10.3 – exakte Integration linearer Funktionen

 

Zeigen Sie, dass Polynome ersten Grades mit der zentralen Rechtecksregel exakt integriert werden.

Lösung

Zunächst ein Bild zur Verdeutlichung:

lineare-integration

Polynom ersten Grades:

p\left( x \right) = {c_0}+{c_1}x

\int_a^b {p\left( x \right)dx} = \left[ {{c_0}x+\frac{1}{2}{c_1}{x^2}} \right]_a^b

= {c_0}\left( {b-a} \right)+\frac{1}{2}{c_1}\left( {{b^2}-{a^2}} \right)

= \left( {b-a} \right)\left( {{c_0}+\frac{1}{2}{c_1}\left( {a+b} \right)} \right)

p\left( {\frac{{a+b}}{2}} \right) = {c_0}+{c_1}\frac{{a+b}}{2}

\quad \Rightarrow \quad \int_a^b {p\left( x \right)dx} = \left( {b-a} \right)p\left( {\frac{{a+b}}{2}} \right)

Der Aufwand ist der gleiche wie bei der linken und rechten Dreiecksregel, wir gewinnen aber eine Ordnung bei den Polynomen, die exakt integriert werden können.