A 16 – Fallender Regentropfen

An einem heißen Sommertag fällt ein Regentropfen mit dem Durchmesser $d$ aus einer Höhe $H$ Richtung Erde. Während des Fluges verdunstet der Tropfen und wird immer kleiner.

fallender-regentropfen

Annahmen:

Der Regentropfen kann als starre Kugel behandelt werden.
Die Temperatur des Regentropfens und die Temperatur der Umgebung bleiben konstant.
Der Stoffübergangswiderstand liegt vollständig auf der Gasseite.

Aufgaben:

Berechnen Sie den Diffusionskoeffizienten von Wasser in Luft.
Bestimmen Sie den Stoffübergangskoeffizienten ${h_m}$ in Abhängigkeit vom Tropfendurchmesser.
Wie sieht der Wasserkonzentrationsverlauf vom Tropfen bis in die Umgebung aus?
Leiten Sie eine Funktion für die zeitliche Abnahme des Tropfendurchmessers her.
Wie lange dauert es, bis ein Tropfen mit dem Durchmesser $d$ verdunstet ist?

Gegeben:

Tropfendurchmesser: $d = 0,004\;{\text{m}}$

Diffusionskoeffizient $\left( {T = 0^\circ C} \right)$ : ${D_{{\text{Wasser/Luft}}}} = 2,3 \cdot {10^{-5}}{{\text{m}}^2}/s$

Kinematische Viskosität: ${\nu _{{\text{Luft}}}} = 167,8 \cdot {10^{-7}}{{\text{m}}^2}/s$

Temperatur Tropfen: ${T_{{\text{Tr}}}} = 20\;^\circ {\text{C}}$

Temperatur Umgebung: ${T_{\text{U}}} = 35\;^\circ {\text{C}}$

Fallgeschwindigkeit Tropfen: ${\text{v = 156}}{\text{,41}} \cdot {{\text{d}}^{0,5}}{\text{m}}/s$

Relative Luftfeuchte: $\varphi = 0,1$

Koeffizienten der Antoine-Gleichung für Wasser:

$A = 8,07131;\quad B = 1730,63;\quad C = 233,426$

Dichte Wasser: ${\rho _{{{\text{H}}_{\text{2}}}{\text{O}}}} = 1000\;{\text{kg}}/{{\text{m}}^3}$

Molmasse Wasser: ${\hat M_{{\text{C}}{{\text{O}}_{\text{2}}}}} = 18\;{\text{g/mol}}$

Diffusionskoeffizient für Wasser/Luft-Gemische: $\frac{{D\left( {{T_1}} \right)}}{{D\left( {{T_2}} \right)}} = {\left( {\frac{{{T_1}}}{{{T_2}}}} \right)^{1,8}}$

Relative Luftfeuchte: $\varphi = \frac{{{p_{{{\text{H}}_{\text{2}}}{\text{O}}}}}}{{p_{{{\text{H}}_{\text{2}}}{\text{O}}}^0}}$

Sherwood-Zahl: ${\operatorname{Sh} _{\text{m}}} = 1,14 \cdot {\operatorname{Re} ^{1/2}} \cdot {\operatorname{Sc} ^{1/3}}$

Antoine-Gleichung: $p_{{{\text{H}}_{\text{2}}}{\text{O}}}^0 = {10^{A-\frac{B}{{C+T}}}}\left[ {{\text{mmHg}}} \right]$ und $T = \left[ {^\circ {\text{C}}} \right]$

Lösung

a) Diffusionskoeffizient

Wir müssen zunächst die mittlere Temperatur bestimmen:

${T_{\text{m}}} = \frac{{{T_{\text{r}}}+{T_{\text{U}}}}}{2} = \frac{{20^\circ {\text{C}}+35^\circ {\text{C}}}}{2} = 27,5\;^\circ {\text{C}} = 300,65\;{\text{K}}$

Damit berechnen wir nun den Diffusionskoeffizienten:

$D\left( {{T_1}} \right) = D\left( {{T_2}} \right){\left( {\frac{{{T_1}}}{{{T_2}}}} \right)^{1,8}}$

$\Rightarrow \quad D\left( {{T_{\text{m}}}} \right) = 2,3 \cdot {10^{-5}}\frac{{{{\text{m}}^2}}}{{\text{s}}} \cdot {\left( {\frac{{{T_{\text{m}}}}}{{273,15\;{\text{K}}}}} \right)^{1,8}} = 2,733 \cdot {10^{-5}}\frac{{{{\text{m}}^2}}}{{\text{s}}}$

b) Stoffübergangskoeffizient

Hier benötigen wir die Sherwood-Zahl:

${\operatorname{Sh} _{\text{m}}} = \frac{{{h_m} \cdot L}}{D} = 1,14 \cdot {\operatorname{Re} ^{1/2}} \cdot {\operatorname{Sc} ^{1/3}};\quad L = d$

Dabei ist $\operatorname{Sc}$ die Schmidt-Zahl:

$\operatorname{Sc} = \frac{\nu }{D}$

Damit folgt:

${h_m} = \frac{D}{d} \cdot 1,14 \cdot {\left( {\frac{{v \cdot L}}{\nu }} \right)^{1/2}} \cdot {\left( {\frac{\nu }{D}} \right)^{1/3}} = \underbrace {0,0809\frac{{{{\text{m}}^{5/4}}}}{{\text{s}}}}_K \cdot {d^{-0,25}} = K \cdot {d^{-0,25}}$

c) Wasserkonzentrationsverlauf

fallender-regentropfen-wasserkonzentration

d) Funktion für die zeitliche Abnahme des Tropfendurchmessers

Für die zeitliche Änderung der Masse gilt:

$\frac{{d{m_{{\text{Tr}}}}}}{{dt}} = -{\dot M_{{\text{Tr}}}} = -{j_{{{\text{H}}_{\text{2}}}{\text{O}}}} \cdot A;\quad A = \pi {d^2}$

Für den konvektiven Stoffübergang gilt:

${j_{{{\text{H}}_{\text{2}}}{\text{O}}}} = \rho \cdot {h_m}\left( d \right) \cdot \left( {{y_{\text{w}}}-{y_\infty }} \right)$

$\Rightarrow \quad {j_{{{\text{H}}_{\text{2}}}{\text{O}}}} = {h_m}\left( d \right) \cdot \left( {{\rho _{{{\text{H}}_{\text{2}}}{\text{O}}{\text{,w}}}}-{\rho _{{{\text{H}}_{\text{2}}}{\text{O}}{\text{,}}\infty }}} \right)$

Für die Masse des Wassertropfens gilt:

${m_{{\text{Tr}}}}\left( d \right) = \frac{{{d^3}\pi }}{6} \cdot {\rho _{{{\text{H}}_2}{\text{O}}}};\quad d = d\left( t \right)$

$\Rightarrow \quad \frac{{d{m_{{\text{Tr}}}}}}{{dt}} = \frac{{d{m_{{\text{Tr}}}}}}{{dd}}\frac{{dd}}{{dt}} = \frac{{{d^2}\pi }}{2} \cdot {\rho _{{{\text{H}}_2}{\text{O}}}}\frac{{dd}}{{dt}}$

Nun müssen wir alles einsetzen:

$\frac{{{d^2}\pi }}{2} \cdot {\rho _{{{\text{H}}_2}{\text{O}}}}\frac{{dd}}{{dt}} = \frac{{d{m_{{\text{Tr}}}}}}{{dt}}$

$\Rightarrow \quad \frac{{{d^2}\pi }}{2} \cdot {\rho _{{{\text{H}}_2}{\text{O}}}}\frac{{dd}}{{dt}} = -{j_{{{\text{H}}_{\text{2}}}{\text{O}}}} \cdot A$

$\Rightarrow \quad \frac{{{d^2}\pi }}{2} \cdot {\rho _{{{\text{H}}_2}{\text{O}}}}\frac{{dd}}{{dt}} = -{h_m}\left( d \right) \cdot \left( {{\rho _{{{\text{H}}_{\text{2}}}{\text{O}}{\text{,w}}}}-{\rho _{{{\text{H}}_{\text{2}}}{\text{O}}{\text{,}}\infty }}} \right) \cdot \pi {d^2}$

$\Rightarrow \quad \frac{1}{2} \cdot {\rho _{{{\text{H}}_2}{\text{O}}}}\frac{{dd}}{{dt}} = -K \cdot {d^{-0,25}} \cdot \left( {{\rho _{{{\text{H}}_{\text{2}}}{\text{O}}{\text{,w}}}}-{\rho _{{{\text{H}}_{\text{2}}}{\text{O}}{\text{,}}\infty }}} \right)$

$\Rightarrow \quad {d^{1/4}}dd = -\frac{{2K}}{{{\rho _{{{\text{H}}_2}{\text{O}}}}}} \cdot \left( {{\rho _{{{\text{H}}_{\text{2}}}{\text{O}}{\text{,w}}}}-{\rho _{{{\text{H}}_{\text{2}}}{\text{O}}{\text{,}}\infty }}} \right)dt\qquad \left| {\int {} } \right.$

$\Rightarrow \quad \frac{4}{5}{d^{5/4}} = -\frac{{2K}}{{{\rho _{{{\text{H}}_2}{\text{O}}}}}} \cdot \left( {{\rho _{{{\text{H}}_{\text{2}}}{\text{O}}{\text{,w}}}}-{\rho _{{{\text{H}}_{\text{2}}}{\text{O}}{\text{,}}\infty }}} \right) \cdot t+{c_1}$

$\Rightarrow \quad d\left( t \right) = -{\left( {\frac{5}{2}\frac{K}{{{\rho _{{{\text{H}}_2}{\text{O}}}}}} \cdot \left( {{\rho _{{{\text{H}}_{\text{2}}}{\text{O}}{\text{,w}}}}-{\rho _{{{\text{H}}_{\text{2}}}{\text{O}}{\text{,}}\infty }}} \right) \cdot t+{c_2}} \right)^{4/5}}$

Zur Bestimmung der Konstante benötigen wir die Anfangsbedingung:

$d\left( {t = 0} \right) = 4\;{\text{mm}}\quad \Rightarrow \quad c = 4\;{\text{mm}} = 0,004\;{\text{m}}$

e) Dauer der Verdunstung

Für die Dichte gilt:

${p_i} = {\rho _i} \cdot {R_i} \cdot T = \frac{{{\rho _i} \cdot \hat M}}{{\mathcal{R} \cdot T}}$

Für die Dicke des Tropfens soll gelten:

$d\left( t \right) = 0,004\;{\text{m}}-{\left( {\frac{5}{2}\frac{K}{{{\rho _{{{\text{H}}_2}{\text{O}}}}}} \cdot \left( {{\rho _{{{\text{H}}_{\text{2}}}{\text{O}}{\text{,w}}}}-{\rho _{{{\text{H}}_{\text{2}}}{\text{O}}{\text{,}}\infty }}} \right) \cdot t} \right)^{4/5}}\mathop = \limits^! 0$

$\Rightarrow \quad 0 = 0,004\;{\text{m}}-{\left( {\frac{5}{2}\frac{K}{{{\rho _{{{\text{H}}_2}{\text{O}}}}}}\frac{{{{\hat M}_{{{\text{H}}_2}{\text{O}}}}}}{\mathcal{R}} \cdot \left( {\frac{{{p_{{{\text{H}}_{\text{2}}}{\text{O}}{\text{,w}}}}}}{{{T_{{{\text{H}}_{\text{2}}}{\text{O}}}}}}-\frac{{{p_{{{\text{H}}_{\text{2}}}{\text{O}}{\text{,}}\infty }}}}{{{T_\infty }}}} \right) \cdot t} \right)^{4/5}}$

Für die den Druck gilt:

${p_{{{\text{H}}_{\text{2}}}{\text{O}}{\text{,w}}}} = \underbrace x_1 \cdot p_{{{\text{H}}_{\text{2}}}{\text{O}}}^0\left( {20^\circ C} \right)$

Mithilfe der Antoine-Gleichung folgt:

$p_{{{\text{H}}_{\text{2}}}{\text{O}}}^0\left( {T = 20^\circ C} \right) = {10^{A-\frac{B}{{C+T}}}} = 17,473\;{\text{mmHg}} = 2329,53\;{\text{Pa}}$

$\left[ {1\;{\text{mmHg}} \overset{\wedge}{=}{\text{133}}{\text{,32}}\;{\text{Pa}}} \right]$

Der Partialdruck vom Wasser im Unendlichen lässt sich mithilfe der relativen Luftfeuchte bestimmen:

$\varphi = \frac{{{p_{{{\text{H}}_{\text{2}}}{\text{O}}{\text{,}}\infty }}}}{{p_{{{\text{H}}_{\text{2}}}{\text{O}}}^0}} = 0,1\quad \Rightarrow \quad {p_{{{\text{H}}_{\text{2}}}{\text{O}}{\text{,}}\infty }} = 0,1 \cdot p_{{{\text{H}}_{\text{2}}}{\text{O}}}^0\left( {35\;^\circ {\text{C}}} \right)$

$p_{{{\text{H}}_{\text{2}}}{\text{O}}}^0\left( {T = 35^\circ C} \right) = {10^{A-\frac{B}{{C+T}}}} = 42,071\;{\text{mmHg}} = 5608,92\;{\text{Pa}}$

Durch Einsetzen folgt:

$0 = 0,004\;{\text{m}}-{\left( {\frac{5}{2}\frac{{0,0809\frac{{{{\text{m}}^{5/4}}}}{{\text{s}}}}}{{1000\frac{{{\text{kg}}}}{{{{\text{m}}^3}}}}}\frac{{0,018\frac{{{\text{kg}}}}{{{\text{mol}}}}}}{{8,314\frac{{\text{J}}}{{{\text{mol}}\;{\text{K}}}}}} \cdot \left( {\frac{{2329,53\;{\text{Pa}}}}{{293,15\;{\text{K}}}}-\frac{{560,8\;{\text{Pa}}}}{{308,15\;{\text{K}}}}} \right) \cdot t} \right)^{4/5}}$

$\Rightarrow \quad t = {\left( {0,004\;{\text{m}}} \right)^{5/4}} \cdot \frac{{2 \cdot 1000\frac{{{\text{kg}}}}{{{{\text{m}}^3}}} \cdot 8,314\frac{{\text{J}}}{{{\text{mol}}\;{\text{K}}}}}}{{5 \cdot 0,0809\frac{{{{\text{m}}^{5/4}}}}{{\text{s}}} \cdot 0,018\frac{{{\text{kg}}}}{{{\text{mol}}}} \cdot \left( {\frac{{2329,53\;{\text{Pa}}}}{{293,15\;{\text{K}}}}-\frac{{560,8\;{\text{Pa}}}}{{308,15\;{\text{K}}}}} \right)}}$

$\Rightarrow \quad t = 374,9736\;{\text{s}} = 6.2496\;{\text{min}}$

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