Eulersche Formel in der Ebene

Diese Zeichnung stellt einen Körper dar, der beliebig zweidimensional durch den Raum rotiert.
Wir wollen nun den Geschwindigkeitsvektor v im Bezug auf den körperfesten Bezugspunkt F berechnen.
Gegeben: $\vec r , \vec r_F , \vec v_F , \omega$
Gesucht: ${\vec v}$

Zunächst beschreiben wir mathematisch die einzelnen Vektoren:

Da der Vektor ω nur in z-Richtung zeigt, gilt:

$\vec \omega = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 0 \\ \omega \\ \end{array} } \right) = 0 \vec e_x +0 \vec e_y +\omega \vec e_z = \omega \vec e_z$

Für die anderen Vektoren gilt dies entsprechend auch. Insgesamt erhält man somit:

$\vec \omega = \omega \vec e_z$

$\vec r = x \vec e_x +y \vec e_y$

$\dot {\vec r} = \vec v = \dot x \vec e_x +\dot y \vec e_y$

$\vec r_F = x_F \vec e_x +y_F \vec e_y$

$\dot {\vec r}_F = \vec v_F = \dot x_F \vec e_x +\dot y_F \vec e_y$

Die Eulersche Geschwindigkeitsformel lautet:

$\vec v = \vec v_F +\vec \omega \times \left( {\vec r-\vec r_F } \right)$

Eingesetzt ergibt sich nun:

$\vec v = \dot x_F \vec e_x +\dot y_F \vec e_y +\omega \vec e_z \times \left( {\left[ {x \vec e_x +y \vec e_y } \right]-\left[ {x_F \vec e_x +y_F \vec e_y } \right]} \right)$

$= \dot x_F \vec e_x +\dot y_F \vec e_y +\omega x \vec e_z \times \vec e_x +\omega y \vec e_z \times \vec e_y -\omega x_F \vec e_z \times \vec e_x -\omega y_F \vec e_z \times \vec e_y$