als 1
μ₂ liegt zwischen 0 und -1

9. Die Anfangsbedingungen

$x_{1,2} \left( t = 0 \right)$

$\dot x_{1,2} \left( t = 0 \right)$

bestimmen, in welchem Maße sich die Amplituden ausbilden.

Schwingen die Massen konphas (in Phase), gelten die Amplituden 1a und 2a für die Massen 1 und 2. Schwingen sie gegenphasig, entstehen die Amplituden 1b und 2b.

Behandlung erzwungener Schwingungen in Matrizenschreibweise

Erzwungene Schwingung mit zwei Freiheitsgraden-Beispiel

Ausgehend von der statischen Ruhelage gilt unter Berücksichtigung der beiden gekoppelten Differentialgleichungen

$m_1 \ddot x_1+\left( c_1+c_2 \right) x_1-c_2 x_2 = F_1 \left( t \right)$

$m_2 \ddot x_2-c_2 x_1+c_2 x_2 = F_2 \left( t \right)$

Man führt eine Massenmatrix

$\left[ M \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} m_1 & 0 \\ 0 & {m_2 } \\ \end{array} } \right]$

sowie eine Steifigkeitsmatrix

$\left[ K \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} c_1 +c_2 & {-c_2 } \\ {-c_2 } & {c_2 } \\ \end{array} } \right]$

ein. Beide Matrizen sind symmetrisch. Die Massenmatrix ist bei Starrkörperschwingungen meist nur in der Hauptdiagonale besetzt (Diagonalmatrix). Bei Kontinuumschwingungen ist sie dagegen in aller Regel voll besetzt (sieht z.B. Finite Elemente Methode).

Die Spaltenmatrix der Auslenkung ist

$\left\{ x \right\} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x_1 \\ {x_2 } \\ \end{array} } \right]$

und die der Erregerkräfte

$\left\{ F \right\} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} F_1 \\ {F_2 } \\ \end{array} } \right]$

Mit diesen Matrizen wird aus den gekoppelten Differentialgleichungen:

$\left[ M \right] \left\{ \ddot x \right\}+\left[ K \right] \left\{ x \right\} = \left\{ F \right\}$

Viskose Dämpfung kann mittels einer Dämpfungsmatrix [C] berücksichtigt werden. Die letzte Gleichung ist dann um den Dämpfungsterm $\left[ C \right] \dot x$ zu ergänzen. Wir wollen allerdings auch weiterhin die Dämpfung vernachlässigen.
Es werden nun freie und erzwungene Schwingungen unterschieden.

Freie Schwingung

Da die Schwingung nicht angeregt ist, ist die Kraft = 0 und wir müssen nur das homogene Problem lösen. Da es keine Dämpfung gibt, ist [C] = 0

Wir nutzen den komlexen Ansatz:

$\left\{ x \right\} = \left\{ {\hat x} \right\}e^{i\omega t}$

Dieser führt auf das Eigenwertproblem

$\left( {\left[ K \right]-\omega ^2 \left[ M \right]} \right)\left\{ {\hat x} \right\} = \left\{ 0 \right\}$

Anschließend berechnen wir die Eigenkreisfrequenzen ω₁ und ω₂. Die zugehörigen Eigenvektoren sind:

$\left\{ {\hat x_j } \right\} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ {\mu _1 } \\ \end{array} } \right]\hat x_{1a}$

bzw

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ {\mu _2 } \\ \end{array} } \right]\hat x_{1b}$

Ungedämpfte erzwungene Schwingungen

$\left\{ {F\left( t \right)} \right\} \ne \left\{ 0 \right\}$

Wir betrachten zunächst harmonische Erregerkräfte (in komplexer Schreibweise):

$\left\{ F \right\} = \left\{ {\hat F} \right\}e^{i\Omega t}$

mit der Spaltenmatrix der Kraftamplituden

$\left\{ {\hat F} \right\} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \hat F_1 \\ {\hat F_2 } \\ \end{array} } \right]$

und der Erregerkreisfrequenz Ω.

Die Gesamtlösung ist wie immer die Summe aus homogener Lösung und Partikulärlösung:

$\left\{ x \right\} = \left\{ {x_h } \right\}+\left\{ {x_p } \right\}$

Der homogene Anteil klingt wegen der (hier nicht berücksichtigten) Dämpfung exponentiell ab. Nach einer Einschwingzeit dominiert die partikuläre Lösung, die im Folgenden ermittelt wird. Da keine Verwechselungsgefahr besteht, wird auf den Index p verzichtet.

Aus der Differentialgleichung wird mit der harmonischen Erregerkraft

$\left[ M \right]\left\{ {\ddot x} \right\}+\left[ K \right]\left\{ x \right\} = \left\{ {\hat F} \right\}e^{i\Omega t}$

Der Lösungsansatz vom Typ der rechten Seite ergibt, dass auf eine harmonische Erregerkraft eine harmonische Systemantwort erfolgt:

$\left\{ {x_p } \right\} = \left\{ x \right\} = \left\{ X \right\}e^{i\Omega t}$

mit der Spaltenmatrix der Amplituden

$\left\{ X \right\} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \hat x_1 \\ {\hat x_2 } \\ \end{array} } \right]$

wird abgeleitet und eingesetzt; dies führt auf die algebraische Beziehung

$\underbrace {\left( {\left[ K \right]-\Omega ^2 \left[ M \right]} \right)}_{\left[ B \right]}\left\{ X \right\} = \left\{ {\hat F} \right\}$

Die Elemente der Matrix

$\left[ B \right] = \left[ K \right]-\Omega ^2 \left[ M \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} K_{11} -\Omega ^2 M_{11} & K_{12} \\ K_{21} & K_{22} -\Omega ^2 M_{22} \\ \end{array} } \right]$

sind Übertragungsfunktionen. Sie verknüpfen Schwingwege mit Kräften und werden manchmal auch als frequenzabhängige Einflusszahlen bezeichnet.

Die Auflösung der algebraischen Beziehung nach {X} liefert die Amplituden des Schwingweges:

$\left\{ X \right\} = \left[ B \right]^{-1} \left\{ {\hat F} \right\}$

mit der inversen Matrix

$\left[ B \right]^{-1} = \frac{1} {{\det B}}B^{adj}$

Exkurs: Determinante, Adjunkte und Inverse einer Matrix

In der Gleichung

$\left\{ X \right\} = \left[ B \right]^{-1} \left\{ {\hat F} \right\}$

muss das B^-1 berechnet werden. Hierfür benötigen wir zunächst die Determinante und die Adjunkte der Matrix.

Determinante

Die Determinante entspricht dem Betrag der Matrix, Die Matrix wird auf eine Zahl reduziert.

Man schreibt:

$\det \left( A \right)\quad oder\quad \det A\quad oder\quad \left| A \right|$

Im Gegensatz zum Betrag kann die Determinante auch negativ sein!

Für Kombinationen von Determinanten gilt:

$\det \left( {AB} \right) = \left( {\det A} \right)\left( {\det B} \right)\quad$

$\left( {\det A} \right)\left( {\det A^{-1} } \right) = \det \left( {AA^{-1} } \right)\quad$

$\det A^{-1} = \left( {\det A} \right)^{-1} \quad$

$\det \left( {A^T } \right) = \det \left( A \right)$

Berechnung der Determinante:

Man erstellt eine Streichungsmatrix und berechnet die Determinanten der Minoren. Diese summiert man dann nach der folgenden Formel auf:

$\det A = \sum\limits_{j = 1}^n {a_{ij} A_{ij} } = \sum\limits_{j = 1}^n {\left( {-1} \right)^{i+j} a_{ij} \det M_{ij} }$

Dabei geht man bei der Berechnung entweder an einer Zeile oder an einer Spalte entlang.

Berechnung der Determinanten

Die Determinante berechnet sich also rekursiv aus den Determinanten der Minoren.

Adjunkte

Adjunkte: A^adj = Transponierte Matrix der Kofaktoren (Zeilen und Spalten getauscht!)

Es gilt:

$\det A = \sum\limits_{j = 1}^n {a_{ij} A_{ij} } \quad \Rightarrow \quad AA^{adj} = \left( {\det A} \right)I\quad \Rightarrow \quad A\frac{{A^{adj} }} {{\det A}} = I$