U02 – Feder-Masse-Dämpfer, Lösung im Zeitbereich

Gegeben sei die homogene Differentialgleichung für die Bewegung eines Feder-Massen-Dämpfer-Systems (entsprechend der ersten Übung ohne sinusförmige Erregung):

$m\ddot x\left( t \right)+d\dot x\left( t \right)+cx\left( t \right) = 0$

Die Anfangsbedingungen sind:
Anfangsauslenkung zum Zeitpunkt $t = 0:\quad x\left( 0 \right) = {x_0}$
Anfangsgeschwindigkeit zum Zeitpunkt $t = 0:\quad \dot x\left( 0 \right) = {v_0}$

Bringen Sie die Differentialgleichung auf die Form $\ddot x\left( t \right)+2\delta \dot x\left( t \right)+\omega _0^2x\left( t \right) = 0$ , bestimmen Sie die Werte $\delta$ und ${\omega _0}$ und geben Sie die Dimension für diese Werte an.
Lösen Sie die Differentialgleichung im Zeitbereich mit dem ${e^{\lambda t}}$ -Ansatz und unterscheiden Sie die Fälle $\delta > {\omega _0}$ und $\delta < {\omega _0}$
Hinweis: Die Lösungen sind in reeller Form anzugeben. Unter Verwendung folgender Formeln: ${e^{ \pm x}} = \cosh \left( x \right) \pm \sinh \left( x \right)$ und ${e^{ \pm jx}} = \cos \left( x \right) \pm j\sin \left( x \right)$
Lösen Sie die Differentialgleichung für den aperiodischen Grenzfall $\delta = {\omega _0}$
Skizzieren Sie qualitativ die Lösungen mit ${v_0} = 0$ für die drei Fälle und deuten Sie die Größe $\delta$ für $\delta < {\omega _0}$
Mit welcher Frequenz schwingt das System?
Geben Sie für den Fall $\delta < {\omega _0}$ die Schwingungsdauer $T$ an

Lösung

a )

Wir beginnen mit der homogenen Differentialgleichung:

$m\ddot x\left( t \right)+d\dot x\left( t \right)+cx\left( t \right) = 0$

Umstellen:

$\ddot x\left( t \right)+\frac{d}{m}\dot x\left( t \right)+\frac{c}{m}x\left( t \right) = 0$

Mit $2\delta = \frac{d}{m}$ und $\omega _0^2 = \frac{c}{m}$ ergibt sich: $\ddot x\left( t \right)+2\delta \dot x\left( t \right)+\omega _0^2x\left( t \right) = 0$

Die Dimensionen (Einheiten) sind:

$m = \left[ {kg} \right],\quad c = \left[ {\frac{N}{m}} \right] = \left[ {\frac{{kg}}{{{s^2}}}} \right],\quad \delta = \left[ {\frac{1}{s}} \right],\quad {\omega _0} = \left[ {\frac{1}{s}} \right]$

b )

Mit dem Exponentialansatz berechnen wir die charakteristische Gleichung:

$x\left( t \right) = C{e^{\lambda t}},\quad \dot x\left( t \right) = C\lambda {e^{\lambda t}},\quad \ddot x\left( t \right) = C{\lambda ^2}{e^{\lambda t}}$

$\quad \Rightarrow \quad C{\lambda ^2}{e^{\lambda t}}+2\delta C\lambda {e^{\lambda t}}+\omega _0^2C{e^{\lambda t}} = 0$

$\quad \Rightarrow \quad {\lambda ^2}+2\delta \lambda +\omega _0^2 = 0$

Nun berechnen wir die beiden Werte für $\lambda$ :

${\lambda ^2}+2\delta \lambda +\omega _0^2 = 0$

${\lambda ^2}+2\delta \lambda +{\delta ^2} = -\omega _0^2$

${\left( {\lambda +\delta } \right)^2} = {\delta ^2}-\omega _0^2$

${\lambda _{1,2}} = -\delta \pm \sqrt {{\delta ^2}-\omega _0^2}$

Da die Wurzel negativ werden kann, müssen wir drei Fälle unterscheiden:

$\left( I \right):\quad \delta > {\omega _0},\quad {\lambda _{1,2}} = -\delta \pm \omega _e^\prime \quad \in \mathbb{R}$

$\left( {II} \right):\quad \delta > {\omega _0},\quad {\lambda _{1,2}} = -\delta \pm j{\omega _e}\quad \in \mathbb{C}$

$\left( {III} \right):\quad \delta = {\omega _0},\quad \lambda = -\delta \quad \in \mathbb{R}$

Mit

$\omega _e^\prime = \sqrt {{\delta ^2}-\omega _0^2} = \frac{{\sqrt {{d^2}-4cm} }}{{2m}}\quad \in \mathbb{R}\quad \left( I \right)$

${\omega _e} = \sqrt {\omega _0^2-{\delta ^2}} = \frac{{\sqrt {4cm-{d^2}} }}{{2m}}\quad \in \mathbb{R}\quad \left( {II} \right)$

Fall II – konjugiert komplexe Nullstellen

$x\left( t \right) = {C_1}{e^{{\lambda _1}t}}+{C_2}{e^{{\lambda _2}t}} = C{e^{\lambda t}}+\bar C{e^{\bar \lambda t}}$

$= {C_1}{e^{-\delta t+j{\omega _e}t}}+{C_2}{e^{-\delta t-j{\omega _e}t}}$

$= {e^{-\delta t}}\left( {{C_1}{e^{j{\omega _e}t}}+{C_2}{e^{-j{\omega _e}t}}} \right)$

$= {e^{-\delta t}}\left( {{C_1}\cos \left( {{\omega _e}t} \right)+{C_1}j\sin \left( {{\omega _e}t} \right)+{C_2}\cos \left( {{\omega _e}t} \right)+{C_2}j\sin \left( {{\omega _e}t} \right)} \right)$

$= {e^{-\delta t}}\left( {A\cos \left( {{\omega _e}t} \right)+B\sin \left( {{\omega _e}t} \right)} \right)$

Wir haben jetzt die reelle Form. Es gilt:

$A = {C_1}+{C_2},\quad B = j\left( {{C_1}-{C_2}} \right),\quad {C_1} = \frac{{A-jB}}{2},\quad {C_2} = \frac{{A+jB}}{2} = \overline {{C_1}}$

Um die Anfangsbedingungen einsetzen zu können, brauchen wir die erste Ableitung:

$\dot x\left( t \right) = {e^{-\delta t}}\left[ {\left( {-\delta A+{\omega _e}B} \right)\cos \left( {{\omega _e}t} \right)+\left( {-\delta B-{\omega _e}} \right)\sin \left( {{\omega _e}t} \right)} \right]$

Anfangsbedingungen einsetzen:

$\left. {\begin{array}{*{20}{c}} {x\left( 0 \right) = {x_0} = A} \\ {\dot x\left( 0 \right) = {v_0} = -\delta A+{\omega _e}B} \\ \end{array} } \right\}\quad \Rightarrow \quad B = \frac{{{v_0}+\delta {x_0}}}{{{\omega _e}}}$

$x\left( t \right) = {e^{-\delta t}}\left( {{x_0}\cos \left( {{\omega _e}t} \right)+\frac{{{v_0}+\delta {x_0}}}{{{\omega _e}}}\sin \left( {{\omega _e}t} \right)} \right)$

Wir setzen $R\cos \left( \Phi \right) = {x_0},\quad R\sin \left( \Phi \right) = \frac{{{v_0}+\delta {x_0}}}{{{\omega _e}}}$

Wir setzen ein (Additionstheorem $\cos \left( {\alpha \pm \beta } \right) = \cos \left( \alpha \right)\cos \left( \beta \right) \mp \sin \left( \alpha \right)\sin \left( \beta \right)$ ):

$x\left( t \right) = R{e^{-\delta t}}\cos \left( {{\omega _e}t-\Phi } \right)$

Berechnung von $R$ :

$R\cos \left( \Phi \right) = {x_0},\quad R\sin \left( \Phi \right) = \frac{{{v_0}+\delta {x_0}}}{{{\omega _e}}}$

${R^2}{\cos ^2}\left( \Phi \right)+{R^2}{\sin ^2}\left( \Phi \right) = {\left( {{x_0}} \right)^2}+{\left( {\frac{{{v_0}+\delta {x_0}}}{{{\omega _e}}}} \right)^2}$

${R^2}\underbrace {\left( {{{\cos }^2}\left( \Phi \right)+{{\sin }^2}\left( \Phi \right)} \right)}_1 = {\left( {{x_0}} \right)^2}+{\left( {\frac{{{v_0}+\delta {x_0}}}{{{\omega _e}}}} \right)^2}$

$\quad \Rightarrow \quad R = \sqrt {x_0^2+{{\left( {\frac{{{v_0}+\delta {x_0}}}{{{\omega _e}}}} \right)}^2}}$

$\frac{{R\sin \left( \Phi \right)}}{{R\cos \left( \Phi \right)}} = \frac{{\frac{{{v_0}+\delta {x_0}}}{{{\omega _e}}}}}{{{x_0}}} = \frac{{\frac{{{v_0}}}{{{x_0}}}+\delta }}{{{\omega _e}}}$

$\quad \Rightarrow \quad \tan \left( \Phi \right) = \frac{{\frac{{{v_0}}}{{{x_0}}}+\delta }}{{{\omega _e}}}$

Fall 1 – reelle Nullstellen

$x\left( t \right) = {C_1}{e^{{\lambda _1}t}}+{C_2}{e^{{\lambda _2}t}} = {C_1}{e^{-\alpha t}}+{C_2}{e^{-\beta t}}$

$\alpha = \delta -\omega _e^\prime \quad \beta = \delta +\omega _e^\prime$

$\omega _e^\prime = \sqrt {{\delta ^2}-\omega _0^2} = \delta \sqrt {1-\frac{{4cm}}{d}} < \delta$

$\dot x\left( t \right) = -\alpha {C_1}{e^{-\alpha t}}-\beta {C_2}{e^{-\beta t}}$

$x\left( 0 \right) = {x_0} = {C_1}+{C_2}$

$\dot x\left( 0 \right) = {v_0} = -\alpha {C_1}-\beta {C_2}$

Das Gleichungssystem lösen wir in Matrixschreibweise:

$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 1 \\ {-\alpha } & {-\beta } \\ \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{C_1}} \\ {{C_2}} \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_0}} \\ {{v_0}} \\ \end{array} } \right)$

${C_1} = \frac{{\beta {x_0}+{v_0}}}{{2\omega _e^\prime }},\quad {C_2} = \frac{{-\alpha {x_0}-{v_0}}}{{2\omega _e^\prime }}$

$x\left( t \right) = \frac{{{x_0}}}{2}\left[ {\left( {1+\frac{{\delta +\frac{{{v_0}}}{{{x_0}}}}}{{\omega _e^\prime }}} \right){e^{-\alpha t}}+\left( {a-\frac{{\delta +\frac{{{v_0}}}{{{x_0}}}}}{{\omega _e^\prime }}} \right){e^{-\beta t}}} \right]$

$x\left( t \right) = {x_0}{e^{-\delta t}}\left( {\cosh \left( {\omega _e^\prime t} \right)+\frac{{\delta +\frac{{{v_0}}}{{{x_0}}}}}{{\omega _e^\prime }}\sinh \left( {\omega _e^\prime t} \right)} \right)$

c )

Fall III – aperiodischer Grenzfall:

${\lambda _1} = {\lambda _2} = -\delta$

$\lim \limits_{{\omega _e} \to 0} x{\left( t \right)_{II}} = \lim \limits_{{\omega _e} \to 0} {e^{-\delta t}}\left( {{x_0}\cos \left( {{\omega _e}t} \right)+\frac{{{v_0}+\delta {x_0}}}{{{\omega _e}}}\sin \left( {{\omega _e}t} \right)} \right)$

$= \lim \limits_{{\omega _e} \to 0} {e^{-\delta t}}\left( {{x_0}\cos \left( {{\omega _e}t} \right)+\left( {{v_0}+\delta {x_0}} \right)\frac{{\sin \left( {{\omega _e}t} \right)}}{{{\omega _e}}}} \right)$

Wir berechnen den kritischen Grenzwert mit der Regel von L’Hospital:

$\lim \limits_{{\omega _e} \to 0} \frac{{\sin \left( {{\omega _e}t} \right)}}{{{\omega _e}t}} = \lim \limits_{{\omega _e} \to 0} \frac{{{{\left[ {\sin \left( {{\omega _e}t} \right)} \right]}^\prime }}}{{{{\left[ {{\omega _e}t} \right]}^\prime }}} = \lim \limits_{{\omega _e} \to 0} \frac{{\cos \left( {{\omega _e}t} \right)}}{1} = 1$

Eingesetzt:

$\lim \limits_{{\omega _e} \to 0} x{\left( t \right)_{II}} = \lim \limits_{{\omega _e} \to 0} {e^{-\delta t}}\left( {{x_0}\cos \left( {{\omega _e}t} \right)+\left( {{v_0}+\delta {x_0}} \right)t} \right)$