20 – Beispiel für erzwungene Schwingung mit zwei Freiheitsgraden

 

Zu der im letzten Artikel erklärten Matrixschreibweise hier nun ein Rechenbeispiel.

Es schwingt ein System mit zwei Massen und zwei Federn. Die Massen sind:

m_1 = 2 m

m_2 = m

Die beiden Federsteifigkeiten sind

c_1 = c_2 = c

Nach der Gleichung für die Massenmatrix gilt:

\left[ M \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}    m_1  & 0  \\    0 & {m_2 }  \\   \end{array} } \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}    2m & 0  \\    0 & m  \\   \end{array} } \right]

und nach der Gleichung für die Steifigkeitsmatrix:

\left[ K \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}    c_1 +c_2  & {-c_2 }  \\    {-c_2 } & {c_2 }  \\   \end{array} } \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}    2c & {-c}  \\    {-c} & c  \\   \end{array} } \right]

Für die Auslenkungen benutzen wir die im letzten Artikel erschlossene Beziehung

x_1  = \frac{1} {{\det B}}\left[ {\left( {K_{22} -\Omega ^2 M_{22} } \right)\hat F_1 -K_{12} \hat F_2 } \right]\cos \left( {\Omega t} \right)

x_2  = \frac{1} {{\det B}}\left[ {-K_{21} \hat F_1 +\left( {K_{11} -\Omega ^2 M_{11} } \right)\hat F_2 } \right]\cos \left( {\Omega t} \right)

Es folgt:

x_1  = \frac{1} {{\det B}}\left[ {\left( {c-\Omega ^2 m} \right)\hat F_1 +c\hat F_2 } \right]\cos \left( {\Omega t} \right)

= \frac{1} {{\det B}}\left[ {c\left( {1-\frac{1} {2}\left( {\frac{\Omega } {{\omega _0 }}} \right)^2 } \right)\hat F_1 +c\hat F_2 } \right]\cos \left( {\Omega t} \right)

dabei wurde für die Bezugs-Kreisfrequenz eingesetzt: m = \frac{c} {{2\omega _0^2 }}

Analog für die Masse m2:

x_2  = \frac{1} {{\det B}}\left[ {c\hat F_1 +\left( {2c-\Omega ^2 2m} \right)\hat F_2 } \right]\cos \left( {\Omega t} \right)

= \frac{1} {{\det B}}\left[ {c\hat F_1 +2c\left( {1-\frac{1} {2}\left( {\frac{\Omega } {{\omega _0 }}} \right)^2 } \right)\hat F_2 } \right]\cos \left( {\Omega t} \right)

Die Matrix B ist

\left[ B \right] = \left[ K \right]-\Omega ^2 \left[ M \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}    K_{11} -\Omega ^2 M_{11}  & {K_{12} }  \\    {K_{21} } & {K_{22} -\Omega ^2 M_{22} }  \\   \end{array} } \right]

also

\left[ B \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}    2c-\Omega ^2 2c & {-c}  \\    {-c} & {c-\Omega ^2 m}  \\   \end{array} } \right]

Man erhält die Determinante

\det B = \left( {2c-\Omega ^2 2m} \right)\left( {c-\Omega ^2 m} \right)-c^2

= 2\left( {c-\Omega ^2 m} \right)^2 -c^2  = c^2 \left\{ {2\left[ {1-0,5\cdot\left( {\frac{\Omega } {{\omega _0 }}} \right)^2 } \right]^2 -1} \right\}

eingesetzt ergibt dies die Auslenkung der Masse m1

x_1  = \frac{{\left[ {c\left( {1-\frac{1} {2}\left( {\frac{\Omega } {{\omega _0 }}} \right)^2 } \right)\hat F_1 +c\hat F_2 } \right]}} {{c^2 \left\{ {2\left[ {1-0,5\cdot\left( {\frac{\Omega } {{\omega _0 }}} \right)^2 } \right]^2 -1} \right\}}}\cos \left( {\Omega t} \right)

Abschließend kann noch ein c weggekürzt werden:

x_1  = \frac{{\left[ {\left( {1-\frac{1} {2}\left( {\frac{\Omega } {{\omega _0 }}} \right)^2 } \right)\hat F_1 +\hat F_2 } \right]}} {{c\left\{ {2\left[ {1-0,5\cdot\left( {\frac{\Omega } {{\omega _0 }}} \right)^2 } \right]^2 -1} \right\}}}\cos \left( {\Omega t} \right)

Damit wir die Erregerkräfte getrennt betrachten können, lösen wir für die Kurvendiskussion in zwei Summanden auf:

x_1  = \left( {\frac{{1-0,5\left( {\Omega /\omega _0 } \right)^2 }} {{2\left[ {1-0,5\left( {\Omega /\omega _0 } \right)^2 } \right]^2 -1}}\frac{{\hat F_1 }} {c}+\frac{1} {{2\left[ {1-0,5\left( {\Omega /\omega _0 } \right)^2 } \right]^2 -1}}\frac{{\hat F_2 }} {c}} \right)\cos \left( {\Omega t} \right)

analog erhalten wir für die Auslenkung der zweiten Masse:

x_2  = \left( {\frac{1} {{2\left[ {1-0,5\left( {\Omega /\omega _0 } \right)^2 } \right]^2 -1}}\frac{{\hat F_1 }} {c}+\frac{{2\left[ {1-0,5\left( {\Omega /\omega _0 } \right)^2 } \right]}} {{2\left[ {1-0,5\left( {\Omega /\omega _0 } \right)^2 } \right]^2 -1}}\frac{{\hat F_2 }} {c}} \right)\cos \left( {\Omega t} \right)

Wir führen nun eine Kurvendiskussion durch

Dabei betrachten wir zuerst den ersten Summanden und setzen den zweiten = 0, anschließend betrachten wir den zweiten Summanden. Die beiden Ergebnisse können wir überlagern, da bei linearen Systemen Superposition möglich ist.

Auslenkung der Masse m1

x_1 \left( t \right) = \hat x_1 \cos \Omega t

mit

\hat x_1 \left( {\Omega ,\hat F_1 ,\hat F_2 } \right) = \beta _{11} \left( \Omega  \right)\frac{{\hat F_1 }} {c}+\beta _{12} \left( \Omega  \right)\frac{{\hat F_2 }} {c}

Auslenkung der Masse m2

x_2 \left( t \right) = \hat x_2 \cos \Omega t

mit

\hat x_2 \left( {\Omega ,\hat F_1 ,\hat F_2 } \right) = \beta _{21} \left( \Omega  \right)\frac{{\hat F_1 }} {c}+\beta _{22} \left( \Omega  \right)\frac{{\hat F_2 }} {c}

Sonderfall 1: Erregung der oberen Masse

Für F2 = 0 folgt für die Auslenkung der oberen Masse m1:

x_1 = \hat x_1 \left( {\Omega ,\hat F_1 } \right) \cos \Omega t = \beta _{11} \left( \Omega  \right)\frac{{\hat F_1 }} {c}\cos \Omega t

und für die untere Masse

x_2 = \hat x_2 \left( {\Omega ,\hat F_2 } \right) \cos \Omega t = \beta _{21} \left( \Omega  \right)\frac{{\hat F_1 }} {c}\cos \Omega t

Graph:

Sonderfall-Anregung der oberen Masse-Graph

Abgebildet sind die normierten Schwingwege der Masse m1 (durchgezogen) bzw der Masse m2 (strichpunktiert) als Funktionen der normierten Erregerkreisfrequenz Ω / ω0 bei Anregung der oberen Masse.

Interpretation der Ergebnisses

Für verschiedene Erregerkreisfrequenzen treten unterschiedlichen Phänomene auf.

0 < Ω < ω1: m1 und m2 schwingen gleichphasig. Beide sind in Phase mit der Erregerkraft.

Ω → ω1: Erste Resonanz, die Amplituden wachsen über alle Grenzen. Es tritt ein Vorzeichenwechsel bzw. ein Sprung beider Phasen um 180° auf.

ω1 < Ω < ωT: m1 und m2 schwingen gleichphasig. Beide sind in Gegenphase zu der Erregerkraft.

Ω = ωT: Es Tritt “Tilgung” auf. m2 bewegt sich, während die angeregte Masse m1 in Ruhe ist.

ωT < Ω < ω2: m1 und m2 schwingen gegenphasig. Dabei ist m2 in Gegenphase und m1 in Gleichphase zu der Erregerkraft.

Ω → ω1: Zweite Resonanz, die Amplituden wachsen über alle Grenzen. Es tritt erneut ein Vorzeichenwechsel bzw. ein Sprung beider Phasen um 180° auf.

ω2 < Ω < ∞: m1 und m2 schwingen gegenphasig. m1 ist nun in Gegenphase und m2 in Gleichphase zu der Erregerkraft. Die Amplituden streben asymptotisch gegen 0.

Sonderfall 2: Anregung der unteren Masse

Sonderfall-Anregung der unteren Masse-Graph

Dargestellt sind die normierten Schwingwege der Masse 1 (durchgezogene Linie) und der Masse 2 (strickpunktiert) als Funktion der normierten Erregerkreisfrequenz bei Anregung der Masse 2.