A 03 – Fahrwerk und Fahrbahn-Unebenheit

 

Berechnen Sie für das nachfolgend abgebildete Ersatzsystem eines Fahrwerks (Geschwindigkeit v) mit der Federsteifigkeit c und der Dämpfungskonstante d die maximale Beschleunigung der Masse m infolge einer Fahrbahn-Unebenheit, die durch die Funktion

y\left( t \right) = {y_0}\sin \left( {\frac{{\pi x}}{l}} \right)

angenähert werden kann. Die Masse des Rades ist klein im Vergleich zur Masse m und wurde daher im Ersatzmodell vernachlässigt. Für die Berechnung ist davon auszugehen, dass das Rad mit dem Fahrbahnbelag in Kontakt bleibt.

fahrwerk-und-fahrbahn-unebenheit

Gegeben: Masse m, Geschwindigkeit v, Federsteifigkeit c, Dämpfungskonstante d, Halbwellenlänge der Unebenheit l, Amplitude der Unebenheit {y_0}

Lösung 3

Es handelt sich hier um eine Fußpunktanregung einer gedämpften Schwingung. Gesucht ist die Maximalverschiebung bzw. Maximalbeschleunigung im eingeschwungenen Zustand, welche wir in der ersten Hälfte der Lösung bestimmen werden. Bei einem Fahrwerk ist jedoch nicht der Absolutweg wichtig, sondern die Differenz zwischen Rad und Masse, da diese den Federweg darstellt. Daher werden wir uns in der zweiten Hälfte mit dem relativen Weg und der relativen Beschleunigung beschäftigen.

1 Aufstellen der Bewegungsgleichung

Um die Bewegungsgleichung aufzustellen müssen wir zunächst die Masse freischneiden. Hierbei achten wir darauf, dass Feder und Dämpfer immer Differenzwege spüren:

freigeschnittenes-system

Hier gehen wir von viskoser (geschwindigkeitsabhängiger) Dämpfung nach d’Alembert aus. Wir erhalten die Gleichung

m\ddot z+d\left( {\dot z-\dot y} \right)+c\left( {z-y} \right) = 0

Es gilt x = vt. Damit können wir die gegebene Anregungsfunktion in Abhängigkeit von der Zeit schreiben als:

y\left( t \right) = {y_0}\sin \left( {\frac{{\pi v}}{l}t} \right)

Ableitung nach der Zeit:

\dot y\left( t \right) = \underbrace {{y_0}\frac{{\pi v}}{l}}_{{{\dot y}_0}}\cos \left( {\frac{{\pi v}}{l}t} \right)

Einsetzen in das Kräftegleichgewicht:

m\ddot z+d\dot z+cz = c{y_0}\sin \left( {\frac{{\pi v}}{l}t} \right)+d{y_0}\frac{{\pi v}}{l}\cos \left( {\frac{{\pi v}}{l}t} \right)

Der Faktor in den Trigonometrischen Funktionen hat jeweils die Dimension einer Kreisfrequenz:

\frac{{\pi v}}{l} = :\Omega

Außerdem definieren wir noch die beiden Kräfte

{F_S} = c{y_0},\quad {F_C} = d{y_0}\frac{{\pi v}}{l} = d{y_0}\Omega.

Dabei ist {F_S} die Kraftamplitude infolge des Weges über die Feder und {F_C} die Kraftamplitude infolge des Weges über den Dämpfer. Die Differentialgleichung wird damit zu:

\underline{\underline {m\ddot z+d\dot z+cz = {F_S}\sin \left( {\Omega t} \right)+{F_C}\cos \left( {\Omega t} \right)}}

2 Lösung der Bewegungsgleichung und Bestimmung des Weges

Wir bestimmen zunächst die homogene Lösung. Diese klingt nach einer gewissen Zeit ab und ist für den eingeschwungenen Zustand nicht relevant, wenn die Einschwingzeit kurz ist. Die Abklingzeit kann aber mehr oder weniger lang sein.

Exponentialansatz:

{z_h} = A{e^{\lambda t}}

m\ddot z+d\dot z+cz

\quad \Rightarrow \quad {\lambda ^2}+\frac{d}{m}\lambda +\frac{c}{m} = 0

\quad \Rightarrow \quad {\lambda _{1,2}} = -\frac{d}{{2m}} \pm \sqrt {\frac{{{d^2}}}{{4{m^2}}}-\frac{c}{m}}

Nur wenn die Wurzel negativ ist, schwingt das System. Die Bedingung lautet also:

\frac{{{d^2}}}{{4{m^2}}}-\frac{c}{m} < 0\quad \Rightarrow \quad \frac{{{d^2}}}{{4{m^2}}} < \frac{c}{m} = :\omega _0^2

Es folgt:

{\lambda _{1,2}} = -\frac{d}{{2m}} \pm i\sqrt {\frac{c}{m}-\frac{{{d^2}}}{{4{m^2}}}}

Die Lösung lautet also:

{z_h} = \exp \left\{ {-\frac{d}{{2m}}t} \right\}\left( {A\cos \left( {{\omega _0}\sqrt {1-\frac{{{d^2}}}{{4\omega _0^2{m^2}}}} t} \right)+B\sin \left( {{\omega _0}\sqrt {1-\frac{{{d^2}}}{{4\omega _0^2{m^2}}}} t} \right)} \right)

(siehe auch: Bestimmung der Parameter eines Feder-Masse-Dämpfer-Systems )

Mit der dimensionslosen Größe D = \frac{d}{{2{\omega _0}m}} (Lehrsche Dämpfung) und der Definition {\omega _d} = {\omega _0}\sqrt {1-{D^2}}wird sich dies zu:

{z_h} = \exp \left\{ {-\frac{d}{{2m}}t} \right\}\left( {A\cos \left( {{\omega _0}\sqrt {1-{D^2}} t} \right)+B\sin \left( {{\omega _0}\sqrt {1-{D^2}} t} \right)} \right)

\quad = \exp \left\{ {-{\omega _0}Dt} \right\}\left( {A\cos \left( {{\omega _d}t} \right)+B\sin \left( {{\omega _d}t} \right)} \right)

Den Fall D = 1 bezeichnet man als den aperiodischen Grenzfall (kritische Dämpfung).

Nun kommen wir zur partikulären Lösung. Hier benutzen wir einen Ansatz vom Typ der rechten Seite:

{z_p} = {z_C}\cos \left( {\Omega t} \right)+{z_S}\sin \left( {\Omega t} \right)

{{\dot z}_p} = -{z_C}\Omega \sin \left( {\Omega t} \right)+\Omega {z_S}\cos \left( {\Omega t} \right)

{{\ddot z}_p} = -{z_C}{\Omega ^2}\cos \left( {\Omega t} \right)-{z_S}{\Omega ^2}\sin \left( {\Omega t} \right)

Einsetzen liefert in Matrixdarstellung:

\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {c-m{\Omega ^2}}&{d\Omega } \\   {-d\Omega }&{c-m{\Omega ^2}}  \end{array}} \right]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{z_C}} \\   {{z_S}}  \end{array}} \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{F_C}} \\   {{F_S}}  \end{array}} \right\}

Die Lösung des Gleichungssystems bestimmen wir mit der Cramerschen Regel. Dazu setzen wir jeweils den Vektor der Kraftamplituden in die Spalte des zu bestimmenden Koeffizienten ein und teilen durch die Determinante der ursprünglichen Matrix:

\det = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}  {c-m{\Omega ^2}}&{d\Omega } \\   {-d\Omega }&{c-m{\Omega ^2}}  \end{array}} \right| = {\left( {c-m{\Omega ^2}} \right)^2}+{\left( {d\Omega } \right)^2}

{z_C} = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}  {{F_C}}&{d\Omega } \\   {{F_S}}&{c-m{\Omega ^2}}  \end{array}} \right|}}{{\det }} = \frac{{{F_C}\left( {c-m{\Omega ^2}} \right)-{F_S}\Omega d}}{{{{\left( {c-m{\Omega ^2}} \right)}^2}+{{\left( {d\Omega } \right)}^2}}}

{z_S} = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}  {c-m{\Omega ^2}}&{{F_C}} \\   {-d\Omega }&{{F_S}}  \end{array}} \right|}}{{\det }} = \frac{{{F_S}\left( {c-m{\Omega ^2}} \right)+{F_C}d\Omega }}{{{{\left( {c-m{\Omega ^2}} \right)}^2}+{{\left( {d\Omega } \right)}^2}}}

Einsetzen in die Lösung:

\underline{\underline {{z_p}\left( t \right) = \frac{{{F_C}\left( {c-m{\Omega ^2}} \right)-{F_S}\Omega d}}{{{{\left( {c-m{\Omega ^2}} \right)}^2}+{{\left( {d\Omega } \right)}^2}}}\cos \left( {\Omega t} \right)+\frac{{{F_S}\left( {c-m{\Omega ^2}} \right)+{F_C}d\Omega }}{{{{\left( {c-m{\Omega ^2}} \right)}^2}+{{\left( {d\Omega } \right)}^2}}}\sin \left( {\Omega t} \right)}}

Wir können in Zeigerdarstellung schreiben:

a\sin \left( {\Omega t} \right)+b\cos \left( {\Omega t} \right) = A\cos \left( {\Omega t-\varphi } \right)

mit

A = \sqrt {{a^2}+{b^2}}

Also hier:

{z_p} = A\cos \left( {\Omega t-\varphi } \right)

mit

A = \sqrt {F_C^2+F_S^2} \frac{1}{{\sqrt {{{\left( {c-m{\Omega ^2}} \right)}^2}+{d^2}{\Omega ^2}} }}

\varphi = \arctan \left( {\frac{B}{A}} \right) = \arctan \left( {\frac{{{F_S}\left( {c-m{\Omega ^2}} \right)+{F_C}\Omega d}}{{{F_C}\left( {c-m{\Omega ^2}} \right)-{F_S}\Omega d}}} \right)

Einsetzen von {F_C} und {F_S} in {z_p}:

{z_p} = A\cos \left( {\Omega t-\varphi } \right)

\quad \Rightarrow \quad {{\hat z}_p} = A = \frac{{\sqrt {F_C^2+F_S^2} }}{{\sqrt {{{\left( {c-m{\Omega ^2}} \right)}^2}+{d^2}{\Omega ^2}} }}\quad

{F_S} = c{y_0},\quad {F_C} = d{y_0}\frac{{\pi v}}{l} = d{y_0}\Omega

\quad \Rightarrow \quad {{\hat z}_p} = \frac{{\sqrt {{{\left( {d{y_0}\Omega } \right)}^2}+{{\left( {c{y_0}} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{{\left( {c-m{\Omega ^2}} \right)}^2}+{d^2}{\Omega ^2}} }}

Einsetzen folgender Definitionen:

D = \frac{d}{{2\sqrt {cm} }} = \frac{d}{{2{\omega _0}m}}\quad ;\quad \eta = \frac{\Omega }{{{\omega _0}}}\quad ;\quad \frac{c}{m} = \omega _0^2

\quad \Rightarrow \quad {{\hat z}_p} = {y_0}\frac{{\sqrt {{{\left( {2D{\omega _0}m\eta {\omega _0}} \right)}^2}+{{\left( {\omega _0^2m} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{{\left( {m\omega _0^2-m{\eta ^2}\omega _0^2} \right)}^2}+{{\left( {2D{\omega _0}m\eta {\omega _0}} \right)}^2}} }} = {y_0}\frac{{\omega _0^2m}}{{\omega _0^2m}}\frac{{\sqrt {{{\left( {2D\eta } \right)}^2}+1} }}{{\sqrt {{{\left( {1-{\eta ^2}} \right)}^2}+{{\left( {2D\eta } \right)}^2}} }}

Damit bekommen wir schließlich die so genannte Vergrößerungsfunktion V:

V = \frac{{{{\hat z}_p}}}{{{y_0}}} = \frac{{\sqrt {{{\left( {2D\eta } \right)}^2}+1} }}{{\sqrt {{{\left( {1-{\eta ^2}} \right)}^2}+{{\left( {2D\eta } \right)}^2}} }}

vergroesserungsfunktion-weg

Wir wollen nun den Tilgerpunkt bestimmen, also den Punkt, ab dem V\left( \eta \right) < 1 gilt:

V = \frac{Z}{N}\quad \Rightarrow \quad 1 = \frac{Z}{N}\quad \Rightarrow \quad Z = N

1+{\left( {2D\eta } \right)^2} = {\left( {1-{\eta ^2}} \right)^2}+{\left( {2D\eta } \right)^2}

\quad \Rightarrow \quad 0 = -2{\eta ^2}+{\eta ^4}\quad \Rightarrow \quad {\eta _1} = 0

\quad \Rightarrow \quad 2 = {\eta ^2}\quad \Rightarrow \quad {\eta _2} = \sqrt 2

Ab einem Verhältnis \eta = \sqrt 2 ist also die Auslenkung der Masse kleiner als die Auslenkung des Erregers. Ab hier spricht man von Tilgung.

Zusätzlich können wir am Graphen ablesen, dass im Tilgungsbereich die Tilgung umso besser ist, je kleiner die Dämpfung ist.

Als letztes bestimmen wir noch die Asymptote der Vergrößerungsfunktion:

\mathop {\lim }\limits_{\eta \to \infty } V\left( \eta \right) = \mathop {\lim }\limits_{\eta \to \infty } \frac{{{{\hat z}_p}}}{{{y_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\eta \to \infty } \sqrt {\frac{{{{\left( {2D\eta } \right)}^2}+1}}{{{{\left( {1-{\eta ^2}} \right)}^2}+{{\left( {2D\eta } \right)}^2}}}} = \mathop {\lim }\limits_{\eta \to \infty } \frac{\eta }{\eta }\sqrt {\frac{{{{\left( {2D\eta } \right)}^2}+1}}{{1-2{\eta ^2}+{\eta ^4}+{{\left( {2D\eta } \right)}^2}}}}

\quad = \mathop {\lim }\limits_{\eta \to \infty } \sqrt {\frac{{{{\left( {2D} \right)}^2}+\frac{1}{{{\eta ^2}}}}}{{\frac{1}{{{\eta ^2}}}-2+\frac{{{\eta ^4}}}{{{\eta ^2}}}+{{\left( {2D} \right)}^2}}}} = \mathop {\lim }\limits_{\eta \to \infty } \sqrt {\frac{{{{\left( {2D} \right)}^2}+\frac{1}{{{\eta ^2}}}}}{{\frac{1}{{{\eta ^2}}}-2+{\eta ^2}+{{\left( {2D} \right)}^2}}}}

\quad = \mathop {\lim }\limits_{\eta \to \infty } \sqrt {\frac{{{{\left( {2D} \right)}^2}}}{{-2+{\eta ^2}+{{\left( {2D} \right)}^2}}}} = 0

3 Bestimmung der Beschleunigung

Nun kommen wir zur Berechnung der Beschleunigung. Dazu leiten wir die Lösung für den Weg ab:

{z_p}\left( t \right) = \underbrace {{y_0}{V_{weg}}}_{{{\hat z}_p}}\cos \left( {\Omega t-\varphi } \right)

{{\dot z}_p}\left( t \right) = -{y_0}{V_{weg}}\Omega \sin \left( {\Omega t-\varphi } \right)

{{\ddot z}_p}\left( t \right) = \underbrace {-{y_0}{\Omega ^2}{V_{weg}}}_{{{\hat \ddot z}_p}}\cos \left( {\Omega t-\varphi } \right)

Aus dem Vorfaktor des Kosinus definieren wir nun auch eine Vergrößerungsfunktion für die Beschleunigung:

\frac{{{{\hat \ddot z}_p}}}{{{y_0}\omega _0^2}} = \underbrace {-{\eta ^2}{V_{weg}}}_{{V_{Beschl}}.}\left( \eta \right)\quad ;\quad \eta = \frac{\Omega }{{{\omega _0}}}

Wir bestimmen wieder die Asymptote der Vergrößerungsfunktion:

\mathop {\lim }\limits_{\eta \to \infty } \left| {{V_{Beschl.}}} \right| =

\mathop {\lim }\limits_{\eta \to \infty } \left\{ {-{\eta ^2}{V_{Weg}}\left( \eta \right)} \right\} = \mathop {\lim }\limits_{\eta \to \infty } \left\{ {-{\eta ^2}\frac{{{{\hat z}_p}}}{{{y_0}}}} \right\} = \mathop {\lim }\limits_{\eta \to \infty } \sqrt {\frac{{{{\left( {2D{\eta ^2}} \right)}^2}+{\eta ^2}}}{{{{\left( {1-{\eta ^2}} \right)}^2}+{{\left( {2D\eta } \right)}^2}}}}

\quad = \mathop {\lim }\limits_{\eta \to \infty } \frac{{{\eta ^2}}}{{{\eta ^2}}}\sqrt {\frac{{{{\left( {2D{\eta ^4}} \right)}^2}+{\eta ^2}}}{{1-2{\eta ^2}+{\eta ^4}+{{\left( {2D\eta } \right)}^2}}}} = \mathop {\lim }\limits_{\eta \to \infty } \sqrt {\frac{{{{\left( {2D\eta } \right)}^2}+\frac{1}{{{\eta ^4}}}}}{{\frac{1}{{{\eta ^4}}}-\frac{2}{{{\eta ^2}}}+\frac{{{\eta ^4}}}{{{\eta ^4}}}+{{\left( {\frac{{2D}}{\eta }} \right)}^2}}}}

\quad = \sqrt {\frac{{{{\left( {2D\eta } \right)}^2}}}{1}} = 2D\eta

vergroesserungsfunktion-beschleunigung

4 Bestimmung des relativen Weges

Zum Schluss wollen wir noch die die Koordinate w einführen. Bisher haben wir lediglich die Absolutbewegung z = w+y betrachtet. Nun wollen wir allerdings die Relativbewegung w = z-y betrachten, also wie sich der Fahrzeugaufbau zum entsprechenden Federweg bzw. zum Untergrund verhält. Dazu betrachten wir noch einmal die Ausgangsgleichung:

m\ddot z+d\left( {\dot z-\dot y} \right)+c\left( {z-y} \right) = 0

Einsetzen der Absolutbewegung:

m\ddot w+m\ddot y+d\dot w+cw = 0

m\ddot w+d\dot w+cw = -m\ddot y

Für die Funktion der Fahrbahnunebenheit gilt:

y = {y_0}\sin \left( {\frac{{\pi x}}{l}} \right) = {y_0}\sin \left( {\frac{{\pi v}}{l}t} \right)

\dot y = {y_0}\frac{{\pi v}}{l}\cos \left( {\frac{{\pi v}}{l}t} \right)

\ddot y = -{y_0}{\left( {\frac{{\pi v}}{l}} \right)^2}\sin \left( {\frac{{\pi v}}{l}t} \right)

Durch Einsetzen folgt:

m\ddot w+d\dot w+cw = m{y_0}\underbrace {{{\left( {\frac{{\pi v}}{l}} \right)}^2}}_{{\Omega ^2}}\sin \left( {\frac{{\pi v}}{l}t} \right) = {F_s}\sin \left( {\Omega t} \right)

mit {F_s} = m{y_0}{\left( {\frac{{\pi v}}{l}} \right)^2} = m{y_0}{\Omega ^2}.

Als Lösungs-Ansatz verwenden wir:

{w_p} = {w_s}\sin \left( {\Omega t} \right)+{w_c}\cos \left( {\Omega t} \right)

{{\dot w}_p} = {w_s}\Omega \cos \left( {\Omega t} \right)-{w_c}\Omega \sin \left( {\Omega t} \right)

{{\ddot w}_p} = {w_s}{\Omega ^2}\sin \left( {\Omega t} \right)-{w_c}{\Omega ^2}\cos \left( {\Omega t} \right)

Einsetzen liefert:

m\ddot w+d\dot w+cw = {F_s}\sin \left( {\Omega t} \right)

\quad \Rightarrow \quad m{w_s}{\Omega ^2}\sin \left( {\Omega t} \right)-m{w_c}{\Omega ^2}\cos \left( {\Omega t} \right)+d{w_s}\Omega \cos \left( {\Omega t} \right)-d{w_c}\Omega \sin \left( {\Omega t} \right)+

\qquad \quad +c{w_s}\sin \left( {\Omega t} \right)+c{w_c}\cos \left( {\Omega t} \right) = {F_s}\sin \left( {\Omega t} \right)

Koeffizientenvergleich liefert:

\left( I \right):\quad m{w_s}{\Omega ^2}-d{w_c}\Omega +c{w_s} = {F_s}

\left( {II} \right):\quad -m{w_c}{\Omega ^2}+d{w_s}\Omega +c{w_c} = 0

In Matrizenschreibweise ergibt sich:

\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {c-m{\Omega ^2}}&{d\Omega } \\   {-d\Omega }&{c-m{\Omega ^2}}  \end{array}} \right]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{w_c}} \\   {{w_s}}  \end{array}} \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  0 \\   {{F_s}}  \end{array}} \right\}

Dieses Gleichungssystem lösen wir nun mithilfe der Cramerschen Regel:

\Rightarrow \quad {w_s} = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}  {c-m{\Omega ^2}}&0 \\   {-d\Omega }&{{F_s}}  \end{array}} \right|}}{{\det }} = \frac{{{F_s}\left( {c-m{\Omega ^2}} \right)}}{{\det }}\quad ;\quad \det = {\underbrace {\left( {c-m{\Omega ^2}} \right)}_a^2}+{\underbrace {\left( {d\Omega } \right)}_b^2}

\Rightarrow \quad {w_c} = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}  0&{d\Omega } \\   {{F_s}}&{c-m{\Omega ^2}}  \end{array}} \right|}}{{\det }} = -\frac{{{F_s}d\Omega }}{{\det }}

Nun müssen wir nur noch umformen:

{w_p} = A\cos \left( {\Omega t-\varphi } \right)

A = {{\hat w}_p} = \sqrt {w_s^2+w_c^2}

\quad \Rightarrow \quad {{\hat w}_p} = \sqrt {\frac{{{{\left( {{F_s}a} \right)}^2}+{{\left( {{F_s}b} \right)}^2}}}{{{{\left( {{a^2}+{b^2}} \right)}^2}}}} = {F_s}\sqrt {\frac{1}{{{a^2}+{b^2}}}}

\quad \Rightarrow \quad {{\hat w}_p} = \frac{{m{y_0}{\Omega ^2}}}{{\sqrt {{{\left( {c-m{\Omega ^2}} \right)}^2}+{{\left( {d\Omega } \right)}^2}} }}

\eta = \frac{\Omega }{{{\omega _0}}}\quad \Rightarrow \quad {\Omega ^2} = {\eta ^2}\omega _0^2\quad ;\quad \frac{c}{m} = \omega _0^2\quad \Rightarrow \quad c = m\omega _0^2

D = \frac{d}{{2\sqrt {cm} }} = \frac{d}{{2{\omega _0}m}}\quad \Rightarrow \quad d = 2D{\omega _0}m

\quad \Rightarrow \quad {{\hat w}_p} = \frac{{m{y_0}{\eta ^2}\omega _0^2}}{{\sqrt {{{\left( {m\omega _0^2-m{\eta ^2}\omega _0^2} \right)}^2}+4{D^2}\omega _0^2{m^2}{\eta ^2}\omega _0^2} }}

\quad \Rightarrow \quad {{\hat w}_p} = {y_0}\frac{{m\omega _0^2}}{{m\omega _0^2}}\frac{{{\eta ^2}}}{{\sqrt {{{\left( {1-{\eta ^2}} \right)}^2}+4{D^2}{\eta ^2}} }}

\quad \Rightarrow \quad \frac{A}{{{y_0}}} = \frac{{{{\hat w}_p}}}{{{y_0}}} = {V_{rel.\;Weg}}

\boxed{{V_{rel.\;Weg}} = {\eta ^2}\frac{1}{{\sqrt {{{\left( {1-{\eta ^2}} \right)}^2}+{{\left( {2D\eta } \right)}^2}} }}}

Diese Gleichung wäre herausgekommen, wenn man sich nur für den relativen Weg interessiert hätte.

vergroesserungsfunktion-relativer-weg

\mathop {\lim }\limits_{\eta \to \infty } {V_{rel.\;Weg}} = \mathop {\lim }\limits_{\eta \to \infty } {\eta ^2}\frac{1}{{\sqrt {{{\left( {1-{\eta ^2}} \right)}^2}+{{\left( {2D\eta } \right)}^2}} }}

\quad = \mathop {\lim }\limits_{\eta \to \infty } \frac{{{\eta ^2}}}{{{\eta ^2}}}{\eta ^2}\frac{1}{{\sqrt {1-{\eta ^2}+{\eta ^4}+{{\left( {2D\eta } \right)}^2}} }}

\quad = \mathop {\lim }\limits_{\eta \to \infty } \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{{\eta ^4}}}-\frac{1}{{{\eta ^2}}}+1+{{\left( {\frac{{2D}}{\eta }} \right)}^2}} }} = 1

5 Bestimmung der relativen Bescheunigung

Wir bestimmen nun die relative Beschleunigung:

w = {y_0}{V_{rel.\;Weg}}\cos \left( {\Omega t-\varphi } \right)

\dot w = -{y_0}{V_{rel.\;Weg}}\Omega \sin \left( {\Omega t-\varphi } \right)

\ddot w = \underbrace {-{y_0}{V_{rel.\;Weg}}{\Omega ^2}}_{{{\hat \ddot w}_p}}\cos \left( {\Omega t-\varphi } \right)

Damit bekommen wir für die Vergrößerungsfunktion der Beschleunigung:

\left| {\frac{{{{\hat \ddot w}_p}}}{{{y_0}\omega _0^2}}} \right| = {\eta ^2}{V_{rel.\;Weg}}\left( \eta \right) = {V_{rel.\;Beschl.}}

Der Grenzwert lautet:

\mathop {\lim }\limits_{\eta \to \infty } {V_{rel.\;Beschl.}} = \mathop {\lim }\limits_{\eta \to \infty } {\eta ^2}{V_{rel.\;Weg}}

\quad = \mathop {\lim }\limits_{\eta \to \infty } \frac{{{\eta ^4}}}{{{\eta ^4}}}{\eta ^4}\frac{1}{{\sqrt {{{\left( {1-{\eta ^2}} \right)}^2}+{{\left( {2D\eta } \right)}^2}} }}

\quad = \mathop {\lim }\limits_{\eta \to \infty } \frac{{{\eta ^2}}}{{{\eta ^2}}}{\eta ^2}\frac{{{\eta ^2}}}{{\sqrt {1-{\eta ^2}+{\eta ^4}+{{\left( {2D\eta } \right)}^2}} }}

\quad = \mathop {\lim }\limits_{\eta \to \infty } \frac{{{\eta ^2}}}{{\sqrt {\frac{1}{{{\eta ^4}}}-\frac{1}{{{\eta ^2}}}+1+{{\left( {\frac{{2D}}{\eta }} \right)}^2}} }} = {\eta ^2}

vergroesserungsfunktion-relative-beschleunigung

Bemerkungen zum eingeschwungenen Zustand

Für die Schwingungs-Lösung gilt:

{x_{ges}} = {x_h}+{x_p}

Nach einer gewissen Zeit klingt jedoch die Anfangsschwingung (homogene Lösung) ab und es bleibt nur noch die partikuläre Lösung der Schwingung übrig. Dies bezeichnet man dann als den eingeschwungenen Zustand.

schwingungen-mit-sinusfoermiger-erregung

Manchmal ist aber auch der Zustand vor dem eingeschwungenen Zustand wichtig, da die Amplitude vor dem eingeschwungenen Zustand sehr hoch sein kann.

\mathcal{J}\mathcal{K}\& \mathcal{S}\mathcal{W}