02.1 – Fahrzeugmodell im Wasserkanal

 

Die Strömung um ein Fahrzeug (Index „F“) der Länge lF = 4m soll in einem Wasserkanal an einem Modell (Index „M“) – Modelllänge lM = 0,4m untersucht werden.

Die maximal erreichbare Geschwindigkeit im Wasserkanal (Schaufelkavitation!) ist 5m/s.

Stoffwerte (bei 20 °C):

\begin{array}{*{20}c} \hline \vline & {} &\vline & {Index} &\vline & {Kin.\:Viskositat\:\nu } &\vline & {Dichte\:\rho } &\vline & {Schallgeschwindigkeit\:c} \\ \hline \vline & {} &\vline & {} &\vline & {10^{-6} \frac{{m^2 }} {s}} &\vline & {\frac{{kg}} {{m^3 }}} &\vline & {\frac{m} {s}} \\ \hline \vline & {Luft} &\vline & {L} &\vline & {16} &\vline & {1,2} &\vline & {333} \\ \hline \vline & {Wasser} &\vline & {W} &\vline & 1 &\vline & {1000} &\vline & {1500} \\ \hline \end{array}

Bei allen Fragen gilt derselbe Strömungszustand.

  1. Welche Reynolds-Zahl kann am Versuchsmodell im Wasserkanal maximal erreicht werden?
  2. Wie groß ist die vergleichbare maximale Geschwindigkeit vF des Fahrzeugs, wenn im Windkanal ähnliche Strömung herrschen soll?
  3. Was kann über den Einfluss der Kompressibilität in beiden Fällen ausgesagt werden?

  4. Wie können die am Modell auftretenden Drücke pM auf das Fahrzeug umgerechnet werden?

  5. Wie verhalten sich die entsprechenden Frequenzen bei einem periodischen Vorgang, z.B. bei periodischen Ablösungen?
  6. Wie bestimmt sich aus dem Versuch der Widerstand des Fahrzeugs?

Lösung

1.

Für die Reynolds-Zahl gilt:

\operatorname{Re} = \frac{{u \cdot L}} {\nu }

wobei u die Geschwindigkeit des Fluides und L die Länge des umströmten Objektes ist.

Besitzen zwei Strömungen die gleiche Reynolds-Zahl, so bezeichnet man sie als ähnlich.

Grafik

Somit erhalten wir:

\operatorname{Re} _{\max } = \frac{{u_{\max } \cdot l_M }} {{\nu _W }} = \frac{{5\frac{m} {s} \cdot 0,4m}} {{10^{-6} \frac{{m^2 }} {s}}} = \underline{\underline {2 \cdot 10^6 }}

2.

Ähnliche Strömung bedeutet, dass die Reynolds-Zahl gleich sein muss:

\Rightarrow \quad \operatorname{Re} _M = \operatorname{Re} _F

\frac{{u_{\max _F } \cdot l_F }} {{\nu _L }} = 2 \cdot 10^{-6} \quad \Rightarrow \quad u_{\max _F } = \frac{{\nu _L \cdot 2 \cdot 10^6 }} {{l_F }} = \frac{{16 \cdot 10^{-6} \frac{{m^2 }} {s} \cdot 2 \cdot 10^6 }} {{4m}}

= \underline{\underline {8\frac{m} {s}}} = 28,8\frac{{km}} {h}

3.

Der Einfluss der Kompressibilität wird dann als vernachlässigbar klein (< 5%) angenommen, wenn die Strömungsgeschwindigkeit kleiner als 1/3 der Schallgeschwindigkeit ist, d.h., wenn die Machzahl kleiner als 0,3 ist.

Berechnet wird dir Machzahl als Quotient von Strömungsgeschwindigkeit und Schallgeschwindigkeit:

Ma = \frac{u} {c}

Damit folgt für das Fahrzeug:

Ma_F = \frac{{8\frac{m} {s}}} {{333\frac{m} {s}}} = \underline{\underline {0,024}}

Und für das Modell:

Ma_F = \frac{{5\frac{m} {s}}} {{1500\frac{m} {s}}} = \underline{\underline {0,003}}

Da diese beiden Zahlen sogar noch viel kleiner als 0,3 sind, hat die Kompressibilität in beiden Fällen keinen nennenswerten Einfluss.

Im Übrigen werden Flüssigkeiten als inkompressibel angenommen.

4.

Die Umrechnung der auftretenden Drücke erfolgt mit Hilfe der sog. Eulerzahl.

Die Euler-Zahl (Eu) ist eine dimensionslose Kennzahl der Ähnlichkeitstheorie in der Strömungslehre und stellt das Verhältnis von Druckkräften zu Trägheitskräften da:

Eu: = \frac{{\Delta p}} {{\rho \,v^2 }}

wobei v die Geschwindigkeit ist.

Da die Strömungen ähnlich sind (gleiche Reynolds-Zahl), haben sie auch gleiche Euler-Zahlen:

Eu_M = Eu_F \quad \Rightarrow \quad \frac{{p_M }} {{\rho _W \cdot u_M^2 }} = \frac{{p_F }} {{\rho _L \cdot u_F^2 }}

\Rightarrow \quad p_F = p_M \cdot \frac{{\rho _L }} {{\rho _W }} \cdot \left( {\frac{{u_F }} {{u_M }}} \right)^2

5.

Für die Bestimmung des Verhaltens der Frequenzen nutzen wir die sog. Strouhal-Zahl.

Die Strouhal-Zahl (Sr) ist eine dimensionslose Frequenz mit der die Ablösefrequenz von Wirbeln bestimmt werden kann:

Sr = \frac{{f\cdot l}} {u}

Da die Strömungen ähnlich sind (gleiche Reynolds-Zahl), haben sie ebenfalls gleiche Strouhal-Zahlen:

Sr_M = Sr_F \quad \Rightarrow \quad \frac{{f_M \cdot l_M }} {{u_M }} = \frac{{f_F \cdot l_F }} {{u_F }}

\Rightarrow \quad \frac{{f_F }} {{f_M }} = \frac{{u_F \cdot l_M }} {{u_M \cdot l_F }}

6.

Der Widerstand des Fahrzeugs bestimmt sich über den sog. Cw-Wert.

Der Strömungswiderstandskoeffizient , Widerstandsbeiwert oder Cw-Wert (cw) ist ein dimensionsloses Maß für den Strömungswiderstand Körpers, der von einem Fluid umströmt wird:

C_w = \frac{{F_W }} {{q\cdot A}} = \frac{{F_W }} {{\frac{\rho } {2}v^2 \cdot A}}

F_W :Widerstandskraft

\rho : Dichte

v:Geschwindigkeit

A: Referenzfl\ddot ache

Die Referenzfläche berechnet man wie folgt:

Grafik

A_{Ref_F } = h_F \cdot b_F

A_{Ref_M } = h_M \cdot b_M = \frac{1} {{10}}h_F \cdot \frac{1} {{10}}b_F = \frac{1} {{100}}A_{Ref_F }

Auch der Cw-Wert ist bei Fahrzeug und Modell wieder gleich:

C_{w_M } = C_{w_F } \quad \Rightarrow \quad \frac{{F_{W_M } }} {{\frac{{\rho _W }} {2}v_M ^2 \cdot A_M }} = \frac{{F_{W_F } }} {{\frac{{\rho _L }} {2}v_F ^2 \cdot A_F }}

\Rightarrow \quad \frac{{F_{W_F } }} {{F_{W_M } }} = \frac{{A_F }} {{A_M }} \cdot \left( {\frac{{v_F }} {{v_M }}} \right)^2 \cdot \frac{{\rho _L }} {{\rho _W }}

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\mathcal{J}\mathcal{K}