U02 – Feder-Masse-Dämpfer, Lösung im Zeitbereich

 

Gegeben sei die homogene Differentialgleichung für die Bewegung eines Feder-Massen-Dämpfer-Systems (entsprechend der ersten Übung ohne sinusförmige Erregung):

m\ddot x\left( t \right)+d\dot x\left( t \right)+cx\left( t \right) = 0

Die Anfangsbedingungen sind:
Anfangsauslenkung zum Zeitpunkt t = 0:\quad x\left( 0 \right) = {x_0}
Anfangsgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0:\quad \dot x\left( 0 \right) = {v_0}

  1. Bringen Sie die Differentialgleichung auf die Form \ddot x\left( t \right)+2\delta \dot x\left( t \right)+\omega _0^2x\left( t \right) = 0, bestimmen Sie die Werte \delta und {\omega _0} und geben Sie die Dimension für diese Werte an.
  2. Lösen Sie die Differentialgleichung im Zeitbereich mit dem {e^{\lambda t}}-Ansatz und unterscheiden Sie die Fälle \delta > {\omega _0} und \delta < {\omega _0}

    Hinweis: Die Lösungen sind in reeller Form anzugeben. Unter Verwendung folgender Formeln: {e^{ \pm x}} = \cosh \left( x \right) \pm \sinh \left( x \right) und {e^{ \pm jx}} = \cos \left( x \right) \pm j\sin \left( x \right)

  3. Lösen Sie die Differentialgleichung für den aperiodischen Grenzfall \delta = {\omega _0}
  4. Skizzieren Sie qualitativ die Lösungen mit {v_0} = 0 für die drei Fälle und deuten Sie die Größe \delta für \delta < {\omega _0}
  5. Mit welcher Frequenz schwingt das System?
  6. Geben Sie für den Fall \delta < {\omega _0} die Schwingungsdauer T an

Lösung

a )

Wir beginnen mit der homogenen Differentialgleichung:

m\ddot x\left( t \right)+d\dot x\left( t \right)+cx\left( t \right) = 0

Umstellen:

\ddot x\left( t \right)+\frac{d}{m}\dot x\left( t \right)+\frac{c}{m}x\left( t \right) = 0

Mit 2\delta = \frac{d}{m} und \omega _0^2 = \frac{c}{m} ergibt sich: \ddot x\left( t \right)+2\delta \dot x\left( t \right)+\omega _0^2x\left( t \right) = 0

Die Dimensionen (Einheiten) sind:

m = \left[ {kg} \right],\quad c = \left[ {\frac{N}{m}} \right] = \left[ {\frac{{kg}}{{{s^2}}}} \right],\quad \delta = \left[ {\frac{1}{s}} \right],\quad {\omega _0} = \left[ {\frac{1}{s}} \right]

b )

Mit dem Exponentialansatz berechnen wir die charakteristische Gleichung:

x\left( t \right) = C{e^{\lambda t}},\quad \dot x\left( t \right) = C\lambda {e^{\lambda t}},\quad \ddot x\left( t \right) = C{\lambda ^2}{e^{\lambda t}}

\quad \Rightarrow \quad C{\lambda ^2}{e^{\lambda t}}+2\delta C\lambda {e^{\lambda t}}+\omega _0^2C{e^{\lambda t}} = 0

\quad \Rightarrow \quad {\lambda ^2}+2\delta \lambda +\omega _0^2 = 0

Nun berechnen wir die beiden Werte für \lambda:

{\lambda ^2}+2\delta \lambda +\omega _0^2 = 0

{\lambda ^2}+2\delta \lambda +{\delta ^2} = -\omega _0^2

{\left( {\lambda +\delta } \right)^2} = {\delta ^2}-\omega _0^2

{\lambda _{1,2}} = -\delta \pm \sqrt {{\delta ^2}-\omega _0^2}

Da die Wurzel negativ werden kann, müssen wir drei Fälle unterscheiden:

\left( I \right):\quad \delta > {\omega _0},\quad {\lambda _{1,2}} = -\delta \pm \omega _e^\prime \quad \in \mathbb{R}

\left( {II} \right):\quad \delta > {\omega _0},\quad {\lambda _{1,2}} = -\delta \pm j{\omega _e}\quad \in \mathbb{C}

\left( {III} \right):\quad \delta = {\omega _0},\quad \lambda = -\delta \quad \in \mathbb{R}

Mit

\omega _e^\prime = \sqrt {{\delta ^2}-\omega _0^2} = \frac{{\sqrt {{d^2}-4cm} }}{{2m}}\quad \in \mathbb{R}\quad \left( I \right)

{\omega _e} = \sqrt {\omega _0^2-{\delta ^2}} = \frac{{\sqrt {4cm-{d^2}} }}{{2m}}\quad \in \mathbb{R}\quad \left( {II} \right)

Fall II – konjugiert komplexe Nullstellen

x\left( t \right) = {C_1}{e^{{\lambda _1}t}}+{C_2}{e^{{\lambda _2}t}} = C{e^{\lambda t}}+\bar C{e^{\bar \lambda t}}

= {C_1}{e^{-\delta t+j{\omega _e}t}}+{C_2}{e^{-\delta t-j{\omega _e}t}}

= {e^{-\delta t}}\left( {{C_1}{e^{j{\omega _e}t}}+{C_2}{e^{-j{\omega _e}t}}} \right)

= {e^{-\delta t}}\left( {{C_1}\cos \left( {{\omega _e}t} \right)+{C_1}j\sin \left( {{\omega _e}t} \right)+{C_2}\cos \left( {{\omega _e}t} \right)+{C_2}j\sin \left( {{\omega _e}t} \right)} \right)

= {e^{-\delta t}}\left( {A\cos \left( {{\omega _e}t} \right)+B\sin \left( {{\omega _e}t} \right)} \right)

Wir haben jetzt die reelle Form. Es gilt:

A = {C_1}+{C_2},\quad B = j\left( {{C_1}-{C_2}} \right),\quad {C_1} = \frac{{A-jB}}{2},\quad {C_2} = \frac{{A+jB}}{2} = \overline {{C_1}}

Um die Anfangsbedingungen einsetzen zu können, brauchen wir die erste Ableitung:

\dot x\left( t \right) = {e^{-\delta t}}\left[ {\left( {-\delta A+{\omega _e}B} \right)\cos \left( {{\omega _e}t} \right)+\left( {-\delta B-{\omega _e}} \right)\sin \left( {{\omega _e}t} \right)} \right]

Anfangsbedingungen einsetzen:

\left. {\begin{array}{*{20}{c}} {x\left( 0 \right) = {x_0} = A} \\ {\dot x\left( 0 \right) = {v_0} = -\delta A+{\omega _e}B} \\ \end{array} } \right\}\quad \Rightarrow \quad B = \frac{{{v_0}+\delta {x_0}}}{{{\omega _e}}}

x\left( t \right) = {e^{-\delta t}}\left( {{x_0}\cos \left( {{\omega _e}t} \right)+\frac{{{v_0}+\delta {x_0}}}{{{\omega _e}}}\sin \left( {{\omega _e}t} \right)} \right)

Wir setzen R\cos \left( \Phi \right) = {x_0},\quad R\sin \left( \Phi \right) = \frac{{{v_0}+\delta {x_0}}}{{{\omega _e}}}

Wir setzen ein (Additionstheorem \cos \left( {\alpha \pm \beta } \right) = \cos \left( \alpha \right)\cos \left( \beta \right) \mp \sin \left( \alpha \right)\sin \left( \beta \right)):

x\left( t \right) = R{e^{-\delta t}}\cos \left( {{\omega _e}t-\Phi } \right)

Berechnung von R:

R\cos \left( \Phi \right) = {x_0},\quad R\sin \left( \Phi \right) = \frac{{{v_0}+\delta {x_0}}}{{{\omega _e}}}

{R^2}{\cos ^2}\left( \Phi \right)+{R^2}{\sin ^2}\left( \Phi \right) = {\left( {{x_0}} \right)^2}+{\left( {\frac{{{v_0}+\delta {x_0}}}{{{\omega _e}}}} \right)^2}

{R^2}\underbrace {\left( {{{\cos }^2}\left( \Phi \right)+{{\sin }^2}\left( \Phi \right)} \right)}_1 = {\left( {{x_0}} \right)^2}+{\left( {\frac{{{v_0}+\delta {x_0}}}{{{\omega _e}}}} \right)^2}

\quad \Rightarrow \quad R = \sqrt {x_0^2+{{\left( {\frac{{{v_0}+\delta {x_0}}}{{{\omega _e}}}} \right)}^2}}

\frac{{R\sin \left( \Phi \right)}}{{R\cos \left( \Phi \right)}} = \frac{{\frac{{{v_0}+\delta {x_0}}}{{{\omega _e}}}}}{{{x_0}}} = \frac{{\frac{{{v_0}}}{{{x_0}}}+\delta }}{{{\omega _e}}}

\quad \Rightarrow \quad \tan \left( \Phi \right) = \frac{{\frac{{{v_0}}}{{{x_0}}}+\delta }}{{{\omega _e}}}

Fall 1 – reelle Nullstellen

x\left( t \right) = {C_1}{e^{{\lambda _1}t}}+{C_2}{e^{{\lambda _2}t}} = {C_1}{e^{-\alpha t}}+{C_2}{e^{-\beta t}}

\alpha = \delta -\omega _e^\prime \quad \beta = \delta +\omega _e^\prime

\omega _e^\prime = \sqrt {{\delta ^2}-\omega _0^2} = \delta \sqrt {1-\frac{{4cm}}{d}} < \delta

\dot x\left( t \right) = -\alpha {C_1}{e^{-\alpha t}}-\beta {C_2}{e^{-\beta t}}

x\left( 0 \right) = {x_0} = {C_1}+{C_2}

\dot x\left( 0 \right) = {v_0} = -\alpha {C_1}-\beta {C_2}

Das Gleichungssystem lösen wir in Matrixschreibweise:

\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 1 \\ {-\alpha } & {-\beta } \\ \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{C_1}} \\ {{C_2}} \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_0}} \\ {{v_0}} \\ \end{array} } \right)

{C_1} = \frac{{\beta {x_0}+{v_0}}}{{2\omega _e^\prime }},\quad {C_2} = \frac{{-\alpha {x_0}-{v_0}}}{{2\omega _e^\prime }}

x\left( t \right) = \frac{{{x_0}}}{2}\left[ {\left( {1+\frac{{\delta +\frac{{{v_0}}}{{{x_0}}}}}{{\omega _e^\prime }}} \right){e^{-\alpha t}}+\left( {a-\frac{{\delta +\frac{{{v_0}}}{{{x_0}}}}}{{\omega _e^\prime }}} \right){e^{-\beta t}}} \right]

x\left( t \right) = {x_0}{e^{-\delta t}}\left( {\cosh \left( {\omega _e^\prime t} \right)+\frac{{\delta +\frac{{{v_0}}}{{{x_0}}}}}{{\omega _e^\prime }}\sinh \left( {\omega _e^\prime t} \right)} \right)

c )

Fall III – aperiodischer Grenzfall:

{\lambda _1} = {\lambda _2} = -\delta

\lim \limits_{{\omega _e} \to 0} x{\left( t \right)_{II}} = \lim \limits_{{\omega _e} \to 0} {e^{-\delta t}}\left( {{x_0}\cos \left( {{\omega _e}t} \right)+\frac{{{v_0}+\delta {x_0}}}{{{\omega _e}}}\sin \left( {{\omega _e}t} \right)} \right)

= \lim \limits_{{\omega _e} \to 0} {e^{-\delta t}}\left( {{x_0}\cos \left( {{\omega _e}t} \right)+\left( {{v_0}+\delta {x_0}} \right)\frac{{\sin \left( {{\omega _e}t} \right)}}{{{\omega _e}}}} \right)

Wir berechnen den kritischen Grenzwert mit der Regel von L’Hospital:

\lim \limits_{{\omega _e} \to 0} \frac{{\sin \left( {{\omega _e}t} \right)}}{{{\omega _e}t}} = \lim \limits_{{\omega _e} \to 0} \frac{{{{\left[ {\sin \left( {{\omega _e}t} \right)} \right]}^\prime }}}{{{{\left[ {{\omega _e}t} \right]}^\prime }}} = \lim \limits_{{\omega _e} \to 0} \frac{{\cos \left( {{\omega _e}t} \right)}}{1} = 1

Eingesetzt:

\lim \limits_{{\omega _e} \to 0} x{\left( t \right)_{II}} = \lim \limits_{{\omega _e} \to 0} {e^{-\delta t}}\left( {{x_0}\cos \left( {{\omega _e}t} \right)+\left( {{v_0}+\delta {x_0}} \right)t} \right)

= {e^{-\delta t}}\left( {{x_0}+\left( {{v_0}+\delta {x_0}} \right)t} \right)

x\left( t \right) = {C_1}{e^{-\delta t}}+{C_2}t{e^{-\delta t}}

d )

schwingungen-feder-dämpfer

e )

x\left( t \right) = R{e^{-\delta t}}\cos \left( {{\omega _e}t-\Phi } \right)

{f_e} = \frac{{{\omega _e}}}{{2\pi }} = \frac{1}{{{T_e}}} = \frac{1}{{2\pi }}\frac{{\sqrt {4cm-{d^2}} }}{{2m}}

f )

{T_e} = \frac{1}{{{f_e}}} = \frac{{4\pi m}}{{\sqrt {4cm-{d^2}} }}

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1 Kommentar zu “U02 – Feder-Masse-Dämpfer, Lösung im Zeitbereich”

Bei Fall II: in der vorletzten e(x) Reihe muss ein – jC2sin(wet) hin. und nach: “Um die Anfangsbedingungen einsetzen zu können, brauchen wir die erste Ableitung:” da fehlt bei sin(wet) das A bei we. Gruß

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