Exkurs: Dezibel / Bel

 

(Sinnvoll zum Verständnis von Blatt 2 Aufgabe 3.c)

Dezibel sind keine Einheit im eigentlichen Sinn. Sie sind mehr eine Art Rechenvorschrift. Sie stellen den zehnten Teil eines Bels dar und unterliegen einer logarithmischen Betrachtung.

Das Bel ist eine eigentlich dimensionslose Größe, die aber zu Ehren des Erfinders des Telefons, Alexander Graham Bell, mit Bel bezeichnet wird. Sie ist definiert als der Logarithmus zur Basis 10 des Verhältnisses zweier Leistungen.

Für einen Leistungspegel (P) gilt:

x = 10\log \left( {\frac{P}{{{P_0}}}} \right)dB\quad \Leftrightarrow \quad \frac{P}{{{P_0}}} = {10^{\frac{{x/dB}}{{10}}}}

(x: Leistungsverhältnis in dB)

Für einen Spannungspegel (U) gilt:

P \sim {U^2}

x = 10\log \left( {\frac{P}{{{P_0}}}} \right)dB = 10\log \left( {\frac{{{U^2}}}{{U_0^2}}} \right)dB

\Rightarrow x = 20\log \left( {\frac{U}{{{U_0}}}} \right)dB\quad \Leftrightarrow \quad \frac{U}{{{U_0}}} = {10^{\frac{{x/dB}}{{20}}}}

Man könnte auch schreiben:

{\left. {\frac{P}{{{P_0}}}} \right|_{dB}} = 10\log \left( {\frac{P}{{{P_0}}}} \right)dB

Häufig werden auch feste Bezugspegel verwendet und entsprechende Kürzel an die Einheit angehängt. Typische Bezugspegel sind z.B.:

d{B_m} \to Bezug auf 1mW \quad \Rightarrow \quad P = 10\log \left( {\frac{P}{{1\:mW}}} \right)d{B_m}

d{B_W} \to Bezug auf 1W

d{B_V} \to Bezug auf 1V \quad \Rightarrow \quad U = 20\log \left( {\frac{U}{{1\:V}}} \right)d{B_V}

d{B_U} \to \quad \sqrt {600\:\Omega \cdot {\text{0}}{\text{,001}}\:W} \approx 0,7746\:V

d{B_A} \to Schallleistungspegel \left( {{{10}^{-12}}W} \right) oder Schalldruckpegel \left( {2 \cdot {{10}^{-5}}Pa} \right)

Als Beispiel sei hier noch die häufig benötigte 3dB-Dämpfung angegeben:

Leistung:

-3\:dB = 10\log \left( {\frac{P}{{{P_0}}}} \right)dB\quad \Leftrightarrow \quad \frac{P}{{{P_0}}} = {10^{\frac{{-3}}{{10}}}}

\quad \Rightarrow \quad P = {10^{\frac{{-3}}{{10}}}}{P_0} \approx 0,5{P_0}

mit P \sim {U^2} würde folgen:

{U^2} \approx 0,5\:U_0^2\quad \Rightarrow \quad U \approx \frac{1}{{\sqrt 2 }}{U_0}

Spannung:

-3\:dB = 20\log \left( {\frac{U}{{{U_0}}}} \right)dB\quad \Leftrightarrow \quad \frac{U}{{{U_0}}} = {10^{\frac{{-3}}{{20}}}}

\quad \Rightarrow \quad U = {10^{\frac{{-3}}{{20}}}}{U_0} \approx \frac{1}{{\sqrt 2 }}{U_0}

\mathcal{J}\mathcal{K}