Eulersche Formel in der Ebene

 

Diese Zeichnung stellt einen Körper dar, der beliebig zweidimensional durch den Raum rotiert.
Wir wollen nun den Geschwindigkeitsvektor v im Bezug auf den körperfesten Bezugspunkt F berechnen.
Gegeben: \vec r , \vec r_F  , \vec v_F  , \omega
Gesucht: {\vec v}

Zunächst beschreiben wir mathematisch die einzelnen Vektoren:

Da der Vektor ω nur in z-Richtung zeigt, gilt:

\vec \omega  = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    0  \\    0  \\    \omega   \\   \end{array} } \right) = 0 \vec e_x +0 \vec e_y +\omega  \vec e_z  = \omega  \vec e_z

Für die anderen Vektoren gilt dies entsprechend auch. Insgesamt erhält man somit:

\vec \omega  = \omega  \vec e_z

\vec r = x \vec e_x +y \vec e_y

\dot {\vec r} = \vec v = \dot x \vec e_x +\dot y \vec e_y

\vec r_F  = x_F  \vec e_x +y_F  \vec e_y

\dot {\vec r}_F  = \vec v_F  = \dot x_F  \vec e_x +\dot y_F  \vec e_y

Die Eulersche Geschwindigkeitsformel lautet:

\vec v = \vec v_F +\vec \omega  \times \left( {\vec r-\vec r_F } \right)

Eingesetzt ergibt sich nun:

\vec v = \dot x_F  \vec e_x +\dot y_F  \vec e_y +\omega  \vec e_z  \times \left( {\left[ {x \vec e_x +y \vec e_y } \right]-\left[ {x_F  \vec e_x +y_F  \vec e_y } \right]} \right)

= \dot x_F  \vec e_x +\dot y_F  \vec e_y +\omega x \vec e_z  \times \vec e_x +\omega y \vec e_z  \times \vec e_y -\omega x_F  \vec e_z  \times \vec e_x -\omega y_F  \vec e_z  \times \vec e_y

= \dot x_F  \vec e_x +\dot y_F  \vec e_y +\omega x \vec e_y -\omega y \vec e_x -\omega x_F  \vec e_y +\omega y_F  \vec e_x

= \left( {\dot x_F -\omega y +\omega y_F } \right)\vec e_x +\left( {\dot y_F +\omega x-\omega x_F } \right)\vec e_y

= \left( {\dot x_F -\omega \left( {y -y_F } \right)} \right)\vec e_x +\left( {\dot y_F +\omega \left( {x-x_F } \right)} \right)\vec e_y

oder in Komponentenschreibweise:

\dot x = \dot x_F -\omega \left( {y -y_F } \right)

\dot y = \dot y_F +\omega \left( {x-x_F } \right)

Damit wären wir auch schon fertig!

\mathcal{JK}

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2 Kommentare zu “Eulersche Formel in der Ebene”

danke für die gut erklärung.

Das ist wirklich eine gute erklerung

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