A 01 – Feder-Masse-Schwinger mit transienter Stufenbelastung

 

Berechnen Sie die Verschiebungsantwort des nachfolgend abgebildeten Feder-Masse-Schwingers, der einer transienten (vorübergehenden) Stufen-Belastung ausgesetzt wird

  1. durch Lösung der Differentialgleichung
  2. über das Duhamel-Integral

strdyn-u1-feder-masse-schwinger-stufenbelastung

Vor dem Belastungsvorgang sei die Masse in Ruhe.

Lösung 1

Wir betrachten hier eine erzwungene Schwingung. Das System hat einen Freiheitsgrad (DOF). Es gibt mehrere mögliche Berechnungsverfahren:

  1. Lösung der Differentialgleichung
    1. Abschnittsweise Berechnung
    2. Superposition von Teillösungen
    3. Laplace-Transformation
  2. Duhamel-Integral
  3. Übertragungsmatrix (Zeit-, Ortsübertragungsmatrix)
  4. Numerische Methoden (z.B. Newmark-Beta-Methode)

a) Berechnung durch Lösen der Differentialgleichung

Wir definieren die Ortskoordinate x als die Position des Schwerpunkts der Masse:

strdyn-u1-feder-masse-schwinger

Als Anfangsbedingungen haben wir hier gegeben, dass die Masse in Ruhe in der Ausgangslage ist:

x\left( 0 \right) = 0

\dot x\left( 0 \right) = 0

Die Kraft können wir wie folgt in eine Funktion schreiben:

F\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{F_0}}&{0 \leq t \leq {T_S}} \\ 0&{t > {T_S}} \end{array}} \right.

Genau genommen müssten wir nun noch die Impulsformulierung benutzen:

{F_0}\left( {1\left( t \right)} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{F_0}}&{t \geq 0} \\ 0&{t < 0} \end{array}} \right.

Analog müsste dann auch noch die Impulsformulierung für die abfallende Flanke formuliert werden.

Wir stellen nun die Bewegungsgleichung nach d’Alembert auf:

strdyn-u1-feder-masse-schwinger-freigeschnitten

Es ergibt sich als Gleichgewicht:

F\left( t \right) = cx+m\ddot x

Jetzt kommen wir zur Lösung der Differentialgleichung. Diese besteht aus homogener und partikulärer Lösung. Die Berechnung führen wir Abschnittsweise durch.

Bereich 1: 0 \leq t \leq {T_S}\quad \Rightarrow \quad F\left( t \right) = {F_0}

Homogene Lösung:

m{\ddot x_h}+c{x_h} = 0

Zur Lösung verwenden wird den Exponentialansatz:

{x_h}\left( t \right) = {e^{\lambda t}}\quad \Rightarrow \quad m{\lambda ^2}+c = 0\quad \Rightarrow \quad {\lambda _{1,2}} = \pm \sqrt {-\frac{c}{m}} = \pm i\sqrt {\frac{c}{m}} = \pm i\omega

Da {\lambda _1},\;{\lambda _2} komplex sind mit {\lambda _1} = -i\omega = {\bar \lambda _2} lautet die vollständige allgemeine Lösung:

{x_h}\left( t \right) = {A_1}\operatorname{Im} \left( {{e^{{\lambda _1}t}}} \right)+{B_1}\operatorname{Re} \left( {{e^{{\lambda _1}t}}} \right) = -{A_1}\operatorname{Im} \left( {{e^{{\lambda _2}t}}} \right)+{B_1}\operatorname{Re} \left( {{e^{{\lambda _2}t}}} \right)

(siehe auch: Beispiel: Homogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung)

Diese lässt sich mit Hilfe der Eulerschen Formeln noch weiter umformen:

\left[ {{e^{ \pm i\varphi }} = \cos \varphi \pm i\sin \varphi \quad ,\quad {e^{ \pm \varphi }} = \cosh \varphi \pm i\sinh \varphi } \right]

\Rightarrow \quad {x_h}\left( t \right) = {A_1}\sin \left( {\omega t} \right)+{B_1}\cos \left( {\omega t} \right),\quad \omega = \sqrt {\frac{c}{m}} = 2\pi f

Zur Ermittlung der partikulären Lösung verwenden wir einen Ansatz vom Typ der rechten Seite:

{x_p} = a = \operatorname{const} \quad \Rightarrow \quad {{\dot x}_p} = 0\quad \Rightarrow \quad {{\ddot x}_p} = 0

cx+m\ddot x = F\left( t \right)\quad \Rightarrow \quad ca = {F_0}\quad \Rightarrow \quad a = \frac{{{F_0}}}{c} = {x_p}

Gesamtlösung:

{x_1} = {x_h}+{x_p} = {A_1}\sin \left( {\omega t} \right)+{B_1}\cos \left( {\omega t} \right)+\frac{{{F_0}}}{c}

Anfangsbedingungen:

{x_1}\left( 0 \right) = {B_1}+\frac{{{F_0}}}{c} = 0\quad \Rightarrow \quad {B_1} = -\frac{{{F_0}}}{c}

\dot x\left( 0 \right) = \omega {A_1}+0 = 0\quad \Rightarrow \quad {A_1} = 0

\Rightarrow \quad {x_1}\left( t \right) = \frac{{{F_0}}}{c}\left[ {1-\cos \left( {\omega t} \right)} \right]

Es handelt sich um eine Schwingung um die “stabile Ruhelage”.

Bereich 2: t > {T_S}\quad \Rightarrow \quad F\left( t \right) = 0

m{{\ddot x}_h}+c{x_h} = 0

\Rightarrow \quad {x_2}\left( t \right) = {A_2}\sin \left( {\omega \left( {t-{T_S}} \right)} \right)+{B_2}\cos \left( {\omega \left( {t-{T_S}} \right)} \right)

Die Konstanten {A_2} und {B_2} erhalten wir aus den Übergangsbedingungen: Verschiebungen und Geschwindigkeiten müssen zum Zeitpunkt t = {T_S} in beiden Lösungsfunktionen übereinstimmen, damit die Gesamtlösung stetig ist:

{x_1}\left( {{T_S}} \right) = {x_2}\left( {{T_S}} \right)

{{\dot x}_1}\left( {{T_S}} \right) = {{\dot x}_2}\left( {{T_S}} \right)

Einsetzen:

\frac{{{F_0}}}{c}\left[ {1-\cos \left( {\omega {T_S}} \right)} \right] = {B_2}

\omega \frac{{{F_0}}}{c}\sin \left( {\omega {T_S}} \right) = \omega {A_2}\quad \Rightarrow \quad {A_2} = \frac{{{F_0}}}{c}\sin \left( {\omega {T_S}} \right)

Wir setzen nun die Konstanten in die Lösung ein:

{x_2}\left( t \right) = \frac{{{F_0}}}{c}\sin \left( {\omega {T_S}} \right)\sin \left( {\omega \left( {t-{T_S}} \right)} \right)+\frac{{{F_0}}}{c}\left[ {1-\cos \left( {\omega {T_S}} \right)} \right]\cos \left( {\omega \left( {t-{T_S}} \right)} \right)

Mit Hilfe von Additionstheoremen können wir die Gleichung vereinfachen:

\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}\left( {\cos \left( {\alpha -\beta } \right)-\cos \left( {\alpha +\beta } \right)} \right)

\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}\left( {\cos \left( {\alpha -\beta } \right)+\cos \left( {\alpha +\beta } \right)} \right)

Hier ergibt sich:

\alpha = \omega {T_S},\quad \beta = \omega \left( {t-{T_S}} \right)\quad \Rightarrow \quad {x_2}\left( t \right) = \frac{{{F_0}}}{c}\left[ {\cos \left( {\omega \left( {t-{T_S}} \right)} \right)-\cos \left( {\omega t} \right)} \right]

Alternativ zur abschnittsweisen Berechnung können wir auch eine Superposition von Teillösungen durchführen. Dazu stellen wir die Anregungsfunktion als Überlagerung von verschiedenen Funktionen dar:

strdyn-u1-ueberlagerung-anregungen

Dabei gilt:

F\left( t \right) = {F_1}\left( t \right)+{F_2}\left( t \right)

x\left( t \right) = {x_{F1}}\left( t \right)+{x_{F2}}\left( t \right)

Die Lösung für {F_1}\left( t \right) lautet:

{x_{F1}}\left( t \right) = \frac{{{F_0}}}{c}\left[ {1-\cos \left( {\omega t} \right)} \right]

Die Lösung für {F_2}\left( t \right) lautet:

{x_{F2}}\left( t \right) = -\frac{{{F_0}}}{c}\left[ {1\left( {t-{T_S}} \right)-\cos \left( {\omega \left( {t-{T_S}} \right)} \right)} \right]

Damit lautet die Gesamtlösung:

Bereich: 0 \leq t \leq {T_S}:\qquad x\left( t \right) = {x_{F1}}\left( t \right) = \frac{{{F_0}}}{c}\left( {1-\cos \left( {\omega t} \right)} \right)

Bereich: t > {T_S}:\qquad x\left( t \right) = {x_{F1}}\left( t \right)+{x_{F2}}\left( t \right) = \frac{{{F_0}}}{c}\left[ {\cos \left( {\omega \left( {t-{T_S}} \right)} \right)-\cos \left( {\omega t} \right)} \right]

b) Berechnung über das Duhamel-Integral

Duhamel-Integral: Eine beliebige Lastfunktion kann aus unendlich vielen Einzelimpulsen zusammengesetzt werden, wobei die Impulsantwort infolge eines Pulses zur Zeit \tau lautet:

{u_\tau }\left( t \right) = \frac{{I\left( \tau \right)}}{{m\omega }}\sin \left( {\omega \left( {t-\tau } \right)} \right) = \frac{{F\left( \tau \right)d\tau }}{{m\omega }}\sin \left( {\omega \left( {t-\tau } \right)} \right)

Integriert man nun die Antworten aller Impulse bis zum Zeitpunkt t, so erhält man als Gesamtantwort das so genannte Duhamelsche Integral (einseitige Faltung):

u\left( t \right) = \frac{1}{{m\omega }}\int\limits_0^t {F\left( \tau \right)\sin \left( {\omega \left( {t-\tau } \right)} \right)d\tau }

Dieses Integral gilt für die Anfangsbedingungen {u_0} = 0 und {\dot u_0} = 0. Für andere Anfangsbedingungen kann der Lösung die Lösung der freien Schwingung mit belieben Anfangsbedingungen additiv hinzugefügt werden:

u\left( t \right) = \frac{{{{\dot u}_0}}}{\omega }\sin \left( {\omega t} \right)+{u_0}\cos \left( {\omega t} \right)+\frac{1}{{m\omega }}\int\limits_0^t {F\left( \tau \right)\sin \left( {\omega \left( {t-\tau } \right)} \right)d\tau }

Allgemeine Kraftverläufe lassen sich prinzipiell mit dieser Vorgehensweise behandeln. Geschlossene Lösungen erfordern aber auch integrierbare Belastungsfunktionen F\left( t \right). Dies schränkt die allgemeine Verwendbarkeit stark ein. Man kann zwar auch numerisch lösen, jedoch bietet es sich an, bei numerischer Lösung gleich die Bewegungsgleichung selbst zu betrachten und diese zu lösen.

Wir nutzen zur Lösung der Aufgabe nun das Duhamel-Integral:

x\left( t \right) = \frac{{{{\dot x}_0}}}{\omega }\sin \left( {\omega t} \right)+{x_0}\cos \left( {\omega t} \right)+\frac{1}{{m\omega }}\int\limits_0^t {F\left( \tau \right)\sin \left( {\omega \left( {t-\tau } \right)} \right)d\tau }

Anfangsbedingungen:

{x_0} = 0,\quad {{\dot x}_0} = 0

\Rightarrow \quad x\left( t \right) = \frac{1}{{m\omega }}\int\limits_0^t {F\left( \tau \right)\sin \left( {\omega \left( {t-\tau } \right)} \right)d\tau }

Auswertung des Integrals für Bereich 1: 0 \leq \tau \leq {T_S}\quad \Rightarrow \quad F\left( \tau \right) = {F_0}

x\left( t \right) = \frac{1}{{m\omega }}\int\limits_0^t {{F_0}\sin \left( {\omega \left( {t-\tau } \right)} \right)d\tau }

\Rightarrow \quad x\left( t \right) = \frac{1}{{m\omega }}{F_0}\left[ {\frac{1}{\omega }\cos \left( {\omega \left( {t-\tau } \right)} \right)} \right]_{\tau = 0}^t

\Rightarrow \quad x\left( t \right) = \frac{{{F_0}}}{{m\omega }}\left[ {\frac{1}{\omega }-\frac{1}{\omega }\cos \left( {\omega t} \right)} \right]

Mit {\omega ^2} = \frac{c}{m} ergibt sich daraus wie oben: x\left( t \right) = \frac{{{F_0}}}{c}\left[ {1-\cos \left( {\omega t} \right)} \right]

Auswertung des Integrals für Bereich 2: \tau > {T_S}\quad \Rightarrow \quad F\left( \tau \right) = 0

Hier müssen wir sowohl den 2. Bereich, als auch den bereits vergangenen Bereich betrachten, der den 2. Bereich beeinflusst:

x\left( t \right) = \frac{1}{{m\omega }}\int\limits_0^{{T_S}} {{F_0}\sin \left( {\omega \left( {t-\tau } \right)} \right)d\tau } +\frac{1}{{m\omega }}\underbrace {\int\limits_{{T_S}}^t {0 \cdot \sin \left( {\omega \left( {t-\tau } \right)} \right)d\tau } }_{ = 0}

= \frac{{{F_0}}}{{m\omega }}\left[ {\frac{1}{\omega }\cos \left( {\omega \left( {t-\tau } \right)} \right)} \right]_{\tau = 0}^{{T_S}}

= \frac{{{F_0}}}{c}\left[ {\cos \left( {\omega \left( {t-{T_S}} \right)} \right)-\cos \left( {\omega t} \right)} \right]

Dies entspricht den bisherigen Lösungen.

\mathcal{S}\mathcal{W}\& \mathcal{J}\mathcal{K}